數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究

喻 平

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數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究

喻 平

（南京師范大學(xué)課程與教學(xué)研究所，江蘇南京 210097）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．在理論分析基礎(chǔ)上，初步析出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要素，采用大樣本問卷，對數(shù)據(jù)進(jìn)行因素分析和不同的聚類分析標(biāo)準(zhǔn)，得到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩種結(jié)構(gòu)．第一種由8種基本成分組成：數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格．第二種由7種成分組成：數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；因子分析；聚類分析

《教育部關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》于2014年3月正式印發(fā)，在“著力推進(jìn)關(guān)鍵領(lǐng)域和主要環(huán)節(jié)改革”部分提出，研究制訂學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)；要根據(jù)學(xué)生的成長規(guī)律和社會對人才的需求，把對學(xué)生德智體美全面發(fā)展總體要求和社會主義核心價值觀的有關(guān)內(nèi)容具體化、細(xì)化；要研究學(xué)科核心素養(yǎng)體系，明確學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力．

1 問題提出

近些年，世界各國不斷推進(jìn)課程體系的改革．國際課程改革發(fā)展的一些共同發(fā)展趨勢與特點(diǎn)：關(guān)注學(xué)生發(fā)展，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)適應(yīng)現(xiàn)代社會所需的能力；強(qiáng)調(diào)課程的整合性，注重學(xué)科之間的相互融合；在課程中融入了質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)，強(qiáng)調(diào)問責(zé)．世界各國的課程標(biāo)準(zhǔn)中出現(xiàn)強(qiáng)調(diào)“關(guān)注學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生核心能力”的趨勢，推動了學(xué)生核心素養(yǎng)（key competencies）的研究和模型的制定．例如，1997年12月經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）啟動的“素養(yǎng)的界定與遴選：理論和概念基礎(chǔ)”項(xiàng)目，對學(xué)生核心素養(yǎng)體系構(gòu)建作了系統(tǒng)的研究[1~2]．

美國、澳大利亞、芬蘭、日本、韓國等國家都有開展學(xué)生核心素養(yǎng)的研究．在芬蘭，學(xué)生的核心素養(yǎng)在國家課程標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)中明確規(guī)定，規(guī)定了學(xué)生需要具備的核心素養(yǎng)．將素養(yǎng)劃分為七大主題——成長為人，文化認(rèn)同與國際化，信息素養(yǎng)與交際，參與行使公民與企業(yè)家的權(quán)利，對環(huán)境、健康和可持續(xù)發(fā)展的將來的責(zé)任感，安全與交通，技術(shù)與個體．根據(jù)這7個主題再逐步分解到各個學(xué)科中去．也就是說，芬蘭的課程中直接融入了對學(xué)生核心素養(yǎng)的界定與規(guī)范，再分解這些核心素養(yǎng)到各個學(xué)科之中，作為教學(xué)的目標(biāo)和評價依據(jù)，并直接引導(dǎo)教師的教學(xué)．Eurydice發(fā)布了一份題為“在歐洲學(xué)校中發(fā)展核心素養(yǎng)：政策機(jī)遇與挑戰(zhàn)”的報告，對核心素養(yǎng)的課程實(shí)施現(xiàn)狀與問題進(jìn)行了較為全面和深入的調(diào)研．該報告對32個Eurydice網(wǎng)絡(luò)成員國家（含當(dāng)時歐盟全部27成員國外加冰島、列支敦士登、挪威、克羅地亞及土耳其）小學(xué)、初中和高中階段（ISCED等級1~3級）2011—2012學(xué)年的課程和評價方面進(jìn)行了統(tǒng)計調(diào)查，指出了當(dāng)前面臨的幾個關(guān)鍵問題：在政策層面，學(xué)校教育中的核心素養(yǎng)培養(yǎng)需要更具戰(zhàn)略性的政策支持；在內(nèi)容層面，與傳統(tǒng)的基于學(xué)科的能力相比，需要在跨學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)上做出更大努力；在學(xué)生層面，一方面是減少基本能力（母語、數(shù)學(xué)和科學(xué)）方面低成就學(xué)生的比例，另一方面則是鼓勵更多的學(xué)生投身數(shù)學(xué)、科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域的更高層次的學(xué)習(xí)或事業(yè)，以滿足經(jīng)濟(jì)發(fā)展的需求．

