多個淹沒水平圓柱誘發高階諧波特性的數值與試驗研究

李慶昕，寧德志*，滕斌

(1. 大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

?

多個淹沒水平圓柱誘發高階諧波特性的數值與試驗研究

李慶昕1，寧德志1*，滕斌1

(1. 大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

基于勢流理論采用時域高階邊界元方法建立了模擬非線性波浪與淹沒水平雙、三圓柱作用的數值水槽模型，其中采用混合歐拉-拉格朗日方法更新自由水面，四階Runga-Kutta方法進行時間步進。利用兩點法分離得到潛體下游高階自由波，進而研究潛體間距、布置形式等對高倍頻自由波的影響。同時在物理水槽內開展多潛體高階諧波物理模型試驗，并將試驗結果與數值結果進行對比，吻合較好。研究發現：淹沒雙圓柱下游高階諧波幅值隨潛體間距呈現周期性振蕩變化，其振蕩的重現距離約為波長一半。而淹沒三圓柱下游的高階諧波隨第一個間距呈周期性振蕩變化，隨第二個間距的增大而減小。

非線性數值水槽；多潛體；高階諧波；物理模型試驗；高階邊界元法

1 引言

潛體是常見的海洋工程結構物，且多潛體經常同時存在，如海底暗礁、石油和天然氣輸送管道等設施，應用十分廣泛。波浪與多潛體作用后，由于潛體上方水深突然變淺，波浪非線性增強，產生與基頻波同速度傳播的高階諧波，導致波能從低頻分量向高頻分量轉換，從而改變了波浪的能量譜。當波浪傳播至堤后，由于水深增大，波浪的非線性作用相對減弱，部分高階諧波由鎖相波釋放為自由波。堤后產生的高階自由波有可能影響通航條件，甚至對堤后海岸建筑物造成破壞，因此有必要對多潛體誘發高階自由波特性開展深入研究。

許多學者已對波浪與潛體的相互作用問題進行了大量的理論分析、實驗和數值模擬研究。在理論分析方面，Patarapanich[1]基于線性勢流理論得到淹沒水平板反射系數隨板長與波長的比值呈振蕩現象。在波浪與潛體作用的實驗模擬方面，Dick和Brebner[2]通過試驗發現了淹沒水平板的下游存在高階諧波；Grue[3]對波浪與淹沒水平圓柱相互作用進行試驗研究，并提出兩點法分離高階自由波和鎖相波，發現在背浪側，二階自由波的幅值隨著入射波幅值增大而增大，最大達到入射波幅的60%，在達到飽和值后逐漸減小。Brossard等[4]分析了非線性波浪與水平板相互作用誘發的水波共振現象，發現一階共振與板長和板上方基頻波波長的比值相關，二階共振與板長和板上方鎖相波長的比值相關，而反射系數與板前后基頻波的相位差有一定的對應關系。此外，對于波浪與潛體相互作用的數值模擬方面，Ohyama和Nadaoka[5]利用邊界元數值水槽對波浪與淹沒臺階的相互作用進行模擬，發現當臺階的長度接近高階諧波拍長一半時，在透射波中相應高階諧波幅值會達到最大。鄭永紅等[6]利用改進的Boussinesq方程，對淹沒潛堤上方的波浪變形進行了數值模擬，得到了波浪在潛堤上傳播時波面演化過程；張洪生等[7]建立了一種以新型Boussinesq型方程為控制方程組的非線性波傳播數學模型，與Luth等[8]的潛堤模型實驗結果進行比較，其精度明顯高于傳統Boussinesq方程的精度；陳麗芬等[9]運用高階邊界元方法對波浪與潛堤相互作用問題進行研究，發現潛堤后的基頻波、二階和三階自由波幅值分別與入射波幅成線性、二次和三次函數關系。Ning等[10]通過數值模擬研究水流對淹沒圓柱誘發高階諧波特性的影響。

上述大多研究仍集中在波浪與單潛體的相互作用問題上，而對實際中經常出現的多潛體誘發高階諧波問題的研究還較少。本文分別以淹沒水平雙圓柱、三圓柱為潛體代表，采用非線性時域高階邊界元方法和物理模型實驗進行模擬分析，運用兩點法分離得到多潛體下游各階鎖相波和自由波。通過數值模擬結果與試驗結果對比，驗證模型準確性。進而開展數值試驗分析強非線性條件下，高階自由諧波幅值隨多潛體系統布置形式、間距等因素的變化規律。

