基于并列選擇遺傳算法的太陽影子定位方法

于 鵬， 劉澤鋒， 郭改慧， 陸金巧， 呂 楊

(1.陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021； 2.陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安 710021)

基于并列選擇遺傳算法的太陽影子定位方法

于 鵬1， 劉澤鋒2， 郭改慧1， 陸金巧1， 呂 楊1

(1.陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021； 2.陜西科技大學 機電工程學院， 陜西 西安 710021)

根據“立竿見影”和竿影日照圖的原理，提出了一種太陽影子定位方法.首先結合太陽高度角、太陽赤緯角，以理論影長和實際影長的相關系數最大和其誤差平方和最小為目標函數建立了求太陽影子定位的多目標優化模型，并以測量地的經緯度作為設計變量，運用并行選擇的遺傳算法進行求解，實現了對測量地的精準定位.最后通過實例分析，指出與傳統的枚舉算法相比，本文采用的遺傳算法的求解結果無論在精度還是在收斂速度上都優于傳統的枚舉算法.

太陽影子定位； 多目標優化； 并行選擇； 遺傳算法

0 引言

“立竿見影”現象揭示了在某地一根直立的桿，一天之內其影子的長度隨太陽位置的變化而變化的自然規律，在這種自然現象中，影長的變化與桿所在的位置有著密切的聯系.通過觀察一個直桿的影長隨時間的變化情況，確定直桿所在的位置，具有積極的科學意義與應用價值.例如在建筑物的采光設計[1]中，可以用竿影日照圖的原理來求某地的建筑物投射的影長，進而來確定建筑物的采光條件.再比如在光伏陣列的設計[2]中，可以通過建立地理經緯度與影長的數學模型來求得光伏陣列所在地的遮擋物的影長變化，進而合理設計陣列的排布間距.因此，設計一種簡潔實用的算法，來實現太陽影子的定位就顯得尤為重要.

遺傳算法是20世紀70年代興起的一種全新的仿生優化算法，它是在模擬達爾文生物進化論和孟德爾遺傳學理論基礎上發展起來的一種概率優化搜索算法.遺傳算法一經提出，便引起了廣泛的關注[3-8]，眾多作者根據不同的目的，提出了一系列改進的算法.例如，以解決單目標問題為目的的順序選擇、大變異、自適應等遺傳算法，以及以解決多目標問題為目的的權重法、并列選擇法、共享函數法等遺傳算法[9].如何運用遺傳算法來解決太陽影子定位問題，是本文要解決的一個核心問題.在本文中，作者采用逆推的思想，結合太陽高度角、太陽赤緯角，建立了求太陽影子定位的多目標優化模型，并運用并行選擇的遺傳算法進行求解，實現了對測量地的精準定位.

1 太陽影子定位問題

1.1 設計變量確定

求解太陽影子定位問題的最終目的，是希望通過觀察未知地點某一天內太陽影子的實際長度，從而確定該地的經、緯度，所以可以選取測量地的經、緯度作為設計變量.由于東西半球晝夜相反，而本文是以東半球為研究對象，所以設計變量的取值范圍為：

-90 ° ≤φ≤90 °

(1)

0 °<θ≤180 °

(2)

1.2 目標函數的確定

實際影長已知，而通過給定經緯度的數值，可得到對應的理論影長，當理論影長接近或等于實際影長時，此時的經緯度值即為測量地點.為此，以理論影長和實際影長的接近程度作為優化的目標函數.由于一天內的影長變化為一個向量，而比較向量的接近程度可以從其方向(即變化規律)和數值大小兩方面比較.衡量變化規律的相似性用相關系數，相關系數越接近1，則說明兩個向量的變化規律越相似，衡量數值大小選用誤差平方和，誤差平方和越小說明兩個向量的偏離程度越小.經過上述分析，建立以下兩個目標函數：

(3)

(4)

1.3 約束條件

1.3.1 理論影長的計算

假設某天某時刻太陽的位置如圖1所示，立于地面上的桿高為H，太陽光線通過桿頂P點，在地面上形成一個影子點P′，影子長度OP為S′，太陽光線與地面的夾角為α.則其滿足的數學表達為

(5)

圖1 影子形成圖

1.3.2 太陽高度角的計算

太陽高度角是指某地太陽光線與該地作垂直于地心的地表切線的夾角，它隨地方時和太陽赤緯角的變化而變化.其計算公式[10]為：

sinβ=sinφsinσ+cosφcosσcost

(6)

式(6)中：β為太陽高度角，φ為當地的緯度，σ為太陽赤緯角，t為地方時角，其位置如圖2所示.

圖2 太陽高度角示意圖

由于太陽光射到地球表面上時，會經過大氣層，使太陽光發生折射，折射后的太陽高度角α的計算公式為：

(7)

由于影響大氣層的折射率的因素[11]較多，為了方便計算，取空氣折射率來近似代替，n=1.000 273.

1.3.3 地方時角的計算

本文以東半球為研究對象，則對應的地方時角的推導公式為：

(8)

式(8)中：T為北京時間，θ為當地經度.

1.3.4 太陽赤緯角的計算

太陽赤緯角[12]是地球赤道平面與太陽和地球中心的連線之間的夾角，赤緯角以一年為周期，在南北回歸線的范圍內移動，這成為季節的標志，其近似的計算公式為：

sinσ=0.397 95cos[0.985 63/(N-173)]

(9)

式(9)中：N為日數，從1月1日算起，取值范圍為0≤N≤365.