在學(xué)科核心素養(yǎng)研究方面，美國國家管理者協(xié)會和州立學(xué)校首席管理會聯(lián)合出臺了“共同核心州立標(biāo)準(zhǔn)”（CCSS）．其中在數(shù)學(xué)學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)中提出的核心素養(yǎng)是：（1）理解和解決問題；（2）抽象的、量化的推理；（3）構(gòu)造可行的論證、推理；（4）數(shù)學(xué)建模；（5）靈活地使用適合的工具；（6）精確化；（7）探求并利用結(jié)構(gòu)；（8）在反復(fù)推理中探求并表達(dá)規(guī)律．Hong對韓國、澳大利亞、新西蘭的教師作了調(diào)查，結(jié)果表明要轉(zhuǎn)變單純學(xué)科知識傳授為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，關(guān)鍵的問題是重構(gòu)課程而不是在現(xiàn)有課程基礎(chǔ)上對教學(xué)方法的改造[3]．類似的研究還有Han and Shin[4]、Park[5]、So[6]等．Shute等提出一個評價學(xué)生核心能力的嵌入式模型，并給出了具體的實(shí)施步驟[7]．

在國內(nèi)，教育部哲學(xué)社會科學(xué)重大攻關(guān)項(xiàng)目“義務(wù)教育階段學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)體系研究”課題組，提出基于學(xué)生核心素養(yǎng)的課程體系建構(gòu)設(shè)想，認(rèn)為構(gòu)建基于核心素養(yǎng)的課程體系應(yīng)至少包含具體化的教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)建議和質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)4部分．其中，具體化的教學(xué)目標(biāo)和質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)要體現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)，內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議要促進(jìn)學(xué)生形成核心素養(yǎng)[8]．辛濤等提出中國基礎(chǔ)教育階段學(xué)生核心素養(yǎng)的概念內(nèi)涵，在核心素養(yǎng)的遴選時要遵守素養(yǎng)可教可學(xué)、對個體和社會都有積極意義、面向未來且注重本國文化這3個原則[9]．

目前，教育部正在組織專家對“高中課程標(biāo)準(zhǔn)”進(jìn)行修訂，要求把學(xué)科核心素養(yǎng)作為修訂課程標(biāo)準(zhǔn)的主線，圍繞學(xué)科核心素養(yǎng)制訂教學(xué)內(nèi)容和評價標(biāo)準(zhǔn)．因此，各學(xué)科的核心素養(yǎng)體系的建構(gòu)成為當(dāng)前一個必須要做的工作．然而，從目前的研究來看，各學(xué)科核心素養(yǎng)成分的確定多是由一批專家綜合各方面意見討論而定，這種基于思辨的研究基于專家的理論見識，有不可替代的作用，但是這種小群體的價值信念也可能會出現(xiàn)以偏概全的缺陷．對學(xué)科核心素養(yǎng)成分的研究，應(yīng)當(dāng)采用思辨提出框架、實(shí)證加以驗(yàn)證的方法．這里對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)開展實(shí)證研究，析取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本成分．

研究的基本思路為：（1）通過理論分析，采用專家討論的方法，初步提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本成分；（2）根據(jù)初步提出的基本成分，編制數(shù)學(xué)素養(yǎng)問卷，選取小樣本進(jìn)行預(yù)測，修訂問卷；（3）以中小學(xué)骨干教師為對象，采用大樣本測試收集數(shù)據(jù)；（4）用統(tǒng)計方法作因子分析和聚類分析，析取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本成分．

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初步析取

核心素養(yǎng)是指學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，對照這一定義，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備數(shù)學(xué)品格和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力．

2.1 選擇數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的依據(jù)

擬定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)當(dāng)從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)與數(shù)學(xué)教育價值兩個方面考慮．

首先，從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)角度考察．對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，歷來是數(shù)學(xué)哲學(xué)中討論的話題，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)哲學(xué)家從不同視角觀察數(shù)學(xué)，提出了若干不同的認(rèn)識和見解．表1給出一些著名數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)哲學(xué)家的觀點(diǎn)[10]．

表1 一些數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)哲學(xué)家對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的觀點(diǎn)

方延明將各家觀察作了一個歸類，對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識存在萬物皆數(shù)說、哲學(xué)說、符號說、科學(xué)說、工具說、邏輯說、創(chuàng)新說、直覺說、集合說、結(jié)構(gòu)說、模型說、活動說、精神說、審美說、藝術(shù)說[11]．