2 數學模型

2.1 控制方程和邊界條件

考慮波浪與多淹沒水平圓柱相互作用問題，如圖1所示。建立二維笛卡爾坐標系xOz，原點O位于水槽左端，z=0位于靜水面，z軸向上為正，x軸向右為正。圖中，h表示靜水深，hs(i)(i=1, 2, 3)分別表示各個潛體淹沒水深(即從結構物最上端到靜水面的距離)，s表示兩個淹沒結構之間的間距，r表示圓柱半徑，ΓI表示入射邊界，ΓF為自由水面邊界，ΓO為出流邊界，ΓB為水底和物面邊界，Ω表示整個流域。考慮問題一般性，本文中假定各個潛體形狀、特征長度和淹沒深度均相同。在流體無黏、不可壓縮和流動無旋的假定下，則勢流理論可以應用于整個計算域內，存在速度勢φ滿足控制方程Laplace程：

▽2φ=0，

(1)

圖1 二維數值水槽示意圖Fig.1 Sketch of a 2D numerical wave flume

在瞬時自由水面ΓF上，滿足完全非線性運動學和動力學邊界條件，采用混合歐拉-拉格朗日方法更新自由水面，并在計算域上游和下游區域的自由水面分別布置人工阻尼層吸收從結構反射回來的波浪和出流波浪。進而自由表面運動學和動力學邊界條件可寫為如下形式：

在ΓF上,

(2)

(3)

在ΓF上,

(4)

式中，g表示重力加速度；η表示自由水面的鉛垂位移；ηa和φa僅在阻尼區域1中采用，表示在沒有結構物且計算條件相同時的波面高度和速度勢參考值，本文采用二階Stokes解析解代替。阻尼項μ1(x)和μ2(x)表示成如下形式：

(5)

式中，Lb為阻尼層寬度,取為1.5倍波長；x1(2)分別為左、右阻尼層起始位置。

在水槽入射邊界ΓI上，給定波浪速度傳播的二階Stokes解析解：

(6)

式中，A為入射波幅；k為波數；ω為角頻率；ω和k滿足色散方程。

在水槽底面Γd和物面ΓB上，滿足固壁不可滲透邊界條件，即

(7)

2.2 數值求解

在整個流域內對速度勢應用格林第二定理，可得到如下邊界積分方程：

(8)

式中，p=(x0,z0)為源點；q=(x,z)為場點；α(p)為固角系數；Γ為流域邊界，包括自由水面邊界和固體邊界；G為簡單格林函數，考慮到水底鏡像，可以表示為如下形式:

(9)

式中，

對整個計算域邊界采用三節點的二次邊界元進行離散，對每個單元進行數學變換，轉換成等參坐標(ξ)下的等參單元，采用二次形狀函數插值方法保證單元內幾何量和物理量的連續分布。并通過求解離散為線性方程組的方程(8)分別得到自由水面和物面上的未知速度勢方向導數和速度勢。計算中認為當前時刻物面ΓN上的速度勢法向導數和自由水面Γf上的速度勢是已知的，根據積分方程計算當前時刻物面ΓN上的速度勢和自由水面ΓF上的速度勢法向導數，然后應用四階Runga-Kutta法，根據自由水面條件式(2)計算下一時刻的水質點位置和自由水面ΓF上的速度勢，再對自由水面重新劃分網格，重新應用積分方程計算下一時刻物面上的速度勢和自由水面上的速度勢法向導數。這樣計算周而復始，直到計算結束[11—12]。

通過上述求解就可以計算得到計算域內各個位置處的波面時間歷程，進而通過利用潛體系統下游兩點波面時間歷程，采用兩點法[3, 9]進行分離得到高階自由波和鎖相波的幅值，下文中將重點對高階自由波特性進行分析。

3 試驗模型

模型試驗在大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室的波流水槽中進行，水槽長69 m，寬2.0 m，如圖2a所示，在水槽一端配備有推板式單向造波機，水槽末端設置有消波緩坡裝置。經測試，水槽實驗段反射很小，表明水槽末端的消浪效果良好，反射對實驗結果影響基本可以忽略。為了保證實驗的二維效果，沿x軸方向將水槽被分割成寬度分別為1.2 m和0.8 m兩部分，試驗模型布置在0.8 m寬試驗段。圖2b和c給出了試驗模型布置圖，模型圓柱直徑D=0.2 m，寬度與試驗段同寬，第一個模型距離造波機約47 m，模型兩側由兩片薄板支承，圓柱間間距可以調節，淹沒水深也可以從0.2～0.4 m變化。試驗水深統一設置為0.6 m，波浪周期T為0.95 s和1.1 s，入射波幅A=0.02 m和0.03 m，考慮雙、三圓柱間距s1(2)分別為D、2D以及3D時，下游高階諧波的變化情況。

