淺談滲透數學思想和方法于初中教學之中

李軍書

數學思想是指人們在研究數學過程中對其內容、方法、結構、思維方式及其意義的基本看法和本質的認識，是人們對數學的觀念系統的認識。數學思想方法是數學的精髓，也是知識轉化的橋梁，用數學思想方法去溝通知識間的內在聯系，可以對重點知識的本質及規律有深刻的認識，數學思想方法揭示概念、原理、規律的本質，是數學知識的重要組成部分，它的應用可以避免解題中的計算、形成演繹的盲目性，掌握數學思想方法可以提高解題能力。在教學中，數學知識是一條明線，得到數學教師的重視，數學思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。數學教學是數學活動的教學，是師生之間，學生之間交往互動與共同發展的過程。數學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。筆者一貫致力于滲透數學思想和方法于初中教學之中，在自己和周圍同行的實踐基礎上，有所感悟，形成此文，來與各位專家同行商榷。

一、初中數學思想與方法的認識

㈠新課標要求。《數學新課標》對初中數學中滲透的數學思想、方法劃分為三個層次，即“了解”、“理解”和“會應用”。在教學中，要求學生“了解”數學思想有：數形結合的思想、分類的思想、化歸的思想、類比的思想和函數的思想等。這里需要說明的是，有些數學思想在《數學新課標》中并沒有明確提出來，比如：化歸思想是滲透在學習新知識和運用新知識解決問題的過程中的，方程（組）的解法中，就貫穿了由“一般化”向“特殊化”轉化的思想方法。教師在整個教學過程中，不僅應該使學生能夠領悟到這些數學思想的應用，而且要激發學生學習數學思想的好奇心和求知欲，通過獨立思考，不斷追求新知，發現、提出、分析并創造性地解決問題。

㈡思想與方法的關系。從“方法”了解“思想”，用“思想”指導“方法”。在初中數學中，許多數學思想和方法是一致的，兩者之間很難分割。它們既相輔相成，又相互蘊含。只是方法較具體，是實施有關思想的技術手段，而思想是屬于數學觀念一類的東西，比較抽象。因此，在初中數學教學中，加強學生對數學方法的理解和應用，以達到對數學思想的了解，使數學思想與方法得到交融的有效方法。

㈢初中數學常見的思想方法。在初中數學蘊含著多種思想方法，但最基本的數學思想方法是函數與方程、數形結合、分類討論、問題轉化幾種思想方法。1.函數與方程思想，函數思想是指變量與變量之間的一種對應思想。方程思想則指把研究數學問題中已知量與未知量之間的數量關系，轉化成方程或方程組等數學模型。2.代數與圖形結合思想，代數與圖形結合思想就是常說的數形結合思想，是數學中最古老和最普遍一種思想方法，數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。3.數學分類討論思想，初中數學課本中有不少定理、公式法則、練習題，都需要我們去分類討論，在教學這些內容時，應有有意識不斷強化學生分類討論的思想，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現遺漏或錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。4.問題的轉化思想，轉化思想也稱化歸思想，它是指將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題，從而使問題順利解決的數學思想。三角函數，幾何變換，因式分解等數學理論無不滲透著轉化的思想。常見的轉化方式有：一般 特殊轉化，等價轉化，復雜 簡單轉化，聯想轉化，類比轉化等。

二、落實滲透數學思想和方法于初中教學之中

㈠體現數學思想方法于備課中。教者要進行數學思想方法的教學，首先要有意識地從教學目的的確定、教學過程的實施，教學效果的落實等各個方面來體現，使每節課的教學、教育目的獲得和諧的統一。通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然后建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。因而，在備課時就必須把數學思想方法的教學從鉆研教材中加以挖掘。例如，在備《二元一次方程組》（北師大版八年級上冊第七章）這一章時，就要挖掘方程思想、建模思想、化“未知”為“己知”、化“二元”為“一元”的化歸思想方法。

