具間接信號產出的二維趨向性模型古典解的整體存在性和有界性

王笑丹, 陶有山

(東華大學 理學院， 上海 201620)

具間接信號產出的二維趨向性模型古典解的整體存在性和有界性

王笑丹, 陶有山

(東華大學 理學院， 上海 201620)

間接信號產出； 趨向性； 古典解； 整體存在性； 有界性

趨向性(chemotaxis)是由化學信號的濃度梯度引起的細胞的偏向運動，細胞偏向于朝化學信號濃度增加的地方移動.趨向性在許多生物環境中都有重要應用，如：細菌聚集、免疫反應、腫瘤誘導的血管生成等[1 3].近幾十年，描述細胞響應于自身信號產出的集體行為的數學模型被廣泛應用，不僅在生物學方面得到了深入研究，其數學特征也在多方面取得了深刻理解.

著名的趨向數學模型描述了細胞直接信號產出的集體行為，稱為經典的Keller-Segel模型[4]，具體表示為

其中：Ω?Rn是一個光滑有界區域，n表示空間維數；u表示細胞密度；v表示細胞產生的化學信號濃度；υ表示邊界的外法向量；t表示時間.

假設化學信號的擴散遠遠快于細胞的擴散，這一假設在物理上是有意義的.故上述經典模型可用如下模型[5]逼近：

當空間維數n=1時，上述兩個模型的解整體存在且一致有界[6].當n=2時，存在臨界質量現象，即存在常數mc>0，當細胞質量m:=∫Ωu0mc時，總存在初始數據滿足∫Ωu0=m，使得模型的解在有限時間爆破[7 - 9].當n≥3時，對任意m>0，總能找到初始數據滿足∫Ωu0=m，使得相應模型的解在有限時間爆破[10].

近些年，加拿大西部和美國森林中的山松甲殼蟲，其生存和繁衍給森林造成了巨大損害.飛行中的甲殼蟲落在松樹上，啃噬樹身形成樹洞，在其中做窩并產卵，因此對松樹造成極大危害.其間做窩的甲殼蟲會釋放一種化學物質來吸引飛行中的甲殼蟲，到第二年幼蟲長大離開樹洞，會繼續尋找松樹做窩并產卵[11].

以此為背景，在上述Keller-Segel模型的基礎上，本文對文獻[11]提出的描述山松甲殼蟲擴散和聚集行為的趨向模型[11]在具體的生物框架下進行簡化，考慮如下趨向系統：

(1)

模型(1)的第一個方程表示飛行的甲殼蟲密度隨時間的變化情況，方程右邊第一項是飛行甲殼蟲的隨機擴散項，第二項是chemotaxis項，表示飛行的甲殼蟲向化學信號濃度增加的方向移動.模型(1)的第二個方程表示化學信號的隨機擴散，化學信號由做窩的甲殼蟲釋放以及隨時間衰減.模型(1)的第三個方程表示做窩的甲殼蟲密度隨時間的變化情況，右邊第一項表示做窩的甲殼蟲是由飛行的甲殼蟲轉化而來，第二項表示做窩的甲殼蟲的死亡，δ為相應的死亡率.模型(1)的第四和第五個方程表示零黎曼邊界條件和初值問題.

模型(1)與Keller-Segel模型存在本質區別[12]：Keller-Segel模型中的化學信號v是由細胞u直接產出的，而模型(1)是間接信號產出，飛行中的甲殼蟲u轉化為做窩的甲殼蟲w，由做窩的甲殼蟲w產生化學信號v.

本文假設(1)中的初始數據滿足：

(2)

與二維空間中Keller-Segel模型的解有限時間爆破的性質形成鮮明對比，模型(1)的解不可能再有限時間爆破.更精確地說，有如下的整體解的存在性結果.

CGN‖φ‖L2(Ω)

(3)

在定理1的證明中，本文先建立飛行的甲殼蟲密度u和做窩的甲殼蟲密度w的Lp先驗估計，再由Moser迭代推得u的L∞估計，進而由局部存在性引理和可延拓準則證得定理1.

如果假設初始細胞質量適當小，能進一步證明定理1中構造的整體古典解是一致有界的.具體地說，有如下結果.

定理2：假設n=2，δ>0，并假設初始數據滿足(2)，且滿足

則存在常數C>0，使得(1)的整體古典解滿足

‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤ C,‖v(·,t)‖L∞(Ω)≤

C,‖w(·,t)‖L∞(Ω)≤C

對所有的t>0成立.

對于該定理的證明，本文在飛行甲殼蟲初始質量適當小時，先建立做窩的甲殼蟲密度w的L2一致先驗估計，再建立飛行的甲殼蟲密度u的Lp一致估計，然后同定理1的證法推得u的L∞一致有界性，進而根據常微分方程性質及橢圓方程最大值原理推得u和w的一致有界性.

1 整體解的存在性即定理1的證明

首先，考慮模型(1)的古典解的局部存在性.與古典的趨化模型的局部可解性類似，有下列關于(1)的局部可解性結論.

進一步，如果Tmax<∞，則有

證明：由于其證明與文獻[13]中的證明類似，故在此略去.

根據引理1及延拓準則，要證明定理1中解的整體存在性，需要建立‖u(·,t)‖L∞(Ω)的先驗估計.為此，先要對‖u(·,t)‖Lp(Ω)(1

引理2：模型(1)的古典解(u, v, w)滿足

‖u(·,t)‖L1(Ω)=‖u0‖L1(Ω):=m, t∈(0, Tmax).

(4)

證明：對模型(1)的第一個方程關于x在Ω上積分，并利用分部積分及(1)中的零流邊界條件可得

由此推得

∫Ωu(x,t)dx=∫Ωu0(x).