圖2 試驗裝置圖Fig.2 The experimental setup

圖3以雙圓柱試驗為例，給出了浪高儀布置情況，使用9根采集精度0.01 cm的浪高儀，其中浪高儀G1和G2位于圓柱上游約1倍波長位置處，G6、G7、G8和G9位于圓柱下游約1倍波長位置處，G6和G7以及G8和G9間距為0.1 m，G7和G8之間間距為0.2 m。浪高儀G3、G4、G5分別位于上游潛體正上方、潛體系統的中間位置以及下游潛體的正上方，而在三圓柱系統中G3、G4、G5則分別位于3個圓柱的正上方。

圖3 試驗裝置布置示意圖Fig.3 Schematic of the experimental setup

4 結果與分析

4.1 模型驗證

作為算例，考慮淹沒水深hs=0.2 m，間距s=D=0.2 m，周期T=1.1 s，波幅A=0.03 m時，對波浪分別與淹沒雙圓柱、三圓柱作用進行數值模擬來驗證數模的收斂性和準確性。在數模中，計算域長度取14倍波長，水槽兩端各設置1.5λ的阻尼層區，第一個潛體距離入射邊界5倍波長，然后依次按間距s布置其他潛體。通過開展數值收斂性實驗，自由水面上每個波長布置15個單元，計算域垂向邊界布置12個單元，每個圓柱表面布置20個單元；時間步長△t=T/60，每個算例模擬40個周期。經對比30T和35T兩個時刻的波面分布，發現兩時刻波面吻合良好，驗證了數值模型穩定性。

圖4給出了雙圓柱系統和三圓柱系統情況下G2、G4、G5和G6四點波面時間歷程，及數值結果與試驗數據對比情況。由圖4可以看出，數值結果和實驗數據吻合很好，說明本文所建立數值模型對波浪與多圓柱結構相互作用問題能很好地模擬。

圖4 雙、三圓柱系統不同位置波面時間歷程(s1(2)=D, hs= 0.2 m, T=1.1 s, A=0.03 m)Fig.4 Time series of the surface elevations at various positions for the cases of dual and three submerged cylinder(s1(2)=D, hs=0.2 m,T=1.1 s, A=0.03 m)

圖5給出了雙、三圓柱下游基頻和二階自由波幅值隨圓柱間距變化的試驗和數值計算結果對比。三圓柱間距s1=s2，橫坐標為無量綱化的圓柱間距s/D。可以看出，高階諧波隨雙、三圓柱系統間距的變化呈現較為相似，基頻波幅值隨雙圓柱間距增大逐漸減小但并不明顯，而二階自由波幅值則隨雙圓柱間距呈現起伏變化的趨勢。數模基頻波幅值要略大于試驗結果，這是因為基于勢流理論數值模型未能考慮流體黏性所引起的能量耗散。流體黏性效應和流動分離主要影響波浪的透射過程[13—14]，導致了預測的透射系數要稍偏大，但仍能較好地預測二階自由波幅值，表明透射過程中能量耗散主要發生在基頻波中，而對高階諧波影響相對較小。因此，本文數值模型能夠較為準確地對波浪與雙、三圓柱作用誘發的高階自由諧波問題進行模擬。

圖5 T=1.1 s時雙、三圓柱下游高階諧波幅值隨圓柱間距變化Fig.5 Variations of the first and second-harmonic free wave amplitudes downstream dual/triple cylinders against the interval s/D

圖6 基頻和二階自由波幅值隨雙圓柱系統間距的變化(D=0.2 m, T=1.1 s)Fig.6 Variations of the first and second free harmonic wave amplitudes with the gap distance between the two cylinders with D=0.2 m and T = 1.1 s

圖7 各階自由諧波幅值隨三圓柱系統間距的變化(s1=s2，T=1.1 s)Fig.7 Variations of the various harmonic free wave amplitudes with the interval of the three cylinders system

圖8 二階自由波幅值隨三圓柱系統間距的變化(T=1.1 s)Fig.8 Variations of the second harmonic free wave amplitudes with the interval of the three cylinders system

