考慮導軌位移波動誤差影響的滾柱直線導軌振動分析

劉志峰， 李丹丹， 蔡力鋼， 趙永勝， 馬同民

(北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院,北京 100124)

考慮導軌位移波動誤差影響的滾柱直線導軌振動分析

劉志峰， 李丹丹， 蔡力鋼， 趙永勝， 馬同民

(北京工業大學 機械工程與應用電子技術學院,北京 100124)

由于剛度和阻尼的時變性，垂直于導軌導向方向的位移波動誤差，被認為是直線導軌運動過程的一種位移激勵，滾柱直線導軌在此激勵作用下的振動是研究的主題。首先對直線導軌的動態特性進行分析;基于HERTZ接觸理論計算滾柱直線導軌的垂向剛度，并且試驗測量直線導軌單元的遲滯回線，辨識不同頻率下的阻尼特性;然后建立廣義的具有時變剛度和變阻尼的振動模型。引入非線性振動理論的增量諧波平衡法(IHB)分析振動過程，并運用數值仿真驗證此方法的可行性。

滾柱直線導軌；位移波動誤差；非線性振動；阻尼；增量諧波平衡法

作為數控機床的運動導向部件，滾柱直線導軌廣泛應用于重載機床，其運行精度和動態特性直接影響整機的切削穩定性，而導軌在運動方向的位移波動誤差將使滑塊偏離理想位置，引起工作臺的振動，本文主要研究考慮導軌位移波動誤差引起的振動。

由于滾柱直線導軌非線性接觸，很難準確表述其動態行為，大部分學者采用實驗或仿真的方法獲得到直線導軌的固有頻率、動剛度等動態參數。OTSUKA等[1]通過錘擊實驗獲得各個測點的響應信號，在信號的峰值處提取固有頻率。周傳宏等[2]運用彈簧阻尼單元模擬直線導軌的結合部，建立五自由度的直線導軌振動模型，求解直線導軌的固有頻率。毛寬民等[3]通過結合部8個節點力與位移關系表征結合部切向和法向位移之間的關系。孫偉等[4]等運用能量守恒確定導軌系統動能、勢能的表達式，運用Lagrange方程獲得導軌系統的運動學方程，并獲得各個自由度的固有頻率和振型的解析表達式。

上述成果在分析直線導軌振動特性時有一定的使用價值，但是沒有表征考慮導軌位移波動誤差時隨時間變化的非線性振動，本研究將非線性理論引入振動模型，考慮滾柱直線導軌所受彈性力和阻尼力非線性的特點，建立滾柱直線導軌振動模型。針對分段變剛度變阻尼的非線性問題，運用增量諧波平衡法，把微分方程周期解展開為傅氏級數，非線性微分方程轉化為非線性代數方程組，求解滾柱直線導軌的振動問題。

1 滾柱直線導軌動力學特性

導軌位移波動誤差引起的振動分析，屬于動力學問題，應創建滾柱直線導軌系統的動力學模型，表征導軌系統的動力學特性參數。

1.1 垂向剛度

滾柱直線導軌通過滾柱在軌道及滑塊溝槽內的滾動實現直線運動，而滾柱與溝槽之間的接觸為線接觸，這種接觸分析可假設符合Hertz接觸理論。根據線接觸理論[5]，單個滾柱所受局部接觸力Q與彈性變形δ之間的關系，可表達為：

(1)

式中:le為滾柱的接觸長度；μ1、μ2為滾柱和溝槽(滑塊、導軌)材料的泊松比；E1、E2為滾柱和溝槽(滑塊、導軌)材料的彈性模量。對于特定的滾柱直線導軌，上述量都是確定的常數，式(1)簡化為：

δ=2ηQ0.9

(2)

以四方向等載荷滾柱直線導軌為研究對象計算滾柱直線導軌的垂向剛度，假設在垂直載荷Fv作用下，滑塊向下位移量是v，如圖1，滾柱的列數標記為i(i=1～4)，Qi為第i列滾柱的承載力。

圖1 滾柱直線導軌在垂直載荷作用下的簡化模型

根據滑塊的靜力平衡條件和變形協調關系，列出方程組：

(3)

式中:Z為每列滾道的滾柱數量，r為滾柱的半徑；δ1、δ4分別為第1列和第4列滾柱的變形量，可由Hertz接觸理論求解；δ0為滾柱的預緊量；θ為接觸角。對于某特定的滾柱直線導軌，Z、r、δ0、θ是確定的，式(3)未知數大于方程個數，不能求解。由于等載荷滾柱直線導軌結構的對稱性，補充條件：

Q1=Q2，Q3=Q4

(4)

求解得到滾柱直線導軌承受的垂直載荷Fv與垂向剛度K(v)分別為：

(5)

隨著垂直載荷的增大，下兩列滾柱承載力逐漸增大，上兩列滾柱承載力逐漸減小，直至脫離接觸，預加載荷失效。由式(5)可得，滑塊的臨界位移量vc為：

vc=δ0sinθ

(6)