㈡滲透數學思想方法在課堂教學中

數學是知識與思想方法的有機結合，沒有不包含數學思想方法的數學知識，也沒有游離于數學知識之外的數學思想方法。這就要求教者在教學中，深入挖掘隱含在教材里的數學思想方法，精心設計課堂教學過程，展示數學思維過程，這樣才有助于學生了解其中數學思想方法的產生、應用和發展的過程；理解數學思想方法的特征，應用的條件，掌握數學思想方法的實質。不同的教學內容，可根據其特點，選配不同的數學思想方法進行教學：一般在知識的概念形成階段導入概念型數學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等；在知識的結論、公式、法則等規律的推導階段，強調和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數的數與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等；在知識的總結階段或新、舊知識結合部分，選配結構型的數學思想，如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分組討論思想體現了局部與整體的相互轉化。

㈢運用數學思想方法于掌握重點、突破難點中。數學教學中的重點，往往就是需要有意識地運用或揭示數學思想方法之處。數學教學中的難點，往往與數學思想方法的更新交替、綜合運用、跳躍性較大有關。因此，教者要掌握重點，突破難點，更要有意識地運用數學思想方法組織教學。例如，“二次根式的加減運算”是一個教學難點，為了突破難點，就要運用類比思想、整體思想、化歸轉換思想方法尋找解決問題途徑，采用類比“整式的加減運算”的手段，構造出具體形象的數學模型，從而進行猜想、推理、研究，實現從未知到已知的轉化。

㈣提煉數學思想方法于數學知識的形成與應用過程中，數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，向學生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，采取“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式，通過對相關問題情境的研究為有效切入點，對知識發生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰之中，并在此過程領會如數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識和推理能力等數學思想方法。

㈤挖掘數學思想方法于范例教學中。有意識地組織學生進行必要的解題訓練，設計具有探索性的、能從中抽象一般和特殊規律的范例進行教學，在對其分析和思考的過程中展示數學思想和具有代表性的數學方法。針對數學思維活動過程中展示出來的數學思想方法不失時機地進行提問與討論、啟發、引導學生領悟出思想方法。一方面通過解題和反思活動，從具體數學問題和范例中總結、歸納解題方法，挖掘隱含在教學內容中的數學思想；另一方面在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通。

三、滲透數學思想和方法于初中教學之中應堅持的原則。

㈠滲透“方法”，了解“思想”。將數學知識作為載體，把數學思想和方法的教學滲透到數學知識的教學中。教師要把握好滲透的契機，重視數學概念、公式、定理、法則的提出過程，知識的形成、發展過程，解決問題和規律的概括過程，使學生在這些過程中展開思維，從而發展他們的科學精神和創新意識，形成獲取、發展新知識，運用新知識解決問題。忽視或壓縮這些過程，一味灌輸知識的結論，就必然失去滲透數學思想、方法的一次次良機。

㈡訓練“方法”，理解“思想”。教者必須分層次地進行滲透和教學。要全面地熟悉初中三個年級的教材，鉆研教材，努力挖掘教材中進行數學思想、方法滲透的各種因素，對這些知識從思想方法的角度作認真分析，按照初中三個年級不同的年齡特征、知識掌握的程度、認知能力、理解能力和可接受性能力由淺入深，由易到難分層次地貫徹數學思想、方法的教學。

㈢掌握“方法”，運用“思想”。數學知識的學習要經過聽講、復習、做習題等才能掌握和鞏固。數學思想、方法的形成同樣有一個循序漸進的過程。只有經過反復訓練才能使學生真正領會。另外，使學生形成自覺運用數學思想方法的意識，必須建立起學生自我的“數學思想方法系統”，這更需要一個反復訓練、不斷完善的過程。

㈣提煉“方法”，完善“思想”。教學中要適時恰當地對數學方法給予提煉和概括，讓學生有明確的印象。由于數學思想、方法分散在各個不同部分，而同一問題又可以用不同的數學思想、方法來解決。因此，教師的概括、分析是十分重要的。教師還要有意識地培養學生自我提煉、揣摩概括數學思想方法的能力，這樣才能把數學思想、方法的教學落在實處。

只重視講授表層知識，而不注重滲透數學思想、方法的教學，是不完備的教學；單純強調數學思想和方法，而忽略表層知識的教學，則會使教學流于形式，成為無源之水，無本之木。教者要堅持滲透數學思想和方法于初中教學之中，在教師和學生的教與學的活動中，滲透和歸納數學思想方法，把學習的數學知識轉化成學習數學的能力，讓學生能輕松、愉快地學習數學，提高數學成績。