1.3.5 優化模型

根據上述的目標函數和約束條件，建立太陽影子定位的優化模型為：

2 遺傳算法求解太陽影子定位問題

2.1 并行選擇的遺傳算法

并行選擇[9]的基本思想是先將群體中的全部個體按子目標函數的數目均等地劃分為一些子群體，對每個子群體分配一個子目標函數，各個子目標函數在相應的子群體中獨立地進行選擇運算，各自選擇出適應度高的個體組成一個新的子群體，然后再將所有這些新生成的子群體合并成一個完整的群體，在這個群體中進行交叉和變異運算，從而生成下一代的完整群體，如此不斷地進行“分割-并列選擇-合并”操作，最終可求出多目標優化問題的Pareto最優解.

圖3為并列選擇的遺傳算法示意圖.

圖3 并列選擇遺傳算法的示意圖

2.2 算法步驟

(1)對設計變量經度、緯度，用格雷碼進行編碼，根據每個變量的精度和變化范圍確定其對應的編碼個數為21.其對應的編碼公式[9]為：

2mj<(bj-aj)×10n≤2mj-1

(10)

式(10)中：[aj,bj]為變量的取值范圍，mj為二進制編碼的個數，n為變量精度.

(2)采用隨機的方法產生個體數為100的初代種群，且設置最大遺傳代數為50，使用遺傳代溝為0.9；

(11)

式(11)中：Ni為種群的大小，P為根據目標函數的大小所確定的個體在種群的位置，sp為選擇壓力，一般取1.7.

(4)對上一步生成的種群，采用單點交叉[9]的方式，如圖4所示，生成新的種群，交叉概率取0.7；

圖4 單點交叉運算的示意圖

(5)為了避免問題過早收斂，對新種群的個體進行變異操作，變異概率取0.01；

(6)由于遺傳代溝的存在，為了保證每一代的種群個數不變，對種群進行重插入.采用的策略為基于適應度插入方法，用子代代替適應度小的父代.

(7)判斷種群是否達到最大遺傳代數，如果未達到則轉向步驟3，否則此時種群中適應度最大的個體所對應的目標函數值，即為全局最優解.

遺傳算法的具體工作流程如圖5所示.

圖5 遺傳算法的流程圖

3 實例運算與結果分析

3.1 實例問題

通過測量得到某地在4月18日中從14∶42到15∶42的長度為2 m的直桿在水平地面上的太陽影子頂點坐標數據如表1所示，其中直桿垂直于地面，以桿的底端為坐標原點，水平面為xy平面.給出可能的地點.(以上數據來源于2015年全國大學生數學建模大賽)

表1 某地4月18日桿的影子坐標數據表

3.2 運算結果

本問題在2015年全國大學生數學建模大賽中采用了枚舉法進行求解，在給定經緯度搜索的步長為1度的情形下，最終得到的最優解為：

z1=1.15×10-6,z2=0.100 5

對應的經緯度為(108 °E,17 °N)，搜索用時4 min.

運用上述的并列選擇的遺傳算法，并使用Mat lab編程，對模型進行求解，由于遺傳算法在求解中具有隨機性，我們多次運行程序，計算結果如表2所示.

表2 遺傳算法求解結果匯總表

對計算結果進行分析，最終得到最優解

z1=2.61×10-8,z2=4.41×10-4

對應的經緯度為(109.02 °E,18.76 °N)遺傳算法收斂的時間為8 s.

3.3 結果分析

比較2015年全國大學生數學建模大賽所給的準確地點(109.5 °E,18.3 °N)，本文給出的結果是比較理想的.當然本文所給結果仍有一定誤差，這主要是由折射率數值的選取和搜索誤差造成的.不過就求解的過程而言，本文所用的方法與枚舉算法相比，求解結果的精度更高，收斂的時間更短.

4 結論

本文針對太陽影子定位問題，建立了多目標優化模型，并運用并行選擇的遺傳算法進行求解，最終通過實例分析，指出應用并行選擇遺傳算法進行太陽影子定位問題的求解，不僅收斂速度快，而且能夠避免陷入局部最優化，因此該方法是一種值得推廣的好方法.

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【責任編輯：蔣亞儒】

Positioning method by the shadow of the sun based on parallel selected genetic lgorithm

YU Peng1, LIU Ze-feng2, GUO Gai-hui1, LU Jin-qiao1, LV Yang1

(1.School of Arts and Sciences， Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China； 2.College of Mechanical and Electrical Engineering, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

According to the natural phenomenon that produces a shadow of objects under direct sunlight and the formation principle of stick sunlight shadow chart,the positioning method by the shadow of the sun is offered.Combined with relevant knowledge such as solar altitude and declination of sun.The multiple object optimization model,whose objective fun-ction is the maximum of correlation coefficient and the minimum of error sum of squares about practical and theoretical shadow′s length,is built.Regarding longitude and latitude of measure area as design variables,the measure area is confirmedwith parallelism selection genetic algorithm.In the analysis of case, compared with enumeration method,there is the truth that,the result by genetic algorithm is more accurate and the solution speed is faster than enumeration method.

positioning by the shadow of the sun; multiple object optimization; parallelism selection; genetic algorithm

2016-07-21

國家自然科學基金項目(11401356)

于 鵬(1981-)，男，寧夏永寧人，講師，碩士，研究方向：不確定推理

1000-5811(2017)01-0193-05

TP391

A