論無窮小量與極限的關系

摘 要：無窮小量屬于級數數列的無窮小項，但極限不屬于級數數列的項，極限是數列所體現的數集所不能達到的界限。無窮小以及余數無窮小仍屬于一個（不可預測的）數域，所以，極限和無窮小是兩個不同的數和數域。

關鍵詞：數域 數集 極限 無窮小量 余數無窮小量

引 言

本文相繼《論極限概念的狹義性及極端猜想》，把數列化為數集的表達形式，引入余數無窮小量的概念，論述了極限和無窮小量的關系，理論繼續表明，極限概念具有局限性，仍沒有很好的解決無限問題。

一、無窮小連和極限0的關系

《論極限概念的狹義性及極端猜想》一文，只是以類似日取5分的級數數列的有限項化為小數形式，論述了無窮小量與極限的關系，用無窮小量屬于半有理數的性質證明了極限是0，并不可能說明無窮小量就是0的觀點。

這里仍然以日取5分的問題為例來論述無窮小量和極限的關系。

在不影響無限性質的最小數的假設、無限循環小數的末尾數的表達以及半有理數的定義的基礎上，是可以比較某些無窮小量的大小的。

例如，0.999……9視為最大的純小數。0.000……1視為最小的小數（正數）以及把999……9視為最大的奇數，把1000……0視為最大的偶數（及自然數包括正整數）。

比如日取9分的無窮小量和日取5分的無窮小量做比較，很明顯日取9分的無窮小量要大于日取5分的無窮小量。即日取9分的余數無窮小量要小于日取5分的余數無窮小量。

根據其規律，日取9分，日取8分等的余數無窮小量都要小于日取5分的無窮小量。理論上，日取9分的余數無窮小量也可當做日取5分的極限。也就是說，無窮小量雖然是個數域，數域之間也是存在絕對性的大小差別的。所以，從這個性質來分析，類似日取5分的極限是0就存在極大的不準確性，極限也不是唯一的。

（二）極限在應用中的問題。極限概念拓展到微積分也是存在問題的，可以把微分和微積視為極限概念在實際中的應用。比如切線的定義，動點無論以什么樣的方式沿曲線運動，其極限都是切線，但由于靠近定點的方式都不是相同的，距離定點的余數無窮小是不同的，所謂的切線就不是十分確定的，是一個區域性質。所以，用極限來定義切線同樣是模糊的。

同樣，類似于同等高度的物體的平拋運動，現代理論所描述的同時落地的問題，無論初速度是不同的還是質量是不同的都必須是同時落地，這類問題也是可以用極限的數學形式來證明。也就是說極限概念的局限性也影響了物理問題的正確性。

也就是說，極限概念的引入，在解決實際問題時仍然存在模糊的性質，甚至是錯誤的。

（三）無限的不可測性。理論上，無限是不可測的。而且用科學的方法解決無限問題也是有局限性的。科學是具有可證偽性的，雖然無限不屬于不可證偽的問題，但是無限具有無法證偽的性質，因為科學是人類的產物。人類的能力是有限的，以有限的能力解決無限的問題必將存在模糊不清甚至錯誤的判斷方法及操作過程。所以，數學和科學一樣，在無限的問題上是可以假設最小概念的，在最小的假設的基礎上來總結出較為完美的宏觀理論。而微觀的人類沒能力直觀的無窮小領域，是要靠遵循宏觀規律來推理的，而不是勉強的形式描述。

如果說，科學必須具備數學模型來輔助，那么根據《自由運動論》的相關理論，自然規律必須是一樣的，不存在宏觀和微觀的區別。所以現代科學中宏觀和微觀規律的不統一，與數學的有限和無限的不統一如出一轍的存在錯誤。是說，在《自由運動論》的基礎上，物理學，科學必須存在一個規律，而數學也必須存在一個規律，無限和有限必須遵循一個規律。

四、結論

無窮小量和極限的引入并沒有很好地解決無限問題，甚至存在錯誤。只有在不影響無限性質的基礎上，繼續引入最小數、半有理數、無限循環小數的末位數的表達形式以及余數無窮小量等概念，才有可能輔助極限概念比較清晰、合理地描述部分無限問題。

參考文獻

[1] 咸立德.論數的不確定性對數論的影響及其解決辦法 [J]魅力中國 2010（12）

[2] 咸立德.論極限概念的俠義性及其極端猜想 [J]魅力中國 2011（2）