從而引理2得證.

定理1證明的一個關鍵步驟是建立解分量w的L2先驗估計.

∫Ωw2≤C(T), t∈(0,T).

(5)

(6)

這里用到了u和v的非負性.

再對(1)中第三個方程兩邊同乘w后積分，得到

∫Ωwu-δ∫Ωw2≤∫Ωuw

(7)

結合式(6)和(7)并利用Young不等式得

(8)

(9)

則式(9)可寫成

y'(t)≤C1y(t)+C2, t∈(0, T).

由此推得

根據w的L2估計及橢圓正則性理論，有如下的推論.

(10)

證明：注意到v滿足如下的橢圓邊值問題

由估計(5)及橢圓方程的L2-理論有

‖v‖W2,2(Ω)≤C1‖w‖L2(Ω)

據此，注意到空間維數 n=2，并根據Sobolev嵌入定理推得

從而推論1得證.

(11)

證明：利用(1)中的第一個方程及Young不等式直接計算得

(12)

在上面最后一個不等式的推導中用到了估計(10).

根據G-N不等式，可以推得存在兩個常數C2>0和C3>0，使得

(13)

從而

因此，利用Young不等式由式(13)推得

(14)

=C5,

從而引理4得證.

得到u的Lp估計，根據模型(1)的第三個方程容易推得w的Lp先驗估計.

(15)

證明：由模型(1)的第三個方程，Young不等式及估計式(11)得

∫Ωwp-1(u-δ w)=

∫Ωu wp-1-δ∫Ωwp≤

∫Ωu wp-1≤

在上面的推導過程中用到了δ和w的非負性.令

則上式可改寫成

y′(t)≤y(t)+C3(T), t∈(0, T),

其中C3(T):=pC2(T).從而

即推論2得證.

定理1的證明：首先利用模型(1)的第二個方程，估計式(15)及橢圓的正則性理論有

再由引理1和可延拓準則推出結論.從而定理1得證.

2 整體解的有界性即定理2的證明

引理5：假設s≥0，則存在常數C>0使得

證明：利用洛必達法則可得

因此存在常數A>0，使得當s>A時有

由此可得

又因為

slns≤C, 0≤s≤A.

綜上可得

從而引理5得證.

引理6：假設n=2，δ>0，并假設(2)成立，則存在常數C>0使得模型(1)的古典解滿足

(16)

證明：由引理5有

(17)

運用G-N不等式及Young不等式進一步處理式(17)倒數第二項

(18)

在u的初始質量適當小的假設下，建立w的與時間T無關的L2先驗估計.

引理7：假設n=2，δ>0，并假設(2)成立，且滿足

(19)

則存在常數C>0，使得模型(1)的古典解滿足

∫Ωw2≤C, t∈(0, ∞).

(20)

證明：由引理3中式(6)和(7)的計算可知

在上式兩邊同時加上∫Ωulnu得

利用估計式(16)得到

(21)

再利用Young不等式，G-N不等式(3)及不等式(a+b)r≤2r-1(ar+br)(其中a>0，b>0，r≥1)對式(21)倒數第二項進行處理

根據假設(19)

從而有

令

則上式可改寫成

:=C7, t∈(0, ∞),

推論3：假設n=2，δ>0，并假設(2)成立，且滿足

(22)

證明：注意到v滿足如下的橢圓邊值問題

由估計(20)及橢圓方程的L2-理論有

≤C2.

據此，注意到空間維數n=2，并根據Sobolev嵌入定理推得

從而推論3得證.

引理8：假設n=2，δ>0，并假設(2)成立，且滿足

則對任意的p∈(1, ∞)，存在常數C>0，使得模型(1)的古典解(u, v, w)滿足

∫Ωup≤C, t∈(0, ∞).

(23)

證明：由式(12)及(22)得到

再由式(14)得到

(24)

綜合式(23)和(24)得

在上式兩邊同時加上∫Ωup得

(25)

再利用Young不等式及式(24)處理式(25)倒數第二項得

其中η>0為任意常數.將上式代入式(25)得

令

則上式可改寫成

y′(t)+y(t)≤C6, t∈(0, ∞),

根據常微分方程比較原理得

從而引理8得證.

定理2的證明：既然已得到了估計式(23)，剩下的證明與定理1完全類似.因此，存在常數C1>0使得

(26)

接下來還需證明w的有界性，根據(26)及模型(1)的第三個方程得

據此再根據(1)中第二個方程及橢圓方程的最大值原理得

從而定理2得證.

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Global Existence and Boundedness of Classical Solutions to a Two-Dimensional Chemotaxis Model with Indirect Signal Production

WANGXiao-dan，TAOYou-shan

(College of Science, Donghua University, Shanghai 201620)

A chemotaxis model for the aggregative and dispersal behavior of the mountain pine beetle (MPB) is considered. The model involves three variables: the density of flying MPB u, the density of nesting MPB w and the concentration of chemical signals produced by the nesting MPB v. Firstly, some Lppriori estimates of u and w are obtained by employing the Gagliardo-Nirenberg inequality. Then, a L∞bound of u is founded via the Moser iteration argument, and thereby the global existence of classical solutions to the model is proved. Moreover, under the assumption that the initial mass of the flying MPB is less than a critical mass, it is shown that the classical solution is uniform-in-time bounded.

indirect signal production; chemotaxis; classical solution; global existence; boundedness

16710444 (2016)060922-09

20151104

王笑丹(1989—)，女，河南洛陽人，碩士研究生，研究方向為偏微分方程. E-mail：1033911032@qq.com 陶有山(聯系人)，男，教授，E-mail：taoys@dhu.edu.cn

O 175.26

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