對這些觀點(diǎn)作進(jìn)一步梳理，宏觀上可以把數(shù)學(xué)的本質(zhì)概括為兩個大的方面，即數(shù)學(xué)的科學(xué)特質(zhì)和數(shù)學(xué)的文化特質(zhì)．

數(shù)學(xué)的科學(xué)特質(zhì)表現(xiàn)為除了有科學(xué)的本性外還具有數(shù)學(xué)本身的特性，數(shù)學(xué)本身特性可以用幾個關(guān)鍵詞刻畫：抽象、邏輯、結(jié)構(gòu)、模式、數(shù)據(jù)、直覺．事實(shí)上，從歷史上幾個重要的數(shù)學(xué)哲學(xué)流派的各自追求，可以看到都是圍繞這些關(guān)鍵詞開展的．以羅素（Russell）為代表的邏輯主義，把數(shù)學(xué)與邏輯等價看待，認(rèn)為數(shù)學(xué)可以歸結(jié)為邏輯．直覺主義否認(rèn)超經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)對象存在，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)對象的可構(gòu)造性，而這種構(gòu)造源于非邏輯思維占主要成分的數(shù)學(xué)直覺，阿達(dá)瑪（Hadamard）認(rèn)為，數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)是某種美的意識或美感，其實(shí)是對數(shù)學(xué)對象間存在著的某種隱微的和諧性與秩序的直覺認(rèn)識[12]．以希爾伯特（Hilbert）為代表的形式主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)思維的對象就是數(shù)學(xué)符號本身，符號就是本質(zhì)，它們并不代表任何物理對象．?dāng)?shù)學(xué)對象是一堆毫無實(shí)際內(nèi)容的形式符號體系，不管從什么假設(shè)出發(fā)，只要這些假設(shè)能以符號形式明顯地表示，用形式的演繹來推理，就成為數(shù)學(xué)．受形式主義學(xué)派影響發(fā)展起來的法國布爾巴基學(xué)派，在促使數(shù)學(xué)理論體系進(jìn)一步形式化方面做了大量工作．該學(xué)派認(rèn)為，數(shù)學(xué)各分支應(yīng)按照結(jié)構(gòu)性質(zhì)劃分，運(yùn)用公理化方法按照結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)加以整理．所謂“結(jié)構(gòu)”，是一些用若干公理來定義的基本數(shù)學(xué)關(guān)系．最基本的結(jié)構(gòu)有3種，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，以這3種結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，全部或絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容都可以歸結(jié)為各種結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)的發(fā)展無非是結(jié)構(gòu)的構(gòu)建和重組而已．顯然，邏輯主義以“邏輯”為核心刻畫數(shù)學(xué)；直覺主義以“構(gòu)造”、“非邏輯思維”、“數(shù)學(xué)美”等概念為核心認(rèn)識數(shù)學(xué)；形式主義對數(shù)學(xué)的描述建立在“抽象”概念基礎(chǔ)之上；布爾巴基學(xué)派則以“結(jié)構(gòu)”塑造數(shù)學(xué)．其實(shí)，不同學(xué)派是從不同角度來認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，都有合理因素但又表現(xiàn)出各自的片面性．

數(shù)學(xué)的文化特質(zhì)指數(shù)學(xué)的文化元素表現(xiàn)出來的特別性質(zhì)．?dāng)?shù)學(xué)既是科學(xué)又是一種文化，數(shù)學(xué)文化包括數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)信念、數(shù)學(xué)價值觀和數(shù)學(xué)審美．?dāng)?shù)學(xué)知識是人們認(rèn)識客觀世界的物質(zhì)成果，是科學(xué)勞動的果實(shí)和產(chǎn)品，負(fù)載著數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)精神，是數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)思想方法最能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的過程和品質(zhì)，是數(shù)學(xué)文化最主要的現(xiàn)實(shí)表現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)信念是數(shù)學(xué)家共同體在追求真理、逼近真理的科學(xué)活動中，將數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化后所形成的獨(dú)特的精神氣質(zhì)，是數(shù)學(xué)文化的核心和精髓．?dāng)?shù)學(xué)價值觀是人們對數(shù)學(xué)本體功能和外在功能的認(rèn)識，是人們對數(shù)學(xué)的價值判斷．?dāng)?shù)學(xué)審美是一種理性的精神，這種精神促使人們?nèi)ヌ角蠛痛_立知識深刻、完美的內(nèi)涵．科學(xué)教學(xué)觀視野下的數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要充分展示數(shù)學(xué)的文化元素．“數(shù)學(xué)人文精神的內(nèi)涵具體體現(xiàn)在其理性求知、一種文化、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、普遍的思想方法和語言以及獨(dú)特的審美價值上．”[13]

