結合判別式，巧解數學題

朱秋萍

(江蘇省如皋市第二中學 226500)

一、不等式證明

判別式在高中數學中占有非常重要的地位，它是等式與不等式相聯系的重要橋梁，巧用判別式簡解數學題的思路是，從條件出發等價轉化構造出關于某個變量的一元二次方程或一元二次不等式或一元二次函數，進而通過判別式簡解問題.

點撥本題巧用判別式簡解數學題的思路是，將c看成常量，觀察a、b之間的關系利用韋達定理構造出一元二次方程，將c代入方程，得到關于c的一元二次方程，利用判別式法，結合題目中的條件解答問題.

二、求解三角函數中角的值

巧用判別式簡解三角函數中的角值，關鍵在于構造出關于某個變量的一元二次方程，再根據方程根的個數，然后利用判別式與0的大小，構造出三角函數中的角的取值范圍，得出三角函數中角的值.

三、解平面幾何問題

將一元二次方程根的判別式應用于幾何，應注意根據幾何圖形的性質，構造關于某一幾何量為元的一元二次方程，判別式法?？梢员苊庠S多復雜的數學運算，而且幾何意義清晰，不失為一個方便、有效的好方法.

例3 三角形ABC中，已知AB=c及其相對的C角，求內切圓半徑r的取值范圍.

又r>0，

點撥本題求解內切圓半徑r的取值范圍的過程中，根據三角形的性質，得到a、b之間的關系，利用韋達定理得到一元二次方程，再利用Δ>0，使問題變得輕巧簡捷，因此判別式法在幾何問題中也能夠得到廣泛的應用.

四、求解極值

二次函數的判別式也常常應用與極值的求解，通過將原來的函數進行轉化，得到一元二次方程的一般形式，從而根據判別式求出系數的極值，此種方法的關鍵在于“降次”，通過下面的例題可以對判別式求極值有一個基本的了解.

例4 若實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為____.

點撥本題的關鍵在于消元，首先將“三元”轉化為“二元”，接著又將“二元”轉化為“一元”，最終將問題轉化為一元函數的最值問題，通過巧妙的轉化，利用一元二次方程根的判別式，巧妙地求出了a的極值.

綜上所述，對有些看似與一元二次方程毫無關聯的數學問題，可以通過等價轉化構造出一元二次方程，進而利用判別式能使問題由繁化簡，最終巧妙地解決數學問題.希望學生們在以后的解題過程中，能夠學會使用判別式，來解一元二次方程以外的問題.

[1]張麗萍.巧用判別式求函數的最值[J].高中數理化,2011(23).

[2]王云峰.判別式法[J].數學教學通訊,2011(07).