夾層結構中夾層聲場的處理方法研究

寧少武， 史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

夾層結構中夾層聲場的處理方法研究

寧少武， 史治宇

(南京航空航天大學 機械結構力學及控制國家重點實驗室，南京 210016)

以二維雙層彈性梁為例研究夾層聲場的處理方法，從不同的物理視角，提出了夾層結構中夾層聲場的橫向聲模態展開方法和聲波導模態展開方法，并與夾層聲場采用結構模態展開形式和聲腔純模態展開形式時的傳聲性能作對比。運用四種夾層處理方法計算了不同參數組合形式結構的傳聲損失。計算表明：夾層的橫向聲模態函數展開方法與結構模態展開方法在計算結構傳聲損失上是等價的；聲波導模態函數展開方法在計算結構傳聲損失上與聲腔模態展開方法是等價的；結構的傳聲損失曲線中的隔聲低谷由結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及駐波共振共同作用產生的結果；四種計算方法可以反映結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及垂直與結構表面方向的駐波共振對結構傳聲損失的影響，除此而外，夾層的聲模態展開形式和聲波導模態展開還反映了平行于結構表面方向的駐波共振和其余的聲模態對結構隔聲性能的影響，因此在其對應的傳聲損失曲線中有更多的隔聲低谷。

夾層板結構;結構模態;聲模態;聲波導模態;共振頻率

夾層結構具有優良的聲學性能，在高速列車、艦船潛艇以及航空航天等領域有廣泛的應用，針對夾層結構的聲振耦合特性已進行了廣泛的研究。以雙板空腔結構為例，早期對雙板空腔結構的聲振耦合特性研究通常簡化為無限大結構，未有考慮結構邊界條件的影響。ANTONIO等[1]理論研究了無限大雙板空腔建筑隔墻結構的隔聲性能；KROPP等[2]對雙板結構在低頻段隔聲性能開展了優化設計方面的研究；LONDON[3]基于單板聲阻抗發展了無限大雙層板腔結構對混響入射聲波的理論模型。對于有限大的夾層結構必須考慮結構的邊界條件對結構聲振耦合特性的影響，VILLOT等[4]在無限大結構理論的基礎上發展了平面波空間窗截斷的方法近似模擬有限大邊界條件的影響；盧天健等[5]分別建立了簡支和固支兩種邊界條件下雙板空腔結構傳聲理論模型，研究討論了一系列系統參數對結構傳聲特性的影響。

對于有限大的夾層結構，不僅結構的邊界條件對結構本身的聲振耦合特性有影響，夾層結構中夾層聲場的邊界條件對結構傳聲損失影響也很顯著。然而，對夾層聲場的表示通常采用兩類表示方法：①采用空腔模態展開的方法表示夾層聲場的聲壓分布，其假設夾層聲場為剛性邊界。例如，CHEN 等[6]采用空腔模態展開的方法計算分析了聲激勵與機械激勵條件下聲介質與連接結構兩種途徑對矩形聲腔內部聲場的影響。②從波動觀點出發將中間聲場表示為結構模態函數的級數形式，其認為中間聲場聲壓分布與結構模態函數形式相同。例如，XIN等[7]采用結構模態函數展開方法對簡支雙板空腔結構的聲振耦合特性進行了理論研究。

從聲場的角度，考慮夾層邊界的影響，提出兩種夾層聲場處理方法：①假設聲場在平行于結構表面方向形成駐波聲場，而垂直與結構表面方向的波數與入射聲場相同，即橫向聲模態展開方法；②將空氣夾層看作聲波導，提出采用聲波導的模態函數展開方法表示夾層結構的中間聲場。為了簡化分析，以二維雙層彈性梁為計算模型，分別采用結構模態函數展開法、空腔模態展開法以及本文提出的橫向聲模態展開方法和聲波導模態展開方法來研究二維雙層彈性梁的聲振耦合特性，討論夾層聲場邊界條件對結構傳聲損失的影響。以二維雙層彈性梁為計算模型，對于三維聲場，相比之下，處理方法相同，只是計算過程較為復雜。

