簡化解析幾何運(yùn)算有技巧

劉春雷

一、巧用定義，直奔主題

例1雙曲線x24-y25=1上有一點(diǎn)A到左焦點(diǎn)的距離為52，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，y1）.由雙曲線方程知a=2，b=5，c=3.

常規(guī)思路是解方程組x214-y215=1

（x1+3）2+y21=52.但如能考慮利用統(tǒng)一定義，則可化繁為簡.

因?yàn)殡p曲線的左準(zhǔn)線為x=-43，離心率為32，則52（-43）-x1=32，解得x1=-3.

故y1=±5（x214-1）=±52.所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，±52）.

評(píng)注：這里要注意的是橢圓（雙曲線）有兩個(gè)焦點(diǎn)，兩條準(zhǔn)線，利用統(tǒng)一定義時(shí)，應(yīng)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)到某一焦點(diǎn)的距離與它到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比才是離心率.

二、數(shù)形結(jié)合，直觀獲解

例2已知拋物線y2=2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析：由定義知，拋物線上點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離d，求PA+PF的問題可轉(zhuǎn)化為求PA+d的問題.

將x=3代入拋物線方程y2=2x，得y=±6.

∵6>2，∴A在拋物線內(nèi)部，

如右圖.設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x=-12的距離為d，由定義知PA+PF=PA+d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，PA+d最小，最小值為72，即PA+PF的最小值為72，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2=2x，得x=2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）.

評(píng)注：在拋物線問題中，通?？梢越柚鷶?shù)形結(jié)合，將焦點(diǎn)弦或焦半徑，與相關(guān)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離相互轉(zhuǎn)化，從而可以免除解方程組的繁瑣，大大減小運(yùn)算量.

三、幾何性質(zhì)，助你省力

例3已知圓O′：（x-2）2+y2=4，動(dòng)圓M（在y軸右側(cè)）與y軸相切，又與圓O′外切，過A（4，0）作動(dòng)圓M的切線AN，求切點(diǎn)N的軌跡.

解析：設(shè)動(dòng)圓M與y軸切于點(diǎn)B，動(dòng)圓M與定圓O′切于點(diǎn)C，切點(diǎn)在MO′上，

∵M(jìn)B∥AO′，故∠BMC=∠CO′A且BMAO′=CMCO′，

∴△BMC∽△AO′C，∴∠MCB=∠O′CA，

∴B、C、A共線.由切割線定理，|AN|2=|AC|·|AB|（1）.

又在Rt△AOB中，OC⊥AB，故|AC|·|AB|=|AO|2=16（2）.

由（1）、（2），知|AN|=4.

故N的軌跡為圓（x-4）2+y2=16（（x，y）≠（0，0））.

評(píng)注：解析幾何中，曲線或圖形都具有某些特殊的幾何性質(zhì)，若能發(fā)掘并充分運(yùn)用這些幾何性質(zhì)，往往……