5次對稱群S5的一類子群的一個構造方法

唐耀平　吳建平　周立平

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5次對稱群S5的一類子群的一個構造方法

唐耀平吳建平周立平

（湖南科技學院 理學院，湖南 永州 425199）

由于有限群的Lagrange定理的逆定理不成立。因此，要確定S5的各階子群是較困難的。文章通過次對稱群的基本概念及5-循環(huán)置換各次方冪的計算及研究，找到了S5的一類子群的構成規(guī)律，并使用構造性方法給出了3、5、6、8階子群。

5次對稱群；子群；Lagrange定理；循環(huán)置換

1　引　言

關于子群及個數的研究在計算機通信、代數編碼及計數理論研究中都具有重要意義。次對稱群S是一個重要的群，由定理知，任何有限群都同構于對稱群S的一個子群. 所以，只要能夠解決S的所有子群及這些子群的結構，則任意有限群的問題就得到完全解決。但較大時，要找出S的全部子群及決定各子群的結構仍然困難。文獻[2]討論了4的所有子群及其結構，文獻[3-5]討論了6的所有子群及兩類子群的構造方法，文獻[6]討論了5的2、4、20、24階的子群，文獻[7-13]給出了5的子群5的一些性質及其結構。這些文獻表明對次對稱群S及其子群的討論依然是非常活躍的。本文使用有限群的定理及次對稱群的結果，構造性地給出了5的3、5、6、8階子群，文中所引用的符號見文獻[1]。

2　預備定理

3　主要結果

3.1 5－循環(huán)置換冪的計算

‖???‖ ???‖ ???‖ ???‖

（5）5－循環(huán)置換24個，由上述5－循環(huán)置換冪的計算，全部24個5－循環(huán)置換按其1，2，3，4次方冪進行分組，共為6組，分別為：

，，， ，，，

，， ，，

（7）3×2－循環(huán)置換的乘積20個，按3－循環(huán)置換與不相交的2－循環(huán)置換的乘積進行，即

，，，

，，，

3.2 構造S5的子群

命題15有10個3階子群.

證明：由定理1及推論，由于3是素數，因此3階群必為循環(huán)群，且由一個3階元生成，又由定理3，3階元的平方是其逆元，因此5有10個3階子群，即：

，，，

.

命題25有6個5階子群.

證明：由定理1及推論，5的5階子群的元素的階只可能為1、5，又由于5是素數，因此5階群必為循環(huán)群，所以組成5的5階子群的元素除單位元外，只可能由5－循環(huán)置換的元素組成，即：

，

命題35有30個6階子群.

證明：由定理1及推論，5的6階子群的元素的階只可能為1、2、3、6，所以組成5的6階子群的元素除單位元外，只可能由2－循環(huán)置換、3－循環(huán)置換、2×2－循環(huán)置換的乘積、3×2－循環(huán)置換的乘積、6－循環(huán)置換或它們的元素組合形式，即；

（1）經計算由單位元、2－循環(huán)置換、3－循環(huán)置換與3×2－循環(huán)置換的乘積形式的元素組成5的10個子集均為5的6階子群，即：

，，

，，

每個子群的構浩方法（本文取、、、、為5－循環(huán)置換的5個元素）：

（1.l）從命題2中任意選定一個3階子群，取其3階元（如()）.

（1.2）取與這個3階元不相交的2階元（如()）.

（1.3）將2階元與3階子群相乘即得.

（2）經計算由單位元、3－循環(huán)置換與3×2－循環(huán)皆換的乘積形式的元素組成5的10個子集均為5的6階子群，即：

，，

，，

每個子群的構造方法：

（2.1）從命題2中任意選定一個3階子群，取其3階元（如()）.

（2.2）取這個3階元3個數字的任意二者組合，組成2階元（如()、()、()）.

（2.3）取與這個3階元不相交的2階元（如()）.

（2.4）將()與第2步中任一個2階元（如()）相乘得2×2－循環(huán)置換的乘積(如()()).

（2.5）將這個2×2－循環(huán)置換乘積形式的元與第1步中3階子群相乘即得.

（3）經計算由單位元、2－循環(huán)置換與3－循環(huán)置換的元素組成5的10個子集均為5的6階子群，即：

，，

，，

每個子群的構造方法：

（3.1）從命題2中任意選定一個3階子群，取其3階元（如(abc)）.

（3.2）取這個3階元3個數字的任意二者組合，組成2階元（如(ab)、(ac)、(b c)）.

（3.3）取第2步中任一個2階元（如(ab)）.

（3.4）將這個2－循環(huán)置換的元與第1步中3階子群相乘即得.

命題45有15個8階子群.

證明：由定理1及推論，5的8階子群的元素的階只可能為1、2、4、8，所以組成5的6階子群的元素除單位元外，只可能由2－循環(huán)置換、4－循環(huán)置換、2×2－循環(huán)置換的乘積或它們的元素組合形式，即：

經計算由單位元、2－循環(huán)置換、4－循環(huán)置換與2×2－循環(huán)置換的乘積形式的元素組成5的15個子集均為5的8階子群，即：

，

，

，

，

，

每個子群的構造方法：

（1）每個子群的前三個元素是從文章所給的5組2×2－循環(huán)置換的乘積中任取的一組，再加上單位元.

（2）第五、六個元素為前三個的第一個2×2－循環(huán)皆換的拆分.

（3）第七、八個元素分別為第二、三個2×2－循環(huán)置換按順序合并成4－循環(huán)置換.

（4）在所取的2×2－循環(huán)置換的3個元素中按輪回排列先后順序.

[1]徐明耀.有限群導引[M].北京:科學出版社,1999.

[2]孫自行,崔方達.4次對稱群的子群個數及其證明[J].阜陽師范學院學報,2005,(4):13-16.

[3]黃本文.對稱群6的一類子群[J].武漢交通科技大學學報,2000,(2):129-134.

[4]Huang Ben-wen.The subgroups of symmetric groups6[J].Applied Mathematics A Journal of Chinese Universities,2001,(1):31-35.

[5]Huang Ben-wen.The subgroups of symmetric group6[J].Journal of Wuhan Transportation University,2000,(2):129-134.

[6]班桂寧,吳建平,張中建,張玉.5的一類子群的一個構造方法[J].吉首大學學報(自然科學版),2008,(4):1-4.

[7]Machi A,Siconofi A.A new characterization of5[J].Arch.Math.1977:385-388.

[8]Arad Z,Chillang D,Herjog M.Classification of finite groups by a maximal subgroup[J].Journal of Algebra,1981,(1):235-244.

[9]Shi Wu-jie.Characterization of A5and the finite groups in which every element has prime order[J].Journal of Southwest Teachers University,1984,(1):36-40.

[10]Shi Wu-jie.Characterization proerty of5[J].Journal of Southwest Teachers University,1986,(3):11-14.

[11]Huang Ben-wen.The characterization of5[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,1997,(4):405-410.

[12]孫自行.5次交錯群5的10階子群的一個構造方法[J].電子科技大學學報,2006,(3):419-422.

[13]包霞,焦艷.5的一類12階子群的構造[J].西北民族大學學報,2007,(3):11-15.

（責任編校：何俊華）

2017－05－09

湖南省自然科學基金項目（項目編號12JJ3077）。湖南省教育廳資助科研項目（項目編號12C0688）。

唐耀平（1973－），男，湖南永州人，教授，碩士，主要從事數值代數及群體決策研究。

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1673-2219（2017）10-0001-04