用極端假設(shè)法巧解不等式恒成立問(wèn)題

何治宣

(四川省鄰水中學(xué) 638500)

極端假設(shè)法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要方法，正確、科學(xué)地使用極端假設(shè)法，可以培養(yǎng)學(xué)生多元化的解題思維，進(jìn)而提升解題效率.

一、極端假設(shè)法的基本原理

極端假設(shè)法是本人在從事高、初中數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)不斷總結(jié)出來(lái)的一種方法， 以求大家共勉.極端假設(shè)法的使用原理(生活實(shí)例)：

1.如果要證明某個(gè)班上的同學(xué)A的年齡是最大的，那么只需找出該班上除去同學(xué)A以外的其他所有同學(xué)中年齡最大的同學(xué)B,只要A的年齡大于B的年齡就可得出A是該班同學(xué)中年齡最大的同學(xué).

2.如果要證明某班上同學(xué)A年齡是最小的，那么就只需找出除同學(xué)A以外的所有同學(xué)中年齡最小的同學(xué)B，只要A的年齡小于B 的年齡，就可得出A是該班同學(xué)中年齡最小的同學(xué).

極端假設(shè)法在含參數(shù)的函數(shù)或含參數(shù)的不等式中的應(yīng)用原理：

第一步：將一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式看作關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)；

第二步：求出該函數(shù)的極端值(實(shí)際上就是函數(shù)的最大值、最小值或函數(shù)的極大值，極小值)；

第三步：只要所求的參數(shù)大于該函數(shù)的最大值或所求的參數(shù)小于該函數(shù)的最小值，就可以求出不等式恒成立時(shí)，參數(shù)的取值范圍.

二、極端假設(shè)法在解不等式恒成立中的應(yīng)用

2017年的高考已結(jié)束，在2017年的全國(guó)高考試題中，全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)(四川卷)第23題(選作題)是涉及到含兩個(gè)絕對(duì)值相減的不等式，而且第(2)小題還涉及了參數(shù)m,下面我們先來(lái)研究此題的第(1)小題.

(2017年理科數(shù)學(xué)四川卷第23題第(1)小題)

已知函數(shù)f(x)=|x+1|-|x-2|，求不等式f(x)≥1的解集.

解法一：分類(lèi)討論法

①當(dāng)x≤-1時(shí)，f(x)≥1無(wú)實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)-1

③當(dāng)x≥2時(shí)，由f(x)≥1得x≥2.

由①、②、③得：f(x)≥1的解集為{x|x≥1}.

對(duì)于此題，多數(shù)學(xué)生能夠想到分類(lèi)討論，但易忽略將①、②、③的結(jié)果求并集，從而導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò).

解法二：數(shù)形結(jié)合法

函數(shù)f(x)的解析式是分段函數(shù)，其圖象為如圖所示.

由上圖可直觀得到f(x)≥1的解集為{x|x≥1}

現(xiàn)將此高考題進(jìn)行變式：

變式：已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x+3|，

(1)求不等式f(x)≤5的解集；

(2)若f(x)≥k對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則k的取值范圍是多少？

(3)若f(x)

這個(gè)變式題的三個(gè)小題都在以前的全國(guó)卷高考題中出現(xiàn)過(guò)此類(lèi)題型，又尤其是含兩個(gè)絕對(duì)值相加的不等式，在全國(guó)卷中多次出現(xiàn).本人在從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，對(duì)此類(lèi)題目的解答略有體會(huì).對(duì)于本題的(2)、(3)小題最佳解決方法就是用極端假設(shè)法.

解(1)

由圖可知，函數(shù)f(x)的取值范圍為-5≤f(x)≤5，

∴f(x)max=5,

顯然f(x)≤5對(duì)x∈R恒成立.

∴f(x)≤5的解集為R.

(2)由(1)知，-5≤f(x)≤5,∴f(x)min=-5.

∴要使f(x)≥k對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立,

則只需k≤f(x)min=-5 即可(極端法).

∴k≤-5.

∴k的取值范圍是k≤-5.

(3)又由(1)知，f(x)max=5，

∴要使f(x)

只需f(x)max

∴k的取值范圍是k>5.

無(wú)論是我們的學(xué)習(xí)生活還是日常的生活中，我們經(jīng)常會(huì)面臨各種挑戰(zhàn)，甚至是極限挑戰(zhàn)，如果我們經(jīng)常習(xí)慣于用常規(guī)思維去思考難度比較大的問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)十分困難.但是如果我們能用極限思維去思考問(wèn)題時(shí)，它會(huì)給我們以豁然開(kāi)朗的感覺(jué)，也給我們足夠大的空間去思考問(wèn)題，進(jìn)而化解難題.

[1] 許芬英.學(xué)為中心的初中數(shù)學(xué)課堂特征和教學(xué)基本模式初探[J].課程·教材·教法，2014(05).

[2] 劉鵬林.例談中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法的探究[J].萍鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2015(12).