傳承 創新 發展
——2016年安徽中考壓軸題賞析

馮章成

(安徽省合肥市第四十二中學中鐵國際城校區 230031)

每年安徽中考數學壓軸題，倍受中考命題者、試題研究者以及廣大初中畢業班師生的青睞.2016年的數學壓軸題更是如此，學生拿到題目有種似曾相識的感覺，的確如此.2016年的數學壓軸題繼續采用經典的基本模型作為背景，但又不拘泥于基本模型，在傳承基本模型的基礎上，精心研究，加以創新，拓展提高，發展學生的能力.一題多問的設計具有很好的層次性、啟發性、關聯性和發展性.下面就該題采用的模型以及該題的設計和具體解法賞析如下.

經典模型呈現: 已知，如圖，PA=PO，QB=QO，∠APO=∠BQO=90°,點E為AB中點；求證：PE=QE，PE⊥QE.

分析這是兩等腰直角三角形共一銳角頂點的經典模型，此模型的經典之處就在于：兩斜邊的夾角不論如何變化，上述結論恒成立.下面先來證明這兩結論.

證明分別取OA、OB的中點C和D，連接CP、CE、DQ、DE.

∵點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點,

∴DE和CE是△AOB的中位線,

∴四邊形ODEC是平行四邊形,

∴∠OCE=∠ODE.

∵PA=PO，QB=QO，∠APO=∠BQO=90°,

PC⊥OA，QD⊥OB,

∠PCO=∠QDO=90°.

∴PC=ED，CE=DQ，∠PCE=∠EDQ,

∴△PCE≌△EDQ,

∴PE=QE，∠CPE=∠DEQ.

∵DE∥OC,

∴∠OCE+∠CED=180°.

又∵∠PCE+∠CPE+∠CEP=180°,

∴∠OCE+∠CED=∠PCE+∠CPE+∠CEP,

即∠OCE+∠CEP+∠DEQ+∠PEQ=∠OCE+∠PCO+∠CEP+∠CPE,

∴∠PEQ=∠PCO=90°,

∴PE⊥QE.

2016年安徽中考壓軸題原題呈現:

如圖1，A,B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角.現以線段OA,OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP, △OBQ,點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點.

(1)求證: △PCE≌△EDQ；

(2)延長PC,QD交于點R,

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

參考答案及評分標準呈現：

(1)證明: ∵點C,D,E分別是OA,OB,AB的中點,

∴四邊形ODEC是平行四邊形,

∴∠OCE=∠ODE.

又∵△OAP, △OBQ都是等腰直角三角形,

∴∠PCO=∠QDO=90°,

∴∠PCE=∠PCO+∠OCE=∠QDO+∠ODE=∠EDQ.

∴△PCE≌△EDQ.(5分)

(2)①證明：如圖1，連接OR.

∵PR與QR分別為線段OA與OB的中垂線,

∴AR=OR=BR, ∠ARC=∠ORC, ∠ORD=∠BRD.

在四邊形OCRD中，∠OCR=∠ODR=90°, ∠MON=150°,∴∠CRD=30°.

∴∠ARB=∠ARO+∠BRO=2∠CRO+2∠ORD=2∠CRD=60°,

∴△ABR為等邊三角形.(9分)

②解:如圖2，由(1)知EQ=PE, ∠DEQ=∠CPE.

∴∠PEQ=∠CED-∠CEP-∠DEQ=∠ACE-∠CEP-∠CPE=∠ACE-∠RCE=∠ACR=90°,

即△PEQ為等腰直角三角形.

由于△ARB∽△PEQ，所以∠ARB=90°.

于是在在四邊形OCRD中，∠OCR=∠ODR=90°,

∴∠MON=135°.

此時P、O、B在一條直線上，△PAB為直角三角形且∠APB為直角.

三個問題的設計層層遞進，相互關聯，具有一定的啟發性和發展性.第一問直接把模型的證明方法展示出來了，不扭扭捏捏遮遮掩掩.可以說是起點低、易上手.符合學生的認知特點，使得不同認知水平、不同學習經歷的學生都能迅速積極參與到問題的探究和解決中來.

[1]安徽省教育考試院. 2016年初中畢業學業考試試題、參考答案及評分標準[Z]，2016：6-10.