1 結構的振動控制方程和聲學波動方程

如圖1所示，平行的兩彈性梁簡支安裝在剛性聲障上，長度為a;上下彈性梁的厚度分別為t1和t2;截面積分別為A1和A2。彈性梁將聲場分為入射聲場1、中間聲場2和輻射聲場3;在中間聲場2的厚度為b;入射聲波的入射角為θ。平面簡諧入射聲波的聲壓速度勢為

φ=Ie-j(kxx+kzz-ωt)

(1)

kx=k0sinθ

(2a)

kz=k0cosθ

(2b)

式中:k0=ω/c0為空氣中聲波的波數;c0為空氣中聲波的傳播速度。

圖1 夾層結構示意圖

在簡諧平面入射聲波的激勵下，雙層彈性梁的振動控制方程和聲場控制方程分別為

(3)

(4)

(5)

pi=jωρ0Φi

式中:D1和D2分別為上下兩彈性簡支梁的彎曲剛度；w1和w2分別為上下兩彈性簡支梁的橫向振動位移；ρ1和ρ2分別為上下兩彈性簡支梁的材料密度；Φ1，Φ2和Φ3分別為入射聲場1、夾層聲場2和輻射聲場3的速度勢函數;pi為相應的聲場聲壓；ω為角頻率;ρ0為空氣的密度。

對于簡支邊界條件，則梁在邊界處的橫向位移和彎矩都應該等于零，即

(6)

在結構與聲場的流固界面上滿足法向速度連續條件，即速度連續條件

(7)

(8)

(9)

(10)

2 夾層結構的聲振耦合特性求解

為了研究夾層聲場的邊界對結構傳聲損失的影響，對于夾層聲場的速度勢函數Φ2，基于不同的物理含義，采用四種不同的表示方法，即結構模態函數展開方法、聲腔模態展開方法、夾層的橫向聲模態函數展開方法和聲波導的模態函數展開方法，其速度勢函數分別表示為Φs,2、Φa,2、Φg,2和Φw,2。

2.1 方法1：采用結構模態函數展開方法

彈性梁為簡支支撐，則其振動位移可以表示成簡支模態函數的形式

(11)

(12)

式中:M為結構模態的階數;α1,m和α2,m分別為上、下兩彈性梁的振動模態系數，φm(x)為簡支模態函數，

簡支彈性梁的剛性聲障約束密封腔內的空氣，使得空腔內平行于彈性梁的聲壓分布與梁簡支模態函數的級數形式相同，因此聲壓速度勢函數可以表示為

(13)

(14)

(15)

式中:kz為聲場中z向波數分量；Im、εs,m和ξm分別為入射聲場1、中間聲場2和輻射聲場3中正行波的幅值；βm和ζs,m分別為入射聲場1和中間聲場2中負行波的幅值。入射波幅值Im由入射聲波的聲壓速度勢φ得到

將式(11)～式(15)代入邊界條件式(7)～式(10)，聯立求解，可得

將式(11)～式(15)代入式(3)和式(4)中，利用簡支模態函數的正交性，整理可得

(16)

式中:

通過上述計算求解，可以得到上下兩彈性梁的振動模態系數α1,m和α2,m，從而求得βm、εs,m、ζs,m和ξm的值。

2.2 方法2：采用聲腔模態展開方法[8]

假設夾層空腔為剛性封閉空腔，夾層聲場的速度勢函數采用空腔的聲模態表示為

(17)

(18)

式中:K和L分別為聲模態x軸方向和z軸方向的聲腔模態階數;且聲模態ψkl(x,z)滿足

(19)

由格林公式有

(20)

式中:

由振動模態函數的正交性，由方程(3)和(4)可以得到

(21)

(22)

式中:

Λ1,kl,m，Λ2,kl,m，Γ1,kl,n和Γ2,kl,n為聲腔模態與結構振動模態之間的耦合系數；將式(20)代入式(21)～式(22)，整理可以得到

通過上述計算求解，可以得到上下兩彈性梁的振動模態系數α1,m和α2,m，從而求得βm、μa,kl和ξm的值。對于聲學剛性邊界假設，ψkl(x,z)選為

2.3 方法3：采用夾層的橫向聲模態函數展開方法

對于夾層聲場的分布情況，若假設在x軸方向形成駐波聲場，同時波數滿足式(2.b)，則夾層的聲壓速度勢函數可以表示為

(23)

