淺談數學新定義題的解題策略
——以2017年中考試題為例

陸煒鋒

(江蘇省海門市六甲初級中學 226100)

筆者對2017年各省市的新定義題進行了深入細致的研究，感觸很深．本文將對最具有代表性的題型特點進行分析，希望能對廣大師生有一點點的幫助．

一、數與代數類試題

例1 (2017湖南益陽)在平面直角坐標系中，將一點(橫坐標與縱坐標不相等)的橫坐標與縱坐標互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如(-3，5)與(5，-3)是一對“互換點”．

(1)任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數的圖象上？為什么？

(2)M、N是一對“互換點”，若點M的坐標為(m，n)，求直線MN的表達式(用含m、n的代數式表示)；

簡解(1)不一定，理由略．

(2)由M(m，n)得N(n，m)，設直線MN的表達式為y=cx+d．

代入得解析式：y=-x+m+n；

∴ “互換點”是(2，-1)和(-1，2)，代入y=x2+bx+c，

∴此拋物線的表達式為y=x2-2x-1．

二、圖形與幾何類試題

例2 (2017黑龍江齊齊哈爾)經過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，則∠ACB的度數為____．

簡解AC≠CD．

②當DA=CD時，∠ACD=∠A=46°，∴∠ACB=46°+46°=92°.

評析本題可以將“線”的問題轉化為“等腰三角形”和“相似三角形”的問題，而三角形的問題又都轉化為“角”的問題．這樣的“套路”是學生應該掌握的解題思路，它不是“題型+技巧”，而是一種“自然”的解法．需要注意的是，等腰三角形分類討論的三種情況，可以去掉一種，這是靈活運用分類討論思想、節省解題時間的表現．

三、統計與概率類試題

例3 (2017山東日照)若n是一個兩位正整數，且n的個位數字大于十位數字，則稱n為“兩位遞增數”(如13，35，56等)．在某次數學趣味活動中，每位參加者需從由數字1，2，3，4，5，6構成的所有的“兩位遞增數”中隨機抽取1個數，且只能抽取一次．

(1)寫出所有個位數字是5的“兩位遞增數”；

(2)請用列表法或樹狀圖，求抽取的“兩位遞增數”的個位數字與十位數字之積能被10整除的概率．

簡解(1)15,25,35,45.

(2)樹狀圖：

評析第(1)小題重在理解遞增的含義；第(2)小題可以通過畫樹形圖來表示，而樹形圖要省略不合題意的情況．此題的解題策略是品悟兩位遞減數的含義，引導學生回到定義中去(波利亞語)，找出與平時解題不同之處.

通過分析，我們發現：解新定義題，就是要細讀定義關鍵詞，理解本質特征，適時轉化為“熟悉”問題.總之，解決此類問題，取決于已有知識、技能、數學思想的掌握和基本活動經驗的積累，還需要不斷的實踐和反思，不然就談不上“自然”的、完整的解題.

[1]戴向陽．淺談中考“新知閱讀理解”的解題策略[J]．中國數學教育(初中版)，2016 (11)：52-55，60．