二項分布常見考點舉隅

崔 文 侯宇虹

(山東省文登第一中學 26440)

侯宇虹，中學高級教師，文登區教學能手，從事高中數學解題研究.

判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發生與否兩者必有其一；二是重復性，即試驗獨立重復地進行了n次．

考點1：計算概率

例1 (1)將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現的次數比反面出現的次數多的概率為____．

考點2：計算相關參數

例2 (1)在4次獨立重復試驗中，隨機事件A恰好發生1次的概率不大于其恰好發生兩次的概率，則事件A在一次試驗中發生的概率p的取值范圍是____.

故k=3或4，故填3或4.

考點3：寫出分布列

例3 投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進行復審，若能通過復審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復審的稿件能通過評審的概率為0.3.各專家獨立評審．

(1)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；

(2)記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數，求X的分布列．

解析(1)記A表示事件：稿件能通過兩位初審專家的評審；

B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；

C表示事件：稿件能通過復審專家的評審；

D表示事件：稿件被錄用．

則D=A+BC，

而P(A)=0.5×0.5=0.25，P(B)=2×0.5×0.5=0.5，P(C)=0.3

故P(D)=P(A+BC)=P(A)+P(B)·P(C)=0.25+0.5×0.3=0.4.

(2)隨機變量X服從二項分布，即X～B(4,0.4)，

X的可能取值為0,1,2,3,4，且

P(X=0)=(1-0.4)4=0.1 296,

P(X=4)=0.44=0.0 256.

故其分布列為

X01234P0．12960．34560．34560．15360．0256

評注首先要分析出X服從二項分布，然后結合公式求解即可．特別強調運算的準確性，分布列寫完后，要注意檢驗分布列中概率和為1.

考點4：計算數學期望和方差

例4 (1)已知隨機變量X服從二項分布B(n，p)．若E(X)=30，D(X)=20，則p=____.

(2)若X～B(n，p)，且E(X)=6，D(X)=3，則P(X=1)的值為( ).

A．3×2-2B．2-4C．3×2-10D．2-8

評注若X～B(n，p)，則E(X) =np，D(X)=np(1-p)．此公式需要熟練記憶.

考點5：交匯考查

評注本例與數列交匯考查，只要分析出“S7=3”包含的基本事件，并且知道試驗為“獨立重復試驗”即可.

考點6：綜合運用

例6 某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．

(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；

(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數為X，求X的分布列和數學期望．

解析(1)記事件A1={從甲箱中摸出的1個球是紅球}，A2={從乙箱中摸出的1個球是紅球}，B1={顧客抽獎1次獲一等獎}，B2={顧客抽獎1次獲二等獎}，C={顧客抽獎1次能獲獎}．

由題意，A1與A2相互獨立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1=A1A2，B2=A1A2+A1A2，C=B1+B2.

P(B2)=P(A1A2+A1A2)=P(A1A2)+P(A1A2)

=P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2)

=P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2)

故X的分布列為

X0123P6412548125121251125

評注高考中二項分布題目要么以小題的形式出現，要么作為解答題的一部分出現.在解答題中，數學期望和方差一般套用公式直接計算.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]人民教育出版社課程教材研究所，中學數學課程教材實驗研究組.普通高中課程標準實驗教科書《數學》(選修2-3)[M].北京：人民教育出版社，2007(04).