4.2 多潛體下游的高階諧波特性

接下來通過開展更多的數值試驗，分析不同情況下潛體間距對高階自由諧波幅值的影響。圖6給出了波幅A=0.02 m和0.03 m情況下，雙潛體系統下游產生的基頻和二階自由波波幅隨間距s的變化情況。其中，淹沒雙圓柱的直徑均為D=0.2 m，橫坐標s通過除以波長λ進行無量綱化。由于本文試驗水槽的長度條件所限，試驗中s/λ被限定在0.33以內。從圖中可以看出，二階自由波幅值隨無量綱化雙圓柱系統間距s/λ呈現周期性振蕩變化的特點，這與圖5中二階自由波幅值起伏變化相一致，而且振蕩重現距離約為0.5λ。圖6c給出了入射波幅值A=0.02 m和0.03 m兩種工況下，雙圓柱系統下游二階自由波幅值隨間距變化關系的比較，可以看出其隨入射波幅值的增大而增大，但振蕩重現距離基本保持不變。

圖7給出了3個淹沒水平圓柱的間距相同時(即s1=s2)，結構下游各階自由諧波幅值隨間距s1(2)/λ的變化情況，并給出了與本文物理模型試驗結果的對比情況。本文通過數值模擬發現，當3圓柱之間的間距s1與s2保持相同時，結構下游也出現了類似于雙圓柱系統間距變化時的高階諧波幅值振蕩變化的特性，其振蕩的重現距離同樣約為0.5λ。

令下游兩個圓柱間距s2固定為1.0 m，圖8a給出了三潛體系統下游二階諧波幅值隨上游兩個圓柱間距s1的變化情況，經過與3個圓柱的相互作用，二階自由波幅值發生了周期性振蕩的現象。在這種工況下，相當于在本文中雙圓柱系統間距變化工況下下游再加入一個淹沒圓柱，按上述雙圓柱的高階諧波特性，波浪在經過了前面兩個圓柱作用后出現了隨前兩個圓柱間距變化振蕩的高階諧波，再經過第3個圓柱的作用依然表現為隨前兩個圓柱間距振蕩。

相反地，令前兩個圓柱間距s1分別固定為0.1 m, 0.5 m和1.0 m，圖8b給出了后兩個圓柱間距s2變化情況下，二階自由諧波幅值隨下游兩圓柱間距s2變化情況。可以看出，在固定了上游兩個圓柱的間距后，二階自由諧波幅值并未隨下游兩圓柱間距的變化出現類似于圖8a中的周期性振蕩現象，而是隨下游兩個圓柱間距的增大而減小，二階自由波幅值總體上隨下游兩圓柱間距s2的增大而減小。但是，通過對比還可以發現，當取同一個s2時，上游兩圓柱間距分別取s1=0.1 m，0.5 m和1.0 m時的二階自由波的幅值之間也表現為振蕩變化的，這與上述高階諧波會隨潛體間距振蕩變化的結論是一致的。

5 結論

本文基于勢流理論和時域高階邊界元方法，建立了模擬波浪與雙、三潛體作用的二維完全非線性數值波浪水槽模型。運用兩點分離法得到潛體后的各個高階諧波的波浪形態。通過與試驗數據進行對比驗證了本文模型的正確性。研究發現：雙圓柱系統下游高階自由諧波幅值隨雙潛體間距呈現周期性振蕩變化的特點，振蕩重現距離約為波長的一半，二階自由波幅值隨著入射波幅的增大而增大，但振蕩重現距離不受影響。對于三潛體系統，下游高階自由諧波幅值隨著上游兩圓柱間距呈周期性振蕩變化關系，而隨著下游兩圓柱間距增大而呈單調遞減關系。

[1] Patarapanich M. Maximum and zero reflection from submerged plate[J]. Journal of Waterway, Port, Coastal, and Ocean Engineering,1984, 2: 171-181.

[2] Dick T M, Brebner A. Solid and permeable submerged breakwaters[C]//Proc. 11th Coastal Eng. Conf., London, 1968, 72, 1141-1158.

[3] Grue J. Nonlinear water waves at a submerged obstacle or bottom topography[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1992, 244: 455-476.

[4] Brossard J, Perret G, Blonce L, et al. A Higher harmonics induced by a submerged horizontal plate and a submerged rectangular step in a wave flume[J]. Coastal Engineering, 2009, 56(1):11-22.

[5] Ohyama T, Nadaoka K. Transformation of nonlinear wave train passing over a submerged shelf without breaking[J].Coastal Engineering, 1994, 24 (1/2): 1-22.

[6] 鄭永紅, 沈永明, 吳修廣, 等. 用改進的Boussinesq方程模擬潛堤上的波浪變形[J]. 中國工程科學, 2004, 6(4): 34-40.

Zheng Yonghong, Shen Yongming, Wu Xiuguang,et al. Simulation of wave propagation over a submerged bar using a modified boussinesq equation[J]. Engineering Science, 2004, 6(4): 34-40.

