一種任意曲線曲率中心、半徑及Frenet標架的圖解算法

鄭鵬飛, 劉 青, 趙菊娣, 林大鈞, 安 琦

(1. 華東理工大學 機械與動力工程學院, 上海 200237; 2. 義烏工商職業技術學院, 浙江 義烏 322000)

一種任意曲線曲率中心、半徑及Frenet標架的圖解算法

鄭鵬飛1, 2, 劉 青2, 趙菊娣1, 林大鈞1, 安 琦1

(1. 華東理工大學 機械與動力工程學院, 上海 200237;
2. 義烏工商職業技術學院, 浙江 義烏 322000)

通過分析現有曲線曲率中心、曲率半徑的求解方法, 與微分幾何中Frenet標架的定義及求解方法, 提出了一種基于離散點分段構建平面曲線逼近空間任意曲線的方法， 并以此建立以兩中垂面與密切平面求交的方式求解曲線曲率中心和Frenet標架的圖解及解析模型. 所給出的求解任意曲線曲率中心、曲率半徑及Frenet標架的圖解算法簡便可行, 試驗證明，該算法穩定可靠, 適應性廣.

曲率中心; 曲率半徑; Frenet標架; 圖解

在機械設計中, 經常涉及到復雜曲線的曲率半徑和曲率中心的計算, 很多研究者提出了相應的計算方法[1-3], 如切線向量解法[4]、解析法[5-6]、施密特正交法[7]、圖解法[8]、公式改進法[9]、復矢量法[10]、坐標變換法[11]等. 另外, 曲線曲率與Frenet標架在工程中有廣泛的應用, 如車輛運行路線仿真、橋梁設計[12-16]等. 因此, 研究曲線曲率半徑、曲率中心、Frenet標架問題在微分幾何和工程應用領域均有重大現實意義. 雖然這些問題曾被廣泛研究并應用, 但大多數研究局限于平面曲線, 或是將微分幾何中已有的計算公式加以應用解決. 對于離散曲線或未知曲線方程情況下的曲率半徑、曲率中心及Frenet標架求解問題的研究甚少. 本文針對這一問題, 提出了一種任意離散空間曲線曲率及Frenet標架求解算法.

1 曲線曲率及Frenet標架

設曲線C的方程為γ(s), 其中s為曲線的弧長參數, 則

(1)

在正則曲線上曲率κ(s)不為零的點有一個完全確定的右手單位正交標架{r(s);α(s),β(s),γ(s)}, 它與表示曲線的笛卡爾直角坐標系的選取無關, 也不受曲線作保持定向的允許參數變換的影響, 稱為曲線在該點的Frenet標架[17].

Frenet標架的3根軸分別稱為曲線的切線、主法線和副法線; 3個坐標面分別稱為曲線的法平面(以α為法向量的平面)、從切平面(以β為法向量的平面)和密切平面(以γ為法向量的平面), 它們的方程分別為

法平面: (X-r(s))·α(s)=0

(2)

從切平面: (X-r(s))·β(s)=0

(3)

密切平面: (X-r(s))·γ(s)=0

(4)

將曲線C的方程換成自然參數, 則曲線C方程為r=r(t), 對應的曲率及Frenet標架可表示為

(5)

(6)

(7)

(8)

2 曲線曲率及Frenet標架圖解算法

Frenet標架由3個相互垂直的平面(法平面、從切平面、密切平面)組成, 3個平面的交線分別為主法線、副法線和切線, 其中主法線位于密切平面內. 根據密切平面的定義, 可以在曲線某點P1附近取兩個點P2和P3, 分別連接直線P1P3、P1P2, 可得過直線P1P3中點A, 且以直線P1P3為法線的中垂面n1, 同理求得中垂面n2. 最后求得3個平面n1、n2、P1P2P3的交點P0, 即為曲線在P1點的曲率中心點. 如圖1所示, 點P1和P0間的距離值即為曲率半徑. 曲率半徑的精度取決于P1附近點與P1的逼近程度, 即點P2和P3越逼近點P1, 曲率中心點的精度越高. 這一圖解過程對于平面曲線, 其結果是顯然的. 對于空間曲線, 這一圖解模型同樣適用, 因為空間三維曲線可看成離散的多段平面曲線依次連接而成. 換言之, 可將空間曲線離散化, 用一系列點將曲線離散表示, 這樣具有避開求解復雜偏導數方程組的優點, 即適用于曲線方程未知的情況.

圖1 曲率中心圖解模型Fig.1 Graphical model of the curvature center

據此建立其數學模型, 已知點P1(x1, y1, z2), P2(x2, y2, z2)和P3(x3, y3, z3), 其平面的三點式方程為

(9)

平面n1的方程為

(10)

其中:A1=x3-x1=V2,B1=y3-y1=V4,C1=z3-z1=V6.

同理, 平面n2的方程為

(11)

其中:A2=x2-x1=V1,B2=y2-y1=V3,C2=z2-z1=V5.

為了簡便起見, 令

聯立式(9)～(11), 可得曲率中心點P0的坐標為

(12)

因此, 曲線C在點P1處的曲率半徑R1=d(P0,P1), 曲率k1=1/d(P0,P1).

顯然, 求得的曲率半徑P0P1即為曲線在該點處的主法線. 副法線的向量即為平面P1P2P3的法向量γ, 而該向量在上述過程中已求得. 因此, 副法線即為過P0點, 并以γ為向量的直線. 同樣, 切線即為過P0點, 并以主法線、副法線所在平面的法向量為向量的直線, 該直線較易得到, 在此不再贅述.

根據上述數學模型, 將其應用于求解離散空間曲線的曲率半徑、曲率中心以及Frenet標架中， 可分為以下兩類加以簡述.

(1) 無顯式曲線. 曲線用離散點表示, 可將該離散點組按就近原則將其排序, 使其滿足連續化條件. 按其順序, 依次取3點坐標, 即可根據上述模型計算出該離散曲線的Frenet標架.

(2) 顯式曲線. 將曲線均勻分段, 并獲取分段坐標值, 然后依次取點計算Frenet標架.

3 算例驗證

為了進一步驗證本圖解算法的有效性和適用性, 本文通過3個實例加以驗證. 利用AutoCAD軟件中的vlax-curve-getFirstDeriv、vlax-curve-getSecondDeriv函數獲得曲線的一次、二次偏導數, 再根據式(5)～(8)求解出曲線的曲率與Frenet標架, 以此作為驗證的參照.

3.1 平面圓弧曲線

如圖2(a)所示為一平面