從《Fourier analysis: an introduction》談大學(xué)數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

劉春梅

?

從《Fourier analysis: an introduction》談大學(xué)數(shù)學(xué)問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)

劉春梅

（湖南科技學(xué)院 理學(xué)院，湖南 永州 425199）

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)在國(guó)外大學(xué)的課堂和教材中已得到廣泛應(yīng)用。文章以國(guó)外優(yōu)秀教材《Fourier analysis: an introduction》為研究對(duì)象，從教學(xué)和認(rèn)知兩個(gè)角度分析該教材運(yùn)用問題驅(qū)動(dòng)達(dá)到了突出教學(xué)主旨，合理教學(xué)安排，促進(jìn)學(xué)生思考，增強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和促進(jìn)學(xué)生科學(xué)研究等目標(biāo)。這將對(duì)今后的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和教材編寫等工作產(chǎn)生積極的指導(dǎo)作用。

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；問題驅(qū)動(dòng)；教材

1　引　言

基于問題的學(xué)習(xí)方法（Problem-based learning，PBL）可以追溯到上世紀(jì)60年代的MchMaster大學(xué)，自該大學(xué)首次提出這個(gè)概念起就風(fēng)靡整個(gè)北美大陸和世界其他高校[1]Barrows和Tamblyn在上世80年代在許多醫(yī)科大學(xué)就已開始提倡含有PBL的課程改革實(shí)踐。這種方法強(qiáng)調(diào)以問題為學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，而不像傳統(tǒng)教學(xué)那樣先學(xué)習(xí)理論知識(shí)再嘗試解決問題。正因如此，這種學(xué)習(xí)方法一經(jīng)提出就受到了各專業(yè)領(lǐng)域教育者的好評(píng)，并被廣泛應(yīng)用于其他專業(yè)的教學(xué)和實(shí)踐中。李大潛院士于2006 年在文[2]中提出，“除了繼續(xù)有力支持由數(shù)學(xué)家探索數(shù)學(xué)奧秘的好奇心驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)研究之外，還要大力提倡和推動(dòng)以問題(而不是以文獻(xiàn)) 驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究”。數(shù)學(xué)教育家張奠宙教授也對(duì)問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教育觀十分推崇，在文[3]中寫道：“問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，旨在把隱藏在‘冰冷的形式’后面的數(shù)學(xué)思想呈現(xiàn)出來”。

文章將以一本國(guó)外優(yōu)秀教材——《Fourier analysis: an introduction》[4]為研究對(duì)象，對(duì)該教材中理論知識(shí)點(diǎn)的有序架構(gòu)，合理安排等各方面所呈現(xiàn)出來的的問題驅(qū)動(dòng)式教育方法展開研究，并總結(jié)教材編寫的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)。《Fourier analysis: an introduction》是由國(guó)際著名的調(diào)和分析大師E.M.Stein 教授（第一作者）為本科生所寫的四本分析學(xué)系列教材之一。E.M.Stein是1999年Wolf獎(jiǎng)獲得者，也是一位卓越的教師。至今，他已有兩位學(xué)生獲得了Fields獎(jiǎng)。這套教材已在Princeteon大學(xué)和UCLA 等名校中使用多年。一本優(yōu)秀教材不但要適合教師課堂講授，而且要適合學(xué)生自學(xué)。教師課堂講授的知識(shí)主線脈絡(luò)和學(xué)生課外自學(xué)的思維牽引都應(yīng)當(dāng)源于教材自身知識(shí)點(diǎn)的有機(jī)組織和系統(tǒng)構(gòu)成。縱觀整本教材，問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)這一主要方法貫穿始終。

2　以問題驅(qū)動(dòng)開展教學(xué)符合教學(xué)規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律

2.1以問題驅(qū)動(dòng)突出教學(xué)主旨

古人對(duì)于科學(xué)研究，稱之為“學(xué)問”。可見，古人在學(xué)習(xí)研究過程中非常重視利用“問”這一手段來達(dá)到學(xué)有所得，學(xué)有所成。“問”這一手段既可以是教師的提問，學(xué)生的疑問，還可以是教材讀本的自問。在《Fourier analysis:an introduction》中，“問”這一手段以問題的形式得到了廣泛的應(yīng)用。它經(jīng)常出現(xiàn)在章節(jié)的引言部分，某些個(gè)知識(shí)點(diǎn)傳授完畢后引出新知識(shí)點(diǎn)的階段，定理、推論或性質(zhì)證明的前后等。比如，教材的第2章推論2.3指出，“當(dāng)函數(shù)在圓周上連續(xù)且的Fourier級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則該Fourier 級(jí)數(shù)一致收斂于”，隨后，作者就提出問題，“什么條件能夠保證的Fourier 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?”。又如，在第3章的引言中教材給出了一個(gè)關(guān)于Fourier 級(jí)數(shù)的逐點(diǎn)收斂性問題，“給定，的Fourier級(jí)數(shù)是否收斂于（）?”。這些問題的提出十分清晰地告知學(xué)生本次課程章節(jié)的主旨和線索。學(xué)生會(huì)很清楚地認(rèn)識(shí)到，接下來的教學(xué)內(nèi)容就是圍繞這些個(gè)問題，闡述作者是如何想方設(shè)法去解決這些問題的。這樣做可以使得在教學(xué)活動(dòng)中避免學(xué)生思想處于一種游離的狀態(tài)，即老師講了半天，寫了一大堆，學(xué)生不知所云，不知道老師在干什么。