式中:N為聲波導模態的階數；εg,m和ζg,n分別為中間聲場2中正行波和負行波的幅值；φg,n(x)為夾層聲場在x軸方向的聲模態函數。聲壓速度勢函數Φg,2(x,z;t)同樣滿足邊界條件(8)和(9)，代入可得

(24)

(25)

式中:

由振動模態函數的正交性，由方程(3)和(4)可以得到

(26)

(27)

式中:

Λmn、Γ1,nk和Γ2,nk為聲腔模態與結構振動模態之間的耦合系數；將式(24)～式(25)代入式(26)～式(27)，整理得到

通過上述計算求解，可以得到上下兩彈性梁的振動模態系數α1,m和α2,m，從而求得βm、εg,n、ζg,n和ξm的值。其中φg,n(x)按照聲腔邊界條件來選取。當邊界為剛性邊界和絕對軟邊界時，φg,n(x)分別可以選取為

2.4 方法4：采用夾層的聲波導模態函數展開方法

若將夾層聲場假設為波導，采用波導的模態展開形式表示空腔內聲壓速度勢函數為

(28)

式中:x軸方向和z軸方向的波數滿足關系

(29)

式中:N為聲波導模態的階數；εw,n和ζw,n分別為中間聲場2中正行波和負行波的幅值；φw,n(x,kn,x)為夾層聲場在x軸方向的聲波導模態函數。聲壓速度勢函數Φw,2(x,z;t)同樣滿足邊界條件式(8)和式(9)，代入可得

(30)

(31)

其中，

由振動模態函數的正交性，由式(3)和式(4)可以得到

(32)

(33)

式中:

Λmn、Γ1,nk和Γ2,nk為聲腔模態與結構振動模態之間的耦合系數；將式(30)～式(31)代入式(32)～式(33)，整理得到

通過上述計算求解，可以得到上下兩彈性梁的振動模態系數α1,m和α2,m，從而求得βm、εw,n、ζw,n和ξm的值。其中φw,n(x)按照聲腔邊界條件來選取。當邊界為剛性邊界和絕對軟邊界時，φw,n(x)分別可以選取為

2.4 聲功率

聲場的聲功率定義為

(34)

式中:d為梁的寬度;d=A/t;A為梁的截面積;t為梁的厚度;L為梁的長度。Δli為第i個單元長度，Nx為單元的總數，pi為第i個結構單元表面附近聲場聲壓。

利用式(34)計算聲場的聲功率，假設入射聲場的聲功率為Π1，輻射聲場的聲功率為Π2，定義結構的傳聲損失(Sound Transmission Loss, STL)為

(35)

3 仿真計算

表1 夾層結構相關參數

本文計算在頻率區間0～5 000 Hz內采取不同夾層處理方法時對結構傳聲損失曲線的影響。在不同結構參數下，結構模態和聲場模態的階數按照表2選取，保證覆蓋整個計算頻段和計算結果的收斂。

表2 結構模態和聲場模態的階數

圖2為上下面板都選擇A組參數時得到的結構傳聲損失曲線；圖3為上下面板都選擇B組參數時得到的結構傳聲損失曲線；圖4為上面板選擇A組參數，下面板都選擇B組參數時得到的結構傳聲損失曲線；圖5為上面板選擇B組參數，下面板都選擇A組參數時得到的結構傳聲損失曲線；圖6為上、下梁為不同參數組合時得到的結構傳聲損失曲線。表3、表4和表5分別為不同結構參數下傳聲曲線中若干低谷所對應的頻率值，包括結構共振頻率、‘梁-空氣-梁’共振頻率以及駐波共振頻率。

圖2 上下面板均為A組參數時的傳聲損失曲線

聲波垂直入射時，結構的共振頻率fs,n，系統的“梁-空氣-梁”共振頻率fα和聲場的聲模態頻率fk,l的預測計算公式分別為[5]

(36)

(37)

(38)

當k=0，則夾層的駐波共振頻率為

(39)

代入對應的數值計算，圖2～圖5曲線中對應的“梁-空氣-梁”共振頻率和駐波共振頻率值在表2中已列出。對比傳聲損失曲線和表中數值，可以解釋曲線中低谷出現的原因，即由結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及駐波共振共同作用產生。