滾柱直線導軌承受的垂直載荷Fv與變形量v的關系式如下：

當v

(7)

當v≥vc時，

(8)

1.2 阻尼特性

直線導軌系統的阻尼可以有效降低導軌響應譜中共振峰的量值，是導軌系統的重要特性指標[6]。而結合部單元力與相對位移的遲滯回線正是在動載荷作用下,由于阻尼作用,結合部消耗或釋放存儲能量,導致結合部表現出明顯的一種卸載遲滯特性。

根據現有工作條件，本文運用INSTRON 8801拉伸機為直線導軌提供位移簡諧激勵，獲得滾柱直線導軌的卸載遲滯回線，進而表征滾柱直線導軌的阻尼特性。

INSTRON 8801拉伸機自帶作動端控制界面，可自動繪制遲滯回線。圖2(b)為位移簡諧激勵試驗原理圖，拉伸機通過作動端和固定端的夾持臂對夾具進行加持，上下夾具分別與滑塊、導軌通過螺栓連接，且拉伸機內部配備了負荷、變形傳感器和全套的動靜實驗分析軟件，分別設定激振頻率和振幅，試驗結果可在控制終端界面顯示。

(a) 試驗現場圖 (b) 試驗原理圖

圖2 滾柱直線導軌位移簡諧激勵試驗

Fig.2 Harmonic displacement incentive experiment of the roller linear guide

考慮阻尼的時變性，在直線導軌運動過程中，其內部激勵和激振頻率是相同的，將阻尼展開為傅里葉級數：

(9)

對于一般非線性振動系統，按傅氏級數展開的一次諧波力遠大于其他高次諧波力及常數，可以將后者看作是小量，僅取傅里葉級數的前兩項，即：

c(t)=cm+c1cos(ωt+φc1)+c2cos(2ωt+φc2)

(10)

式中，cm為振動系統阻尼的平均值；c1為阻尼的主諧波分量；c2為阻尼的次諧波分量；φci(i=1,2)為諧波阻尼的初始相位。

2 振動模型

對于存在分段非線性剛度k(v)和時變阻尼c(t)的滾柱直線導軌，假設導軌和滑塊均為剛性體，其振動系統簡化為單自由度模型，如圖3所示。

圖3 變剛度變阻尼的單自由度系統動力學模型

滾柱在有位移波動誤差的滾道內運動，其彈性力和阻尼力具有非線性特點，則振動方程表示為以下形式：

(11)

圖4 滾柱直線導軌中導軌位移波動誤差引起的響應

對于常剛度阻尼系統，一般用復指數形式求解，設方程的解為v=Bej(ωt-φ),導軌位移波動誤差引起的運動也可寫為vs=aejωt，代入式(11)，根據復數運算法則，可求得振幅和相位差：

(12)

由于滾柱直線導軌是變剛度變阻尼的非線性系統，上述計算方法并不能描述滑塊位移響應情況，針對非線性振動問題，本文運用增量諧波平衡法[7-8]，獲取滾柱直線的響應曲線。

3 增量諧波平衡法

依據增量諧波平衡法(Incremental Harmonic Balance method,IHB)滾柱直線導軌在定義空間上剛度是連續的，具有分段非線性剛度的單自由度系統的振動，方程統一為：

(13)

式中:m,c,k分別為系統的質量、阻尼系數和線性剛度，k=k(0)，G(v)為非線性恢復力，具有分段非線性的性質，G(v)=[k(v)-k(0)]v。激振力q(t)為周期函數[9]，其Fourier級數為：

(14)

引入無量綱τ=ωt變量置換，式(13)對t求導可轉為對τ求導：

(15)

3.1 增量過程

應用IHB求解非線性微分方程，首先是增量過程。設系統的當前狀態為Ω0、q0、v0，則其臨近狀態為：

(16)

對于小增量Δv，G(v)可以用一階泰勒級數近似展開，把式(16)代入式(15)，并略去高階小量，得：

(17)

式中:

R為修正項，當Ω0,q0,v0為式(15)的準確解時，R=0，F由于增量ΔΩ引起的不平衡力。

3.2 諧波平衡過程

IHB第二個過程是諧波平衡過程，令：

式中：

(20)

應用Galerkin平均法

(21)

積分上式并化簡為代數方程組，以矩陣形式表示為：

KΔA=R+ΔΩF+ΔQ

(22)

研究單自由度系統的動態激振時，其激振水平通常假設為恒定狀態，則ΔQ=0，則式(22)整理為：

KΔA=R+ΔΩF

(23)

式中:

(24)

式中：

(25)