2.2以問題驅(qū)動(dòng)合理安排教學(xué)

俗話說，“萬(wàn)事開頭難”。為了能使本科學(xué)生能快速適應(yīng)并且掌握Fourier 分析的理論和方法，作者在教材撰寫前對(duì)教材內(nèi)容的選擇與安排作了非常深入的思考。在序言中，作者就提出了如何對(duì)教材進(jìn)行撰寫和編排的三個(gè)基本問題:

（1）從哪里開始講起？

（2）哪些應(yīng)作為最基本的主題？

（3）依什么順序來發(fā)展相關(guān)的概念和基本技巧？

這三個(gè)問題的回答實(shí)際上就是給出了教材所蘊(yùn)含知識(shí)體系的一個(gè)整體性的基本脈絡(luò)。作者依據(jù)Fourier分析在分析學(xué)中的重要作用和它的思想方法如何滲透至現(xiàn)代分析的過程，將教材分為8章，其中第1章介紹Fourier分析的產(chǎn)生，第2-4章講述Fourier級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、收斂性和一些應(yīng)用，第6-7章闡述R和Rd上的Fourier變換，第7-8章闡述有限Fourier分析及應(yīng)用。這個(gè)基本脈絡(luò)符合Fourier分析的發(fā)展歷史，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和系統(tǒng)性。

它是否能表示成

在學(xué)完第1章后，學(xué)生基本掌握計(jì)算函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，很自然地，一個(gè)關(guān)于Fourier級(jí)數(shù)展開式的唯一性問題“具有相同F(xiàn)ourier系數(shù)的兩個(gè)函數(shù)是否相等？”，在第二章前言中被提出。作者以此為契機(jī)，馬上提出探討Fourier級(jí)數(shù)的部分和，并進(jìn)一步給出Fourier級(jí)數(shù)求和的各種計(jì)算方法。這些理論恰好作為第2章的組成。有了第1章和第2章的基礎(chǔ)，第3章很自然地會(huì)讓學(xué)生想到，下面應(yīng)當(dāng)要解決Fourier級(jí)數(shù)的收斂性問題。

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂中各知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)經(jīng)常帶給學(xué)生的印象是生硬，呆板，沉重和它們之間聯(lián)系太少，有時(shí)一些概念，性質(zhì)，定理出現(xiàn)得非常突兀。如果將這些知識(shí)點(diǎn)以多個(gè)問題的形式表現(xiàn)出來，那么將有助于學(xué)生理清知識(shí)點(diǎn)之間的來龍去脈，有助于使知識(shí)點(diǎn)展現(xiàn)出層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣等生動(dòng)、活潑的形象。這種形象也將促使學(xué)生在頭腦中形成一根知識(shí)的紅線將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)的串接和起來，在常期的數(shù)學(xué)訓(xùn)練下將會(huì)使學(xué)生更加熟悉和理解的知識(shí)架構(gòu)體系，并掌握其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)的思想和方法。

2.3以問題驅(qū)動(dòng)促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)思考

古人早在幾千年前就認(rèn)識(shí)到，“授人以魚，不如授人以漁”。它清楚地告訴我們，教師在進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)時(shí)，僅僅著眼于具體的知識(shí)點(diǎn)傳授，這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，而應(yīng)當(dāng)教會(huì)人如何去做，更深層次的，應(yīng)當(dāng)教會(huì)人去思考。同理，一本優(yōu)秀的教材不應(yīng)當(dāng)只是停留在正確表述出本課程的各個(gè)理論的表面，也不應(yīng)當(dāng)是作者炫耀技巧的舞臺(tái)，而應(yīng)當(dāng)能揭露出該課程數(shù)學(xué)理論與方法的本質(zhì)，將這些理論所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法能展示出來，即將“冰冷的美麗”的數(shù)學(xué)，還原為對(duì)數(shù)學(xué)“火熱的思考”[3]。在國(guó)內(nèi)，數(shù)學(xué)之所以難學(xué)，原因主要有兩方面。一是數(shù)學(xué)的理論和方法本身確實(shí)有其獨(dú)到之處，有些理論不會(huì)簡(jiǎn)單得讓毫無基礎(chǔ)或基礎(chǔ)不扎實(shí)的人迅速理解。另一方面是國(guó)內(nèi)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)以及教材大多都沒有能夠最大程度的揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。例如，國(guó)內(nèi)有關(guān)于《高等數(shù)學(xué)》的教材及教輔就有幾千種，但大部分教材都是左抄右抄，或者簡(jiǎn)單的改變下順序，很少含有作者自己獨(dú)立的思考，甚至有些教材錯(cuò)誤百出。即使是一些所謂的“十二五”規(guī)劃教材，它們對(duì)高等數(shù)學(xué)的知識(shí)體系也是停留在平鋪直敘，機(jī)械的將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行復(fù)述，簡(jiǎn)單乏味，毫無樂趣而言。顯然，這無法調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和興趣了，更無法促成學(xué)生展開火熱的思考。

