一類具有時滯脈沖的口腔恒化器模型的動力學性態分析

盧 琨, 曹 慧， 王 莉

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

一類具有時滯脈沖的口腔恒化器模型的動力學性態分析

盧 琨, 曹 慧， 王 莉

(陜西科技大學 文理學院， 陜西 西安 710021)

研究了一類單資源和兩種微生物的時滯脈沖口腔系統的恒化器模型.利用脈沖微分方程比較定理、持久性理論和Floquet算子理論討論了模型滅絕周期解的存在性；給出了滅絕周期解全局吸引性的臨界條件；得到了系統持久性的充分條件.最后在滿足條件θ1<1|θ2>1時,利用數值模擬結果說明本文的主要結論.

口腔系統； 恒化器模型； 時滯； 脈沖； 持久性

0 引言

在日常生活中，人類的口腔異味已經成為一種疾病，影響著人類的溝通交流，是人類社交中的一種障礙，也直接影響著人類的身心健康.隨著口腔保健意識的提高，越來越多的人們開始重視這個問題.事實上，人類的口腔系統是一個生態系統,在這個生態系統中，存在著多種微生物，以及這些微生物生長、繁殖所需要的營養液.這些微生物存在于口腔中的不同部位，并且共同競爭和拮抗.當這些微生物的生長和繁殖出現不平衡時，就會出現口腔中的微生物生長失衡，從而引發口腔異味.

恒化器是一種用于連續培養微生物的實驗室裝置，可用于模擬湖泊和海洋中單細胞藻類浮游植物的生長，在工業上主要用于發酵過程和廢水處理.也有一些學者將恒化器模型應用于研究人類的口腔系統，但是相關的研究很少.文獻[1-4]中分別建立了口腔系統的恒化器模型，并對這些模型進行了理論和數值分析.但是這些模型沒有考慮微生物在吸取了營養液之后進行轉化所需要的時間滯后作用.

在本文中，將基于文獻[5],建立一類具有時滯脈沖作用的恒化器微生物培養模型，并應用于研究人類的口腔系統.本文考慮的一類具有脈沖時滯的口腔系統恒化器模型如下：

(1)

式(1)中：x(t)表示t時刻營養基的濃度,y1(t)和y2(t)分別表示t時刻口腔中微生物的濃度，x0表示進入口腔中的營養基的濃度.D是輸出率,滿足0

系統(1)的初始條件為

φi(0)>0,i=1,2,3.

(2)

1 主要結果

利用文獻[6]中的方法，參考文獻[7-12],首先給出一些有關時滯脈沖方程有用的引理和結論；接著，用脈沖微分方程比較定理、持久性理論和Floquet算子理論討論模型的滅絕周期解的存在性，以及滅絕周期解全局吸引性的臨界條件；最后，討論系統的持久性.

1.1 定義

(2)V關于x滿足局部Lipschitz條件.

定義2[14]若存在常數,M≥m>0,使m≤x(t)≤M,m≤y1(t)≤M,m≤y2(t)≤M對充分大的t成立,則稱系統(1)是一致持續生存的.

1.2 部分引理

引理1 假設(φ1(t),φ2(t),φ3(t))>0,t∈(-τ,0),則系統(1)的解是嚴格正的.

引理2[13]令函數ω∈PC′([0,∞),R),滿足以下不等式組

(3)

此處f(t),g(t)∈PC′([0,∞),R),fk(fk>0),gk,ω0是常數，對任意t>0有

引理3[15]考慮下面的時滯微分方程:

其中r1,r2,τ都是正數；x(t)>0,t∈[-τ,0].則有

1.3 微生物滅絕周期解的存在性

當y1(t)=y2(t)=0時，系統(1)可變為下面的系統

(4)

通過直接計算系統(4)就可得到下面的引理4：

1.4 微生物滅絕周期解的全局吸引性

證明：因為θ1<1，選擇ε>0足夠小，使得

(5)

由系統(1)可得， x′≤-Dx.