其次，從數(shù)學(xué)教育的價值維度分析．關(guān)于數(shù)學(xué)教育的價值，在中國歷次“數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”和“數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”中均有描述，反映在各種文件的“課程目標(biāo)”中．歐內(nèi)斯特（Ernest）從教育觀念層面將數(shù)學(xué)教育分為5種類型：嚴(yán)格訓(xùn)導(dǎo)派、技術(shù)實(shí)用主義、舊人文主義、進(jìn)步教育派、大眾教育派[14]．這些派別在認(rèn)識論、課程觀、教學(xué)觀、教育目標(biāo)等方面都存在差別．?dāng)?shù)學(xué)教育的價值體現(xiàn)在教育目標(biāo)中，反映了數(shù)學(xué)教育的育人功能．嚴(yán)格訓(xùn)導(dǎo)派強(qiáng)調(diào)思維訓(xùn)練的重要性，教育目的是針對不同階層的學(xué)生提供不同的訓(xùn)練，掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，為將來的職業(yè)和個人發(fā)展做準(zhǔn)備．技術(shù)實(shí)用主義持功利主義觀，教育目的主要是讓學(xué)生掌握就業(yè)需要的數(shù)學(xué)知識與技能．舊人文主義重視數(shù)學(xué)知識、文化和價值的傳播功能，視數(shù)學(xué)為人類文化遺產(chǎn)和智力成就的核心部分，教育目的是傳承數(shù)學(xué)文化，欣賞數(shù)學(xué)美．進(jìn)步教育派的教育目的是通過數(shù)學(xué)教育促進(jìn)人的素質(zhì)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)人格完善，富于創(chuàng)新精神．大眾教育派強(qiáng)調(diào)公平民主，通過數(shù)學(xué)教育使學(xué)生獲得批判性意識、民主公民意識，在社會環(huán)境中能用數(shù)學(xué)思維方式提出問題和解決問題．

總結(jié)各家論點(diǎn)，數(shù)學(xué)教育的價值在于：掌握數(shù)學(xué)知識，形成基本數(shù)學(xué)技能，發(fā)展數(shù)學(xué)能力，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，掌握數(shù)學(xué)工具，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神，傳承數(shù)學(xué)文化．

2.2 提出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基本要素

根據(jù)上面的分析，組織部分師范大學(xué)從事數(shù)學(xué)教學(xué)論研究的專家討論，提出與數(shù)學(xué)素養(yǎng)相關(guān)的17個要素，這17種要素的名稱及涵義見表2．

表2 初步析取的17種數(shù)學(xué)素養(yǎng)要素

2.3 量表制作

對初步析取的17個因素設(shè)計調(diào)查問卷．作1，2，…，17分別表示17個數(shù)學(xué)素養(yǎng)基本元素，問卷采用Likert量表7點(diǎn)記分，要求被試對每一個問題根據(jù)自己的理解，判斷每一個要素與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的接近程度并在相應(yīng)位置作出選擇．?dāng)?shù)字7表示最接近，數(shù)字1表示最不接近．同時，在全卷最后有一個開放性問題：除了上面表中的內(nèi)容外，您認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)還應(yīng)當(dāng)有哪些要素？

選取江蘇省90名被試，對量表進(jìn)行預(yù)測．90名被試包括35名數(shù)學(xué)教育專業(yè)在校研究生，55名江蘇省中學(xué)教師，其中高中教師30名，初中教師25名．

對預(yù)測結(jié)果作了兩個方面的數(shù)據(jù)分析．

（1）對各題項(xiàng)與總量表進(jìn)行相關(guān)分析，若題項(xiàng)與總量表的相關(guān)沒有達(dá)到顯著性水平（＜0.05），表明此題項(xiàng)須剔除．結(jié)果見表3．

表3 各題項(xiàng)與總量表的相關(guān)性

從表3可以看出，應(yīng)當(dāng)刪除題項(xiàng)2，即2：數(shù)學(xué)概括能力．修訂后的量表由16個項(xiàng)目組成．下面的討論，與17個數(shù)學(xué)素養(yǎng)要素對應(yīng)的變量序號保持不變．