(2) 這個(gè)區(qū)域面積的幾何定義是怎樣的？這個(gè)定義與本章中（1）相符合嗎?

(3)這些結(jié)果能夠推廣到一般的簡(jiǎn)單可求長(zhǎng)的閉合曲線類嗎?

另外，在學(xué)生思考的關(guān)鍵時(shí)候還應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一些適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)和幫助，讓學(xué)生體會(huì)到通過自身的積極思考并運(yùn)用知識(shí)和技能能夠戰(zhàn)勝困難，從而增強(qiáng)自信心，獲得勝利的體驗(yàn)和滿足感。

2.4以問題驅(qū)動(dòng)增強(qiáng)應(yīng)用實(shí)踐環(huán)節(jié)

數(shù)學(xué)的推理嚴(yán)格遵循形式邏輯的原則，是一門高度抽象的學(xué)科。它的很多概念、思想、理論和方法都能在現(xiàn)實(shí)生活中找到原型。在介紹Fourier級(jí)數(shù)的產(chǎn)生時(shí)，教材給出了這樣一個(gè)問題，即“如何對(duì)兩端固定且能自由振動(dòng)的弦振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行描述?”，并用它對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行引領(lǐng)。為回答這一問題，教材分別對(duì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，直波和傳遞波，以及諧波的疊加等物理現(xiàn)象進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。比如，為了利用數(shù)學(xué)描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作者首先假設(shè)有一個(gè)彈簧，其左端連著一個(gè)質(zhì)量為的物體，右端固定在墻上，將它們放置在水平的光滑平面上。然后，在彈簧處于平衡狀態(tài)（即彈簧無壓縮和拉伸）的時(shí)，建立以物體的質(zhì)心為原點(diǎn)的水平坐標(biāo)軸y。接下來，當(dāng)用外力將物體偏移初始狀態(tài)（平衡狀態(tài)）后釋放，則彈簧將呈現(xiàn)出簡(jiǎn)諧振動(dòng)。利用Hooke定律和Newton第一運(yùn)動(dòng)定律，建立簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程

其中為彈簧系數(shù)。最后，給定初始條件，利用微分方程的理論，得到方程的解

這個(gè)過程是從現(xiàn)實(shí)中的一個(gè)物理現(xiàn)象出發(fā)，通過假設(shè)建立起數(shù)學(xué)方程來描述現(xiàn)象，最后利用數(shù)學(xué)知識(shí)來求解得到方程解的過程，就是數(shù)學(xué)建模過程。近些年來，廣大的高校數(shù)學(xué)教師達(dá)成了一個(gè)共識(shí)，那就是數(shù)學(xué)建模是聯(lián)系數(shù)學(xué)與實(shí)際應(yīng)用的必要途徑和關(guān)鍵環(huán)節(jié)[5]。將數(shù)學(xué)建模的思想與方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革實(shí)踐中去，將可能使大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革呈現(xiàn)出一個(gè)新的面貌。