考慮下面的脈沖微分方程系統

(6)

令(x(t),y1(t),y2(t))是系統(1)具有初值條件(2)的解，且x(0)=x0>0,z(t)是系統(6)具有初值z(0+)=x0的解,由引理4可知,對于任意的ε>0，存在n1∈N,使得對于任意的t>n1T,有

(7)

由系統(1)的第2,3個方程，結合(7)可得

(8)

考慮如下的比較系統：

(9)

由式(5)和(7)有μ1η

因為y1(s)=z2(s)=φ2(s)>0,y2(s)=z3(s)=φ3(s)>0,s∈[-τ,0],由微分方程比較原理和解的正性可知當t→∞時，y1(t)→0,y2(t)→0.因此存在足夠小的正數ε1,ε2以及正整數n2(n2T>n1T+τ),對任意的t>n2T,y1(t)<ε1,y2(t)<ε2.

(10)

1.5 持久性

首先證明系統(1)的所有解是一致有界的.

定理2 系統(1)的任意正解(x(t),y1(t),y2(t)),當t足夠大時，存在一常數M>0,滿足x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

證明：令V(t)=V1V2x(t)+V2y1(t+τ)+V1y2(t+τ),則V(t)∈V0.

沿系統(1)求導有

顯然可以選擇任意的K>0,滿足

由引理2得

因此V(t)是最終有界的，故對系統(1)的任意正解(x(t),y1(t),y2(t)),當t足夠大時，存在一常數M>0,使得x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

定理3 若θ2>1,則系統(1)是持久的.其中

證明： 假設(x(t),y1(t),y2(t))是系統(1)具有初值條件的任一解，由定理2有x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M.

由系統(1)有

考慮下面的比較系統

(11)

根據引理4有

利用比較原理及引理4，對足夠小的ε4>0,有x(t)≥u(t)>u*(t)-ε4>0.

系統(1)的第2,3個方程可以改寫成如下形式

(12)

定義

則Vi(t),i=1,2沿系統(1)解曲線的導數為

(13)

(14)

(15)

當t≥t0考慮下面的脈沖微分方程

(16)

根據引理4，系統(16)的正周期解為

因而有

(17)

結合(13)、(17)可得

(18)

以下只對(18)的第一個式子討論.

以下證明對于足夠大的t,有y1(t)≥m.分兩種情況.

2 數值模擬

在這個部分，利用數值模擬的方法展示所得到的結論.取a1=0.1,a2=0.1,T=2,m1=0.2,m2=0.1,V1=0.3,V2=0.2,x0=0.5,y0=2,z0=1,x10=x0,y10=y0,z10=z0,γ=0.3,x0=0.35.

當D=0.5,可以得到θ1=0.066 44，滿足定理1的條件.相應地可以得到圖1、圖2.由圖1～2可知，當θ1<1時，微生物會滅絕.

圖1 營養基x(t)的時間序列圖

圖2 微生物y1(t)的時間序列圖

當D=0.046,θ2=2.368 7>1相應地可以得到圖3、圖4.由圖3～4可知，當θ2>1時，微生物會持久生存.

圖3 營養基x(t)的時間序列圖

圖4 微生物y1(t)的時間序列圖

3 結論

本文建立了一類具有時滯脈沖作用和Monod型功能反應函數的口腔系統恒化器模型.討論了該模型微生物滅絕周期解的存在性；證明了微生物滅絕周期解的全局吸引性的臨界條件；最后給出了系統持久的充分條件,也通過數值模擬的方式展示了理論結果.

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【責任編輯：陳 佳】

Analysis of a class of oral chemostat model with time delay and pulse input

LU Kun, CAO Hui, WANG Li

(School of Arts and Sciences , Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

An oral chemostat model with periodic pulse and time delay is discussed in this paper.Using the comparison theorem of impulsive differential equations，persistence theory and floquet operator theory,the existence of the microorganism-free periodic solution is proved,which is globally attractive under some critical conditions.Moreover,the sufficient conditions on permanence of the system is obtained.Finally,under the condition ofθ1<1|θ2>1,some numerical simulations are given to illustrate the main results.

oral cavity system; chemostat model; delay; pulse; persistence

2016-07-12

國家自然科學基金項目(11301314); 陜西省教育廳專項科研計劃項目(15JK1081)

盧 琨(1980-)，女，陜西西安人，講師，碩士,研究方向：生物數學

1000-5811(2017)01-0188-05

O175

A