有序探尋優化思維

謝輝蘭

《包裝的學問》是北師大版《數學》五年級下冊“數學好玩”領域的內容，如何遵循學生的認知規律，引導學生有序探尋，讓學生經歷多樣化的包裝方法，體驗策略的多樣化，然后有效對比，發現 “重疊面積越大越節約包裝紙”的規律，發展優化思想呢？

一、活用經驗

一盒糖果的成功包裝是后續包裝多盒的基礎。教學中，筆者創設問題情境：兒童節快到了，班上的玲玲同學想用一張精美的包裝紙把一盒糖果（長是20厘米、寬是15厘米、高是5厘米）包裝起來，當作神秘的禮物送給“手拉手”欄目線下的一個小朋友，你能幫忙算算需要多少包裝紙嗎？有學生根據經驗算出該長方體的表面積是（20×15+20×5+15×5）×2=950平方厘米，得出需要950平方厘米的包裝紙。這時有學生提出質疑，因為實際包裝過程中會產生接頭，所用的包裝紙的表面積會大于950平方厘米。經過討論，師生達成一致意見：為方便計算，所需包裝紙的面積一律按長方體的表面積計算，且根據同一長方體中各個面的面積大小，將三個面依次命名為大面（20×15）、中面（20×5）、小面（15×5）。

此處，教師有意識將解決生活中需要多少包裝紙與長方體的表面積聯系起來，讓學生意識到所用包裝紙的實際面積比糖果盒的表面積大，在接口處不計的前提下，包裝紙的面積就是糖果盒的表面積。這不僅為探尋怎樣包裝最節約包裝紙掃清了認知障礙，而且為后面交流包裝方式（重疊了哪個面）做了必要的鋪墊。

二、操作演算

通過以上鋪墊，筆者引導學生繼續思考：如果將這樣的兩盒糖果包成一包（接口處不計），怎樣包裝才能節約包裝紙？學生運用學具，分組合作探究兩盒糖果包成一包的包裝方法，發現共有三種方法：大面重疊；中面重疊；小面重疊。筆者讓學生猜想：哪種方法最節約包裝紙呢？為什么？學生指出大面重疊最節約包裝紙，因為這種方法被遮住的面積最大。如何驗證這一猜想呢？學生想到了計算兩盒疊放后長方體的表面積，要么先求出每個新的長方體的長、寬、高，再計算出它的表面積；要么利用露在外面的面求出它的表面積，比如大面重疊，露在外面的就有4個中面，4個小面和2個大面，把這些面的面積加起來就是大面重疊后新的長方體的表面積；要么用兩個長方體的表面積之和減去兩個重疊面的面積之和。計算過程中，學生發現第三種算法最簡便，并列式計算出大面重疊后新長方體的表面積是1300平方厘米（950×2-20×15×2）；中面重疊是1700平方厘米（950×2-20×5×2）；小面重疊是1750平方厘米（950×2-15×5×2）。計算比較后，學生發現確實是大面重疊最節省包裝紙。究其原因，是因為大面重疊減去的面積多，剩下的面積少，而小面重疊減去的面積少，剩下的面積多，所以大面重疊最節約包裝紙。要知道怎樣最節約包裝紙，只要看重疊的面積。

面對三種包裝策略，從節約包裝紙的角度來尋求最優的方法，需要學生憑借經驗合理猜測，然后通過計算進行驗證對比。而計算的方法是多樣化的，教師引導學生側重關注了“總面積減去重疊面積”這種方法，采用追問的方式引導學生分析計算結果，然后反觀其過程，使學生聚焦重疊面積的大小與表面積大小之間的關系，體驗到重疊大面最節約包裝紙，由表及里地把學生的思維引向深入，優化了思考問題的途徑，發展了推理能力和反思能力，為后續探究道路指明了方向。

三、破除定勢

學生知道包裝兩盒重疊大面最節約后，筆者讓學生思考，包裝三盒怎樣最節約呢？根據先前的經驗，剛開始學生發現共有三種方法：4個大面重疊、4個中面重疊和4個小面重疊，其中，4個大面重疊最節約包裝紙。之后，為了讓學生意識到兩個中面之和與一個大面相等的情況下還可以有另外包裝的方式，于是拿出事先準備好的大面（20×10）、中面（20×5）、小面（10×5）相同的3個盒子，詢問學生除了大家想到三種方式，還可以怎樣擺？學生很快意識到還可以先重疊其中2個大面，再讓另1個大面與2個中面重合的包裝方式。這樣看起來就重疊了3個大面，2個中面，不同于前三種包裝方式，那么是不是這種方法比前面三種方法更節約包裝紙呢？再讓學生想一想、算一算，學生在觀察、思考、演算中發現2個中面之和與1個大面正好重合，相當于還是重疊了4個大面。這樣，大面重疊最節約包裝紙的經驗對于包裝盒個數多的情況不是唯一的，有些情況下還可能不成立。

把重疊大面最節約包裝紙的經驗和方法遷移到解決三個糖果盒包一包的問題上來，具有一定的可取性，但也是片面的。如何讓學生深刻認識到重疊面積越大越節約包裝紙而不是重疊大面最節約包裝紙呢？教師設計了三個特殊包裝盒包成一包，演示了常見的三種方式和特殊的包裝方式（重疊3個大面，2個中面），打破了學生既有的“重疊大面最節約包裝紙”的思維定勢，讓學生不斷調整思路，逐層深入，優化方法，把握問題的核心，關注重疊面積的大小。

四、分析推理

在探討四盒糖果的包裝方案時，學生分析出六種方案（如下圖）：①6個大面重疊；②6個中面重疊；③6個小面重疊；④4個大面4個中面重疊；⑤4個中面4個小面重疊；⑥4個大面4個小面重疊。

根據圖示和先前經驗，學生發現最先排除的是方案②③⑤⑥，方案1中重疊了6個大面，方案4中重疊了4個大面和4個中面，不好判斷哪種方案更合理。經過分析，學生發現方案①和方案④中都有四個大面，只需比較剩下的2個大面和4個中面，最終可轉化成比較1個大面和2個中面的面積大小。如果1個大面的面積大于2個中面的面積，那么方案①最佳；如果1個大面的面積等于2個中面的面積，這兩種方案都可行；如果1個大面的面積小于2個中面的面積，那么方案④最佳。筆者讓學生結合以上操作經驗，談談自己在節約包裝方面的體會。經過討論，學生發現：重疊面積越大越節約包裝紙，首先考慮大面的多次重疊，其次是重疊的面數盡量多。

（作者單位：宜都市實驗小學）