4 算 例

以RGH45CA型滾柱直線導軌為研究對象，其中滾柱和溝槽(滑塊、導軌)材料為滾動軸承鋼，其他參數如下：

表1 RGH45CA型導軌參數

試驗用滾柱直線導軌預壓等級為中預壓，利用1.1節垂向剛度計算模型，編制MATLAB程序，繪制滾柱直線導軌的剛度曲線(見圖5)。

表2 RGH45CA型導軌預壓等級

圖5 滾柱直線導軌的剛度曲線

圖5的剛度曲線定量的反映了滾柱直線導軌在預緊量vc=10 μm下，位移—剛度的變化，揭示了滾柱直線導軌是分段非線性系統的本質。當滾柱直線導軌滑塊的變形v

設置位移激振振幅為10 μm，不同頻率下的恢復力位移遲滯曲線見圖6。

圖6 不同頻率下的恢復力—位移遲滯曲線

遲滯回線所包圍的面積即為結合部在一個受力循環中所耗散的能量,從圖6可知，在頻率10～70 Hz范圍內，隨著頻率的增加，遲滯面積加大，說明結合部損耗嚴重，等效阻尼增加。并且遲滯帶的斜率有所增加，說明等效剛度隨著頻率的增加而增加。試驗表明滾柱直線導軌的動態特性與激振頻率相關性較強。在使用時應分析其頻率變化引起的動態參數的變化，避免引起強烈的振動。

運用增量諧波平衡法計算導軌位移波動誤差不同幅值a=3 μm，6 μm，9 μm的頻率響應(見圖7)。其中導軌的位移波動誤差由導軌的制造精度，或者說導軌的直線度誤差來決定。增量諧波平衡法的一個優勢就是可獲得不同系統控制參數的響應特性，振動響應的振幅表征了每周期諧波的總能量運動。

圖7 滾柱直線導軌的頻率響應曲線

圖7即為不同位移激勵幅值a下，滾柱直線導軌頻率響應曲線。上述曲線中，運用增量諧波中初始值和數值迭代直至收斂，隨著a增大，直線導軌位移響應峰值增大，與實際相符?？梢钥闯觯陬l率比Ω=1附近，響應幅值達到最大，反映了滾柱直線導軌副非線性系統的強弱程度。

另外運用本文提出的增量諧波法與時域分析的四階Runge-Kutta法進行對比。圖8給出了Ω=0.8時兩種方法所求的相圖結果，其中，點值是四階Runge-Kutta法求得的數值，連續曲線是由IHB求得的。可看出IHB與四階龍格庫塔法相圖基本沒有差別，證明該方法的可靠性。

圖8 IHB法與四階Runge-Kutta法的相圖比較

5 結 論

(1)一方面考慮滾柱體與溝槽的接觸變形，對于滾柱直線導軌的垂向剛度進行定量計算。另一方面實驗辨識阻尼特性，研究不同頻率下阻尼變化情況。直線導軌動態特性參數的研究，為分析滾柱直線導軌的動力學問題提供基礎。

(2)本文主要在導軌存在正弦位移波動誤差情況下，獲得滾柱直線導軌的頻響函數，并與四階Runge-Kutta法對比相圖分析，可知運用增量諧波平衡法來分析導軌系統的振動響應是可行的。將非線性振動相關理論引入到導軌系統建模與分析中，這也是導軌系統動力學研究的發展趨勢。

(3)本文中導軌的位移波動誤差vs，是在滾柱導軌承受垂直無偏載作用的工況下研究的。不管vs是正弦周期性的，還是非正弦曲線，只要能用傅里葉級數表示出來，均可以運用本文提出的增量諧波平衡法求出振動響應曲線，說明本研究的適用性。

(4)滾柱直線導軌在運動過程中受工作臺精度、熱變形誤差、結合部表面粗糙度、外界振動等的影響。在進行振動試驗時需要考慮各種因素的影響，才能較準確的表征實際振動情況，之后進行誤差分離，研究導軌的位移波動誤差對滾柱直線導軌的實際振動效果。本文的理論仿真分析無疑為之后的探究提供了理論支撐和工作方向。

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Vibration analysis of a roller linear guide considering rail displacement fluctuation error

LIU Zhifeng, LI Dandan, CAI Ligang, ZHAO Yongsheng, MA Tongmin

(College of Mechanical Engineering & Applied Electronic Techniques, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

The rail displacement fluctuation error with time-varying stiffness and damping in the vertical direction was considered as a displacement excitation of a linear guide in its process of movement, and vibration analysis of the roller linear guide under the rail displacement excitation was studied. Firstly, the dynamic characteristics of the roller linear guide were analyzed, the vertical stiffness was calculated according to Hertz contact theory, and the damping characteristics under different frequencies was identified based on the measured hysteresis loops of a linear guide unit. Then a dynamic model with generalized time-varying stiffness and damping of the roller linear guide was formulated. The incremental harmonic balance method (IHB) of the nonlinear vibration theory was introduced to analyze the vibration progress of the model. The numerical simulation was used to verify the feasibility of the approach.

roller linear guide; displacement fluctuation error; nonlinear vibration; damping; incremental harmonic balance method

國家自然科學基金(51575009)國家科技重大專項資助項目(2013ZX04013-011)；京華人才支持項目

2015-07-28 修改稿收到日期：2015-11-05

劉志峰 男，博士，教授，1973年生

李丹丹 女，碩士，1989年生

TH122