神奇的楊輝三角
2017-02-06 06:05:09劉彥永
數理化解題研究
2017年34期
關鍵詞：數學
劉彥永
(東北師大附中 130021)
南宋的楊輝在他1261年所著的《詳解九章算法》一書中記錄了圖1所示的三角形數表，稱之為“開方作法本源”圖，即現在的楊輝三角，其本質是二項式系數在三角形中的一種幾何排列(如圖2).楊輝三角中蘊含著許多奇妙的性質，也與許多數學問題有著密切的聯系.古今中外，有許多數學家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都層深入研究過楊輝三角，下面我們一起走近楊輝三角吧.
一、楊輝三角與組合數
(5)每一行奇數位上的數的和與偶數位上的數的和相等，即
二、楊輝三角與概率問題
如圖3的高爾頓板，若小球碰到阻擋物后等可能地向兩側跌落，再次遇到障礙物后繼續等可能的向兩側跌落，以此類推，一直下跌，直到最終落入底層.
1.在圖3的高爾頓板中，求：
(1)小球落入第4層第3個通道的概率P(4,3)；
(2)小球落入第n+1層第k(k≤n)個通道和第n+1層第k+1個通道的概率之和.
分析高爾頓板的原型為楊輝三角，利用楊輝三角的基本性質和數量關系即可解決問題.
(2)根據楊輝三角的特點有
事實上，我們可以用數學歸納法證明如下定理：
三、楊輝三角與縱橫路線圖
例4 縱橫路線圖是一類有趣的數學問題.圖4是某城市的部分街道圖，縱橫各有5條路，從A處走到B處且路徑最短，共有多少種不同的走法？
解我們把圖5順時針旋轉45度，然后在交叉點標上楊輝三角對應的數，如圖6.一般地，每個交點上的數就是從A處到達該點的方法數，故答案是70.
四、楊輝三角與萊布尼茨三……
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