（2）對修訂后的量表進(jìn)行信度分析，計算Cronbach’s系數(shù)，其值為0.642，量表有較高的信度．

3 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的驗(yàn)證性因子分析

3.1 被試選擇

正式施測選擇的被試來自10個省，對象包括高中、初中和小學(xué)數(shù)學(xué)教師，由兩類人員組成：在讀研究生（博士、碩士、教育碩士），“國培”教師成員．選擇這兩類人員進(jìn)行調(diào)查，是考慮到他們均具備一定的理論或?qū)嵺`知識，對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有個人的認(rèn)識和理解，因而樣本有一定的代表性．具體地，福建21名，河南67名，廣東33名，廣西52名，湖北71名，湖南88名，江蘇191名，江西40名，內(nèi)蒙30名，山西198名，浙江31名，山東204名．其中江蘇的被試包括參加預(yù)測90人，后面的數(shù)據(jù)統(tǒng)計把這90個被試的預(yù)測數(shù)據(jù)作為正式測試數(shù)據(jù)．全體被試人數(shù)為1?026，樣本量較大．

3.2 描述性數(shù)據(jù)

描述性統(tǒng)計結(jié)果，計算16個項(xiàng)目得分的基本數(shù)據(jù)，結(jié)果見表4．

表4 描述統(tǒng)計量

3.3 因素分析結(jié)果

對16個項(xiàng)目的數(shù)據(jù)進(jìn)行因子分析，目的是找到綜合能力成分和公共因素．表5反映了KMO和Bartlett檢驗(yàn)結(jié)果，數(shù)據(jù)顯示，KMO抽樣適當(dāng)性參數(shù)值為0.904，＜0.001，=120，卡方值4?382.043，說明16個變量之間不是獨(dú)立的，因而可以進(jìn)行因素分析．

由表6可以看到，其特征根只有3個大于1，所以只提取3因子，這3個因子在碎石圖（圖1）的坡上．

表5 KMO和Bartlett的檢驗(yàn)

表6 解釋的總方差

注：提取方法：主成份分析

圖1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)因素碎石圖

表7是旋轉(zhuǎn)成分矩陣，數(shù)據(jù)顯示，因子1在諸多項(xiàng)上都有較大負(fù)荷，因此可以認(rèn)為因子1是較全面反映各項(xiàng)能力的綜合指標(biāo)．其中在因子1上有較大負(fù)荷的是1，3，4，5，7，10，11，即數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、合情推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)分析能力、直觀想象能力，這些項(xiàng)目均可考慮作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本要素．在因子2上負(fù)荷較大的6：數(shù)學(xué)交流能力，8：數(shù)學(xué)閱讀能力，9：數(shù)學(xué)變換能力，12：數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，13：數(shù)學(xué)解題能力，14：對數(shù)學(xué)的認(rèn)識信念．這些項(xiàng)目的共同屬性是對數(shù)學(xué)的理解并用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題或現(xiàn)實(shí)問題的能力，可以將因子2命名為數(shù)學(xué)問題解決能力．在因子3上負(fù)荷較大的項(xiàng)目是15：數(shù)學(xué)地思考問題，16：數(shù)學(xué)文化的認(rèn)識，17：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)，這3個項(xiàng)目的共同屬性是在文化層面對數(shù)學(xué)的理解，因此，可以命名為數(shù)學(xué)文化品格．

表7 旋轉(zhuǎn)成份矩陣a

3.4 聚類分析結(jié)果

在上面的因子分析中，從因子1析取了7個項(xiàng)目，進(jìn)一步對因子1的7個項(xiàng)目進(jìn)行聚類分析，合并一些項(xiàng)目之后提取數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)基本成分．

表8中聚類過程的輸出．表9是分為6類的結(jié)果，只有3和4歸為一類，即邏輯推理能力和合情推理能力合并為一類，雖然這兩種推理在思維方面有所差異，但均屬于數(shù)學(xué)推理，因此兩種推理合并后命名為推理能力．其余各項(xiàng)獨(dú)自屬于一類，這樣得到因子1的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)成分為6個：數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力．