表3 結構共振頻率

表4 ‘梁-空氣-梁’共振頻率

表5 駐波共振頻率

從圖2～圖5可知，夾層聲場采用聲模態展開形式和聲波導模態展開形式得到的傳聲損失曲線重合，即兩種聲場表示方法在反映結構的隔聲性能上是等價的；然而，兩種表示方法是基于不同的物理視角來考慮，聲模態展開方法認為夾層聲場中形成駐波聲場，聲場內聲壓由各階聲模態線性疊加而成；而聲波導模態展開形式將夾層看作聲波導，夾層聲場聲壓由聲波導模態線性疊加而成，利用聲場與結構表面的速度連續條件求解各階模態系數。

從圖2～圖5又可知，結構模態展開形式和夾層的橫向聲模態函數展開方法得到的結構傳聲損失曲線完全重合，即兩種聲場表示方法在反映結構的隔聲性能上是等價的。同樣地，兩種表示方法也基于不同的物理視角，其中結構模態展開形式認為由于夾層是密封的空氣腔，則空氣腔內的聲壓分布在平行于結構平面的平面上是結構模態函數的級數形式；而夾層的橫向聲模態函數展開方法則認為在平行于結構平面方向形成駐波聲場，且x軸方向波數與結構中彎曲波波長相等。

圖3 上下面板均為B組參數時的傳聲損失曲線

圖4 上下面板分別為A組和B組參數時的傳聲損失曲線

圖5 上下面板分別為B組和A組參數時的傳聲損失曲線

對于方法3，夾層的橫向聲模態函數分別選取了剛性邊界和絕對軟邊界兩種情況，即邊界速度為零和邊界聲壓為零。圖2～圖5的計算結果表明兩類邊界條件得到的結構傳聲損失曲線安全重合。從能量的角度考慮，在剛性邊界和絕對軟邊界兩種情況下，夾層聲場有相同的能量存儲，而沒有能量的耗散，因此得到的傳聲損失曲線相同。

通過上述分析，四種計算方法可以分為兩類。不同的結構參數，不同的計算頻段;兩類計算方法得到的結構傳聲損失曲線有明顯的差異。當上下梁的結構剛度都較大時，兩類計算方法得到的傳聲損失曲線在整個頻段都有明顯的差異；而當上下梁結構中至少有一根的剛度較小時，兩類計算方法得到的傳聲損失曲線在低頻段基本吻合，而在高頻段有明顯的差異。

從前面的分析知道，傳聲損失曲線中的隔聲低谷由結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及駐波共振共同作用的結果。從圖2～圖5可知，結構模態展開形式和夾層的橫向聲模態函數展開方法可以反映結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及z軸方向駐波共振對結構傳聲損失的影響，而沒有反映出x軸方向駐波共振和夾層的聲模態對結構隔聲性能的影響；相比之下，夾層的聲模態展開形式和聲波導模態展開形式既反映了結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及z軸方向駐波共振對結構傳聲損失的影響，也反映出x軸方向駐波共振和其余的夾層聲模態對結構隔聲性能的影響，因此在其對應的傳聲損失曲線中有更多的隔聲低谷。

圖6 上下梁為不同參數組合時的傳聲損失曲線

結構的厚度的變化可以看作結構剛度的變化，從表3～表5中可知：結構的剛度對系統的結構共振頻率、‘梁-空氣-梁’共振頻率以及駐波共振頻率的預測有顯著的影響。從表3～表5和圖3中可知：當結構剛度較小時，結構共振對系統隔聲性能的影響不明顯。除過結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及駐波共振以外，系統的隔聲性能還受夾層橫向駐波共振和其余的聲模態共振的影響，在圖2～圖5中，聲模態展開方法和聲波導模態展開方法得到的傳聲損失曲線中有更多的隔聲低谷，其由橫向駐波共振和其余的聲模態共振引起。

圖6反映了上下梁為不同參數時兩類結構傳聲損失計算方法得到的傳聲損失曲線。從圖中可以看出，上下梁厚度分別選取(0.001 m,0.005 m)和(0.005 m,0.001 m)時，結構模態展開方法和夾層的橫向聲模態函數展開方法得到的傳聲損失除過在‘梁-空氣-梁’共振頻率點和駐波共振頻率點處大小不同之外，在其他頻段完全重合；而夾層的聲模態展開方法和聲波導模態展開方法得到的傳聲損失曲線在低頻段基本吻合外，特別在高頻段，得到的傳聲曲線有明顯的差異，可以看出，在高頻段，當入射聲場一側結構的剛度大于輻射聲場一側的結構剛度時，結構的隔聲性能大于入射聲場一側結構的剛度小于輻射聲場一側的結構剛度的情況。

