概率問題的多解和慎答

孟方明

(浙江省春暉中學 312353)

對于概率問題，一方面若從不同的角度來尋求概率模型或審視樣本空間，往往可以得到不同的解法，體現出思維的靈活性和廣闊性；另一方面，由于概率問題獨特的抽象性、不確定性等特點，學生較難用解決確定性數學問題的思維模式應對“活”的概率問題，導致錯誤頻發．在概率的教學過程中，必須重視對概率問題的多解和慎答．

一、多解

1.納入不同概型

同一概率問題，對事件性質特征的理解因視角不同而可納入不同概型，只要方法正確，結論是一致的．

例1 將一顆質地均勻的骰子先后拋擲3次，求至少出現一次6點向上的概率．

解法1 由于骰子是均勻的，因此將它拋擲3次，每次出現哪一點向上都是等可能的，故可納入等可能概型，顯然card(I)=63=216．

2.選用不同樣本空間

古典概型是概率學習中的重點，它具有兩個特征：試驗結果的有限性和每一個試驗結果出現的等可能性．同一概率問題，在確定基本事件(基本事件的全體稱為樣本空間)時，可以按不同的標準有不同的解釋，只要試驗結果滿足上述兩個特征，結論是一致的．

例2 已知盒中裝有3只螺口與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形和功率都相同，且燈口向下放著，現需要一只卡口燈泡使用，電工師傅每次從中任取一只并不放回，求他直到第3次才取得卡口燈泡的概率．

二、 慎答

1.錯解概念

概率中的概念比較抽象，有些相互之間還容易引起混淆，如互斥與獨立，學生初次學習概率，由于對它們理解不透徹，且學習中往往只重視公式的死記硬背，忽視概念的理解掌握，從而在事件概念的定位上張冠李戴、錯態百出．

例3 一臺儀器配有A、B兩套通路，只要其中一套通路通暢，儀器就能正常工作．A套由2個部件組成，B套由3個部件組成，只要其中有一個部件出現故障，這套通路就不能正常工作．如果在某段時間內每個部件不出現故障的概率都是p，試求在這段時間內儀器能正常工作的概率．

錯解某段時間內A、B兩套通路能正常工作的概率分別為P(A)=p2，P(B)=p3，由題意，A、B至少有一套正常工作，儀器就能工作，故在這段時間內儀器能正常工作的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=p2+p3．

析與解根據題意，A、B兩套通路正常工作是相互獨立的兩個事件，上面所用公式是互斥事件有一個發生的概率加法公式，誤把獨立當成了互斥．互斥和獨立是兩種截然不同的概率關系，二者針對問題的角度不同，把互斥事件的概率公式套用在求獨立事件的概率上是錯誤的． “A、B至少有一套能正常工作”的對立事件是“A、B都不能正常工作”，A不能正常工作的概率是1-p2，B不能正常工作的概率是1-p3，∴A、B都不能正常工作的概率是(1-p2)(1-p3)，從而所求概率等于1-(1-p2)(1-p3)=p2+p3-p5．也可將“A、B至少有一套能正常工作”分解為三個互斥事件，利用概率加法公式，求得同一結果．

2.誤解題意

由于概率的產生、建立和發展與生活實際密切相連，而生活中的問題，其條件和背景千差萬別，一般沒有固定的法則和套路．因此審題是解答概率問題中非常重要的一環．審題稍有偏差，極有可能誤解題意，導致錯解．

析與解錯解中認為汽車從東站至西站非得遇到紅燈不可，事實上，四崗都遇到綠燈也應視為是滿足題意的．我們從對立事件的角度來解釋，顯然對立事件包括兩種情況：在遇到紅燈前通過0崗或通過1崗，概率

3.曲解公式

公式是概念的外在表現形式，選擇公式首先需要正確理解概念，必須注意所選公式的適用前提、切實理解公式的內涵實質．如果只是單純地記住公式外形，就會造成曲解公式，從而致錯．

例5 甲、乙兩人參加普法知識競答，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，填空題4個，甲、乙依次各抽一題．

(Ⅰ)甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率是多少？

(Ⅱ)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？

[1]嚴海平．求解概率題常見誤區之淺析[J]．中學數學研究，2006(7)：38-40．

[2]謝鵬作．在困擾時吃透概念，從多解中厘清頭緒[J]．數學通訊，2014(7)：22-24．