表8 聚類表

表9 群集成員

分為6類顯得因素比較多，如果我們把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)綜合指標(biāo)分為5類，那么從圖2的結(jié)果可以看到，7與10應(yīng)當(dāng)合并為一類，即數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)據(jù)分析能力應(yīng)當(dāng)合為一類，可命名為建模與數(shù)據(jù)分析能力．這樣，因子1中得到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為5個：數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理能力、空間想象能力．

將數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)據(jù)分析能力合并，從學(xué)理上是通順的．因?yàn)閿?shù)學(xué)建模包含對數(shù)據(jù)的分析過程，反之，數(shù)據(jù)的收集、處理和分析，最終歸結(jié)為用一種數(shù)學(xué)模型去解決．

圖2 聚類分析冰柱圖

通過對因子1的聚類分析，結(jié)合因子2和因子3，采用第一種聚類標(biāo)準(zhǔn)，提取出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由8個成分組成，將其簡稱為：數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格．采用第二種聚類標(biāo)準(zhǔn)，提取出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由7個成分組成：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格．

4 討 論

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組的專家提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6種成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析，與研究者用實(shí)證方法得到的結(jié)果基本上是吻合的，但多出了問題解決能力和數(shù)學(xué)文化品格兩個因素．專家組提出的6個數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，雖然不是以能力冠名，但本質(zhì)上6個要素均為能力．其中邏輯推理（用詞不準(zhǔn)確）包括演繹推理和合情推理，與研究者提出的數(shù)學(xué)推理是一致的．

事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析屬于問題解決范疇，因此可能有包含關(guān)系之嫌，但是，問題解決具有的性質(zhì)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析不能涵蓋的．?dāng)?shù)學(xué)的交流、閱讀、變換、應(yīng)用和解決各類問題，都屬于問題解決的基本要素，因此問題解決能力當(dāng)屬數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個成分．至于數(shù)學(xué)文化，它是滲透在數(shù)學(xué)知識深層的隱性元素，“數(shù)學(xué)素質(zhì)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)文化觀念、知識、能力、心理的整合，而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育目標(biāo)的關(guān)鍵在于充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)，把數(shù)學(xué)文化理念貫穿到數(shù)學(xué)教育的全過程中”[14]．?dāng)?shù)學(xué)文化是學(xué)生數(shù)學(xué)品格的形成不可缺少的因素，高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組專家把這一因素排斥在外的做法，是值得商榷的．

5 研究結(jié)論

（1）通過因子分析和第一種標(biāo)準(zhǔn)的聚類分析，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格等8種成分

組成．

（2）通過因子分析和第二種標(biāo)準(zhǔn)的聚類分析，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、推理能力、建模與數(shù)據(jù)處理、空間能力、問題解決能力、數(shù)學(xué)文化品格等7種成分組成．

致謝：感謝下列老師主持本研究的調(diào)查測試并收集數(shù)據(jù)．福建師范大學(xué)李祎，河南師范大學(xué)王振平，深圳大學(xué)傅贏芳，廣西師范大學(xué)唐劍嵐，鄖陽高等師范專科學(xué)校余曉娟，湖南師范大學(xué)謝圣英，湖南科技大學(xué)曾友良，贛南師范學(xué)院曹新，內(nèi)蒙師范大學(xué)李偉軍，山西師范大學(xué)楊紅萍，杭州師范大學(xué)葉立軍，山東師范大學(xué)于文華．

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Empirical Study on Elemental Extraction of Key Competencies of Mathematics

YU Ping

(Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

The key competencies of mathematics is the essential mathematics character and key mathematics ability students should have, which can meet the need of both long-life and social developments. On the basis of theoretical analysis, the writer preliminarily dissolves out the elements of key competencies of mathematics. Then the writer makes a factor analysis and different standard of cluster analysis by using large simple questionnaire, which produces two types of structures of the key competencies of mathematics. The first type consists of 8 kinds of basic components, which are mathematics abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity, spatial capacity, problem-solving capacity and mathematical culture character. The second type consists of 7 kinds of basic components, which are mathematical abstraction, operational capacity, inferential capacity, mathematical modeling and data processing capacity.

key competencies of mathematics; factor analysis; cluster analysis

G420

A

1004–9894（2016）06–0001–06

2016–11–25

江蘇省社科基金項(xiàng)目——中小學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)體系建構(gòu)與教學(xué)實(shí)踐研究（15JYD001）；江蘇省教育廳重大項(xiàng)目——義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力研究（2015JYKTZD-02）

喻平（1956—），男，重慶人，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．