其波數完全有夾層聲場的幾何參數決定；而聲波導展開方法：

因此，聲模態展開方法可以看作聲波導模態展開方法的特殊情況。總之，從不同的物理視角研究夾層聲場的表示方法，對于研究復雜結構或復雜邊界條件下結構的聲振耦合特性有一定的指導意義。

4 結 論

本文以二維雙層彈性梁為模型研究了夾層結構中夾層邊界對結構傳聲損失的影響，提出了夾層的橫向聲模態函數展開方法和聲波導模態函數的夾層聲場表示方法，并與結構模態展開形式和聲腔純模態展開形式下結構的傳聲損失性能曲線作對比。計算表明夾層的橫向聲模態函數展開方法與結構模態展開方法在計算結構傳聲損失上是等價的；聲波導模態函數展開方法在計算結構傳聲損失上與聲腔模態展開方法是等價的；但是，四種夾層處理方法具有不同的物理含義，聲模態展開方法認為夾層聲場中形成駐波聲場,而聲波導模態展開形式將夾層看作聲波導,結構模態展開形式認為由于夾層是密封的空氣腔，則空氣腔內的聲壓分布在平行于結構平面的平面上是結構模態函數的級數形式；而夾層的橫向聲模態函數展開方法則認為在平行于結構平面方向形成駐波聲場，波數與結構中彎曲波波長相等。計算表明：結構的傳聲損失曲線中的隔聲低谷由結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及駐波共振共同作用產生的結果；結構模態展開方法和夾層的橫向聲模態函數展開方法可以反映結構共振、‘梁-空氣-梁’共振以及縱向駐波共振對結構傳聲損失的影響，相比之下，除此而外，夾層的聲模態展開形式和聲波導模態展開還反映了橫向駐波共振和其余的聲模態對結構隔聲性能的影響，因此在其對應的傳聲損失曲線中有更多的隔聲低谷；在高頻段，當入射聲場一側結構的剛度大于輻射聲場一側的結構剛度時，結構的隔聲性能大于入射聲場一側結構的剛度小于輻射聲場一側的結構剛度的情況。從不同的物理視角提出結構的隔聲性能分析方法，對研究結構的隔聲性能和結構的聲學設計有很好的指導意義。

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A treatment methods for a sound field of sandwich structures

NING Shaowu, SHI Zhiyu

(State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Taking a two-dimensional double-beam structure for example, the treatment methods for a sound filed of sandwich structures valleys, from different physical perspectives. The transverse acoustical modal expansion (TAME) method and acoustical waveguide modal expansion (AWME) method were presented to express the velocity potential of an air gap sound field of a sandwich structure and to compare the sound transmission losses of structures having different parameters combinations with those using the acoustical modal expansion (AME) method and structural modal expansion (SME) method. The calculation results showed that the TAME method is equivalent to the SME method and the AWME method is equivalent to the AME method in the aspects of computing sound transmission losses of structures; the sound insulation were studied are the combined action results of structural resonances, ‘beam-air-beam’ resonance and standing-wave resonances; the four computing methods can reflect the influences of structural resonances, ‘beam-air-beam’ resonance and standing-wave resonances in vertical and structural surface direction on the structures’ sound transmission losses; besides, the AME method and AWME method can also reflect the influences of standing-wave resonances in the direction parallel to structural surface and other acoustical modes on the structures’ sound transmission losses, so the corresponding sound transmission loss curve has more sound insulation valleys.

sandwich structure; structural modes; acoustic modes; acoustic wave-guide modes; resonance frequency

江蘇省普通高校研究生科研創新計劃資助項目(CXZZ13_0147); 機械結構力學及控制國家重點實驗室(南京航空航天大學)自主研究課題資助(0515G01)；國家自然基金(11172131;11232007)；中央高校基本科研業務費專項資金資助; 江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2015-06-10 修改稿收到日期：2015-09-22

寧少武 男，博士生，1985年生

史治宇 男，教授，博士生導師，1967年生

TB535