有界窄帶激勵下揚聲器靜圈振動系統的主共振

楊志安 ， 王 帥

(1.唐山學院和唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000； 2. 華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063000)

有界窄帶激勵下揚聲器靜圈振動系統的主共振

楊志安1， 王 帥2

(1.唐山學院和唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000； 2. 華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山 063000)

根據拉格朗日麥克斯韋方程建立揚聲器靜圈振動系統的動力學模型，應用多尺度法得到在有界窄帶隨機激勵下揚聲器靜圈振動系統的一次近似解及其穩態解，導出系統的ITO隨機微分方程。采用矩法得到系統均方響應方程，并進行數值計算;分析揚聲器靜圈系統參數對主共振響應曲線和均方值的影響。主共振穩態解穩定的充分必要條件與系統一階矩和二階矩存在的充分必要條件是一樣的；系統相軌隨著隨機擾動強度γ的增大，極限環變為擴散的極限環；增大音圈長度、磁場強度可以增大系統主共振的均方值；增大靜圈電阻、阻尼系數可以減小系統主共振的均方值。

揚聲器；靜圈；拉格朗日麥克斯韋方程；多尺度；主共振；均方響應

揚聲器主要工作原理是輸入工作電壓后通過電場與磁場相互作用，使振膜的各處產生振動[1]。揚聲器誕生至今已有百年歷史，隨著生產的發展和科學技術的提高，揚聲器也在不斷的深化和更新。揚聲器依然是高保真放音系統中最重要的環節，對揚聲器理論方面的研究也仍然存在很多不足之處。因此，為了提高揚聲器播放質量，減少失真，對揚聲器系統振動進行深入研究非常重要。

文獻[1]闡述了揚聲器的工作原理、種類及其內部受力情況。文獻[2]研究了力學非線性與磁場非線性共同引起揚聲器低頻諧波的失真現象。文獻[3]闡述磁場非線性對揚聲器的跳變現象的影響與抑制跳變的途徑。文獻[4]根據拉格朗日麥克斯韋方程建立揚聲器靜圈系統的非線性振動方程，應用多尺度法得到亞諧共振的幅頻響應曲線。文獻[5]根據拉格朗日麥克斯韋方程建立揚聲器動圈系統的非線性振動方程，并用多尺度法得到主共振的幅頻響應曲線。

在以上揚聲器系統的研究中，學者們集中研究確定性激勵對揚聲器系統的影響。而實際上外激勵存在相位、幅值的微小隨機變化。本文采用在窄帶隨機激勵作用下的揚聲器非線性隨機系統，利用Lagrange-Maxwell方程，對靜圈揚聲器建立動力學模型，運用多尺度法對系統非線性振動方程進行分析，對其在隨機激勵作用下的主共振進行求解計算，得到幅頻響應曲線及其系統穩態解穩定的充要條件，得到系統的均方響應及系統均方響應的存在性條件，分析比較其中各元素對均方值與共振區間的影響，對揚聲器的設計與優化具有重要的參考意義。

1 靜圈式揚聲器系統非線性動力學方程

靜圈式揚聲器模型如圖1所示，根據拉格朗日麥克斯韋方程可以建立其非線性動力學方程:

(1)

式(1)可變為：

(2)

式(2)為揚聲器靜圈振動系統的非線性隨機振動方程;E為窄帶隨機電壓激勵。

式中:L1,R,m,x分別為靜線圈的自感系數，電阻，質量，運動位移;k、k1分別為振動腔的線性和非線性剛度;h為力學系統的阻尼系數;B為氣隙磁場磁感應強度;l2為音圈的導線長度。

圖1 靜圈揚聲器模型

2 多尺度法分析

從式(2)可知，如果系統是線性小阻尼系統，很小的激勵幅值就能激起強烈的共振。研究靜圈系統的主共振時阻尼項、外激勵幅值激勵頻率加以限制，在它前面加小參數ε。故式(2)可變為：

(3)

式中:ε?1為小參數；μ，ω分別為系統的阻尼系數和固有頻率；β為系統的非線性強度，E為窄帶隨機電壓激勵，并設：

E=Hcos(Ωt+γW(t))

(4)