[7] 張洪生, 馮文靜, 商輝. 非線性波傳播的新型數值模擬模型及其試驗驗證——引入變換速度變量[J]. 海洋學報, 2007, 29(5): 161-173.

Zhang Hongsheng, Feng Wenjing, Shang Hui. A new approach to numerical simulation of nonlinear wave propagation and its experimental verification[J]. Haiyang Xuebao, 2007, 29(5):161-173.

[8] Luth H R, Klopman G, Kitou N. Kinematics of waves breaking partially on an offshore bar; LDV measurements of waves with and without a net onshore current[R]. Report H-1573, Delft Hydraulics, 1994: 40.

[9] 陳麗芬, 寧德志, 滕斌, 等. 潛堤后高階自由諧波的研究[J]. 海洋學報, 2011, 33(6): 165-172.

Chen Lifen, Ning Dezhi, Teng Bin, et al. Study on the higher free harmonic waves on the lee side of a submerged bar[J]. Haiyang Xuebao, 2011, 33(6): 165-172.

[10] Ning Dezhi, Lin Hongxing, Teng Bin, et al. Higher harmonics induced by waves propagating over a submerged obstacle in the presence of uniform current[J]. China Ocean Engineering, 2014, 28(6):725-738.

[11] 陳麗芬, 寧德志, 滕斌, 等. 潛堤上波流傳播的完全非線性數值模擬[J]. 力學學報，2011, 43(5):834-843.

Chen Lifen, Ning Dezhi, Teng Bin, et al. Fully nonlinear numerical simulation for wave-current propagation over a submerged bar[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2011, 43(5): 834-843.

[12] 周斌珍, 寧德志, 滕斌. 造波板運動造波實時模擬[J]. 水動力學研究與進展, 2009, 24(4): 1-12.

Zhou Binzhen, Ning Dezhi, Teng Bin. Real-time simulation of waves generated by a wave maker[J]. Chinese Journal of Hydrodynamics, 2009, 24(4):1-12.

[13] Ting F C K, Kim Y K. Vortex generation in water waves propagating over a submerged obstacle[J]. Coastal Engineering, 1994, 24 (1/2): 23-49.

[14] Liu C R, Huang Z H, Keat Tan S. Nonlinear scattering of non-breaking waves by a submerged horizontal plate: Experiments and simulations[J]. Ocean Engineering, 2009, 36: 1332-1345.

Numerical and experimental investigations on higher harmonics induced by multiple horizontal cylinders

Li Qingxin1，Ning Dezhi1，Teng Bin1

(1.StateKeyLaboratoryofCoastalandOffshoreEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116024,China)

Based on potential flow theory, a numerical wave flume was founded to model the interaction of nonlinear waves and dual or triple submerged horizontal cylinders by using a time-domain higher-order boundary element method. The mixed Eulerian-Lagrangian technique was used for the refresh of free surface, and the 4th-order Runga-Kutta scheme was adopted for the time advance. The two-point method was adopted to separate the higher free harmonics from the downstream waves. Then the effects of interval of submerged objects and distribution scheme on the higher free harmonics were investigated. Meanwhile, physical tests were carried out for higher harmonics induced by multiple submerged objects in a wave flume. Good agreements between the numerical results and experimental data were obtained. It was found that higher free harmonic amplitude oscillates periodically with the variation of the interval in the dual cylinder system. And the reoccurrence interval is near to half wave length. In the triple cylinder system, higher free harmonics amplitude oscillates periodically with the first interval but decreases with the second interval.

nonlinear numerical wave flume；multiple submerged objects; higher harmonics; physical tests; higher boundary element method

10.3969/j.issn.0253-4193.2017.01.010

2016-04-27；

2016-07-01。

國家自然科學基金項目(51679036，51490672)；教育部新世紀優秀人才支持計劃(NCET-13-0076)。

李慶昕(1991—)，男，甘肅省白銀市人，主要從事波浪與潛體相互作用研究。E-mail:li_qing_xin@qq.com

*通信作者：寧德志，教授，從事海洋水動力研究。E-mail:dzning@dlut.edu.cn

P731.22

A

0253-4193(2017)01-0096-08

李慶昕，寧德志，滕斌. 多個淹沒水平圓柱誘發高階諧波特性的數值與試驗研究[J]. 海洋學報, 2017, 39(1): 96-103,

Li Qingxin，Ning Dezhi，Teng Bin. Numerical and experimental investigations on higher harmonics induced by multiple horizontal cylinders[J]. Haiyang Xuebao, 2017, 39(1): 96-103, doi:10.3969/j.issn.0253-4193.2017.01.010