2.5以問題驅(qū)動(dòng)推動(dòng)創(chuàng)新教育和科學(xué)研究

任何一門學(xué)科的發(fā)展都離不開問題，也只有在提出問題和解決問題兩者相互促進(jìn)中不斷的前進(jìn)[6]。數(shù)學(xué)教學(xué)如果只是要求學(xué)生看例題、做習(xí)題、答考題，而不是讓學(xué)生主動(dòng)地提出問題，那么最終結(jié)果是，數(shù)學(xué)教學(xué)與問題驅(qū)動(dòng)分離，將會(huì)使得創(chuàng)新教育漸行漸遠(yuǎn)[3]。筆者研讀這本教材時(shí)發(fā)現(xiàn)該教材在每一章后都設(shè)置兩類習(xí)題: 練習(xí)題(exercises)和問題(problem(s))。設(shè)置練習(xí)題的目的是對(duì)學(xué)生在課后進(jìn)行一定量的數(shù)學(xué)基本訓(xùn)練，訓(xùn)練他們掌握相應(yīng)章節(jié)重要知識(shí)要點(diǎn)的基本概念，方法和技巧。它是一種傾向于對(duì)數(shù)學(xué)理論的熟悉和理解。設(shè)置課后的問題的目的則不僅僅停留在基本概念，方法和技巧訓(xùn)練這一層面，它更側(cè)重于深層次提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要學(xué)生能創(chuàng)造性地運(yùn)用概念，方法和技巧來自我分析問題，解決問題的能力。因此，它實(shí)際上是一種研究性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)訓(xùn)練。有時(shí)，我們也稱這種課后問題為課后思考題。例如，在第二章習(xí)題中作者給出了三個(gè)問題，其中第一個(gè)問題是構(gòu)造在區(qū)間[0,1]上的Riemann可積函數(shù)，且該函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成[0,1]的稠密子集，第三個(gè)問題是對(duì)Tauber定理的一個(gè)簡(jiǎn)化。在第一個(gè)問題中，作者將其分為兩個(gè)小問題，并對(duì)這兩個(gè)問題進(jìn)行了條件限制。第一小問是限定這個(gè)Riemann可積函數(shù)單調(diào)有界，而第二小問則要求構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)在[0,1]的任何一個(gè)子區(qū)間上都不單調(diào)。顯然，第二小問的難度要比第一小問大得多。但第一小問的解決過程又將給第二小問帶來一些解題線索。

雖然這些都是一些已知結(jié)論，但對(duì)于學(xué)生而言，卻是新鮮的。學(xué)生帶著這樣的問題去思考，反復(fù)錘煉自己掌握的知識(shí)與技能，這樣既開拓了學(xué)生的視野，又將學(xué)生“一不小心”帶入到了一個(gè)又一個(gè)的科學(xué)研究訓(xùn)練中。最終，學(xué)生解決這樣的問題，對(duì)于自身來說就是一種“創(chuàng)新”。當(dāng)然，這種“創(chuàng)新”并不是真正意義上的創(chuàng)新，但對(duì)學(xué)生而言確實(shí)一種具有開創(chuàng)意義的創(chuàng)新。它是創(chuàng)新的一個(gè)必經(jīng)階段。事實(shí)上，如果學(xué)生的思維能從思考題題目本身跳出來，再次進(jìn)行知識(shí)重構(gòu)和組合并大膽嘗試研究一些自己感興趣的東西。這種嘗試就是一種創(chuàng)新，因此，也將極大地推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

3　結(jié)束語(yǔ)

作為一本國(guó)外優(yōu)秀教材，《Fourier analysis:an introduce-tion》除了系統(tǒng)闡述Fourier 分析的精妙理論外，還呈現(xiàn)了作者所提倡的以問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教育觀。本文以該教材利用問題設(shè)置來進(jìn)行安排教學(xué)內(nèi)容，從教學(xué)主旨，教學(xué)安排，促進(jìn)學(xué)生思考，理論聯(lián)系實(shí)際，創(chuàng)新教育和科學(xué)研究方面進(jìn)行了一些總結(jié)。但是，本文對(duì)于學(xué)生如何能提出正確的、積極的問題，教師如何有效引導(dǎo)學(xué)生思考去解決問題等方面并沒有涉及。我們將把這些作為今后的主要研究目標(biāo)和任務(wù)。

[1]M.A.Albanese and S.Mitchell.Problem-based learning:a review of literature on its outcomes and implementation issues[J].Academic Medicine Journal of the Association of American Medical Colleges,1993,(1):52-81.

[2]李大潛.關(guān)于大力提倡和推動(dòng)以問題驅(qū)動(dòng)的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的建議[J].中國(guó)科學(xué)基金,2006,(4):223-226.

[3]張奠宙,張蔭南.新概念:用問題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)教學(xué)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2004,(3):8-10.

[4]E.M.Stein and R.Shakarchi.Fourier analysis:an introduction [M].Princeton:Princeton University Press,2003.

[5]李大潛.漫談大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)與方法[J].中國(guó)大學(xué)教學(xué),2009,(1):7-10.

[6]劉春梅.以問題驅(qū)動(dòng)化生類專業(yè)高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)[J].湖南科技學(xué)院學(xué)報(bào),2014,(5),19-21.

（責(zé)任編校：何俊華）

2017－05－16

劉春梅（1981－），女，山西五臺(tái)人，現(xiàn)為湖南科技學(xué)院理學(xué)院教師，副教授，博士，研究方向?yàn)槠⒎址匠虜?shù)值解和數(shù)學(xué)教學(xué)。

O13

A

1673-2219（2017）10-0010-03