式中:H為隨機激勵強度;Ω為隨機激勵的中心頻率;W(t)為標準的Wiener過程，本文主要研究0≤γ?1的情形，并應用多尺度法進行研究，多尺度法已廣泛應用于確定諧和激勵振動問題的研究中，近幾年在隨機振動問題中也有一定的應用[6-9]。設式(3)的形式解為：

x(t,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)+…

(5)

式中:T0=t，T1=εt分別為快、慢時間尺度。本文只對首次近似解進行討論，計算可得：

x0(T0,T1)=A(T1)exp(iω0T0)+cc

(6)

式中:cc為前面各項的共軛項。

將式(5)代入式(3)，對比ε系數，計算可得：

(7)

3 窄帶激勵主共振分析

所謂主共振是指外激勵頻率Ω接近派生系統固有頻率ω0時的共振。

(8)

將A表示為極坐標的形式：

A(T1)=a(T1)eiφ(T1)

(9)

將式(9)代入式(8)并分離實、虛部可得：

(10)

式中:η=σT1-φ(T1)+γW(T1)。由式(10)解出a和η后，可得式(3)的一次近似解為：

x=2a(εt)cos[Ωt-η(εt)]+O(ε)

(11)

先考慮γ=0的情形。此時式(10)化為確定性系統：

(12)

為求穩態振動的解a=a0，η=η0，故有a′=η′=0。于是式(12)變為：

(13)

將上述兩式平方相加得幅頻響應方程：

(14)

(15)

當γ≠0的情形。可設式(10)的解為：

a=a0+a1，η=η0+η1

(16)

式中:a0，η0由式(13)確定，a1，η1為攝動項。將式(16)代入式(10)，并忽略關于a1，η1的高階項可得關于點(a0，η0)的線性化方程為：

(17)

式中:W′為零均值的高斯白噪聲過程，故該方程對應白噪聲激勵下的線性響應問題。根據Hurwitz[10]定理，該線性化方程的穩定的充分必要條件為：

(18)

根據ITO法則，式(17)可寫為：

(19)

根據矩法求出式(19)的穩態解。式(19)兩邊取數學期望得一階穩態矩為：

Ea1=Eη1=0

(20)

(21)

式中:

式(22)、式(23)與式(25)中M、N同上。

因為：

進而可得關于二階穩態矩的方程：

(22)

由式(22)可得：

(23)

由式(22)可知二階矩存在的充分必要條件為：

(24)

上述條件式(24)與式(12)穩態解的穩定性條件式(15)是一致的。式(24)同樣表明在一定參數范圍內式(14)可能對應三個穩態解，進而可知系式(23)對應三個均方響應值。

根據式(16)、式(20)和式(23)可得：

(25)

式(25)表明均方響應隨著γ的增大將增大，隨系統阻尼μ的增大而減小。

4 數值模擬

數值模擬采用的參數取值如下：

m=0.1 kg,ω0=309 Hz,B=4T,h=0.01 kg·s/m3,R=6 Ω,l2=0.004 m,k1=0.78 N/m，采用四階龍格-庫塔法計算出系統式(2)的響應。

當γ=0時，系統受簡諧激勵，對應不同的調諧值σ，得到揚聲器靜圈系統主共振幅頻響應曲線。

圖3為式(2)的時間歷程曲線。由圖3可知，有阻尼簡諧激勵系統振動趨于穩定。

圖2 幅頻響應曲線

圖3 時間歷程圖

圖4為γ=0.05時，式(2)的時間歷程圖，由圖4可知由于隨機擾動的存在，系統最大振動位移呈現隨機變化。

圖5為圖4對對應的FFT譜圖，由圖5可知系統振動主要頻率≈5 Hz。

圖4 時間歷程圖

圖5 FFT 譜圖

圖6為γ=0.005，0.05，0.5時的相圖，由圖5可知系統相圖隨著隨機擾動強度γ的增大，極限環寬度也逐漸增大。

圖7～圖10為γ=0.01時式(24)的均方響應曲線。

(a) γ=0.005的相圖 (b) γ=0.05的相圖 (c) γ=0.5的相圖

圖7 不同磁場強度時的均方響應曲線

比較圖2和圖7～圖10可知，窄帶隨機激勵下主共振系統均方響應曲線與γ=0時主共振系統幅頻響應曲線的拓撲結構相同。

當改變靜圈的磁場強度時，由圖7可知,主共振均方值和共振區域隨磁感應強度的增大而增大。這是因為揚聲器靜圈系統的電磁阻力與激勵處于相同量級時，電磁阻力與磁場強度的平方成正比，激勵與磁場強度成正比，增大磁場強度，可以從電磁阻力與激勵兩方面增大系統主共振的均方值與共振區。

當改變靜圈的音圈長度時，由圖8可知,主共振的均方值和共振區域隨靜圈音圈長度的增大而增大。這是因為揚聲器靜圈系統的電磁阻力與激勵處于相同量級時，電磁阻力與自感系數成正比，激勵與自感系數成正比，減小音圈長度，可以從電磁阻力與激勵兩方面減小系統主共振的均方值與共振區。

圖8 不同音圈長度時的均方響應曲線

當改變靜圈電阻時，由圖9可知,共振的均方值和共振區域隨電阻的增大而減小。這是因為揚聲器靜圈系統的電磁阻力與激勵處于相同量級時，電磁阻力與電阻成反比，激勵與電阻成反比，增大電阻，可以從電磁阻力與激勵兩方面減小系統主共振的均方值與共振區。

圖9 不同電阻時的均方響應曲線

圖10 不同阻尼時的均方響應曲線

當改變靜圈阻尼系數時，由圖10可知,主共振區域的均方值隨阻尼系數的增大而減小。這是因為揚聲器靜圈系統的阻尼力與阻尼系數成正比，增大阻尼系數，可減小系統主共振的均方值與共振區。

5 結 論

應用多尺度法研究靜圈式揚聲器非線性主共振系統在窄帶隨機激勵下的響應，得到主共振的幅頻響應方程和系統均方響應的近似表達式，考慮了隨機項對響應的影響。理論分析與數值計算表明改變揚聲器靜圈系統的參數，其響應的均方值也隨之改變。系統相軌隨著隨機擾動強度γ的增大，極限環變為擴散的極限環，且寬度也逐漸增大；增大音圈長度、磁場強度可以增大系統主共振的均方值與共振區域；增大靜圈電阻、阻尼系數可以減小系統主共振的均方值與共振區域。通過對比分析發現，當γ很小時，揚聲器靜圈系統隨機過程E(t)的性態和簡諧激勵很接近[11]。通過計算得到靜圈式揚聲器主共振系統穩態解穩定的充分必要條件與系統一階矩和二階矩存在的充分必要條件是相同的，其內在聯系需要進一步證明。

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Primary resonance of static coil vibration system of loudspeakers subjected to narrow-band random excitation

YANG Zhian1, WANG Shuai2

(1. Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering, Tangshan City and Tangshan College, Tangshan 063000, China；2. College of Mechanical Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063000, China)

Dynamic model of static coil vibration system of loudspeakers was established based on Lagrange-Maxwell equation. By means of the multi-scale method, the first approximation solution and its steady state solution to the static coil vibration system of loudspeakers subjected to narrow-band random excitation were obtained. Its ITO stochastic differential equation was deduced. Using the moment method, the mean-square response equation of the system was derived and the numerical calculation was done. The influences of parameters of the static coil vibration system of loudspeakers on the primary resonance response curves and their mean-square values were analyzed. It was shown that the sufficient and necessary conditions for the stability of the primary resonance are the same as those for the first order moment and the second order moment of the response of the system; with increase in the random disturbance intensity, the limit cycle of the system becomes the limit cycle of diffusion; with increase in length of the coil and the magnetic field strength, the mean square values of the primary resonance of the system increase; the mean-square values of the primary resonance of the system decrease with increase in resistance and damping coefficient of the static coil vibration system.

loudspeaker; static coil; Lagrange-Maxwell equation; multi-scale method; primary resonance; mean square response

河北省自然科學基金項目(A200900097)

2015-09-01 修改稿收到日期：2015-11-06

楊志安 男，教授，博士，1963年生

王帥 男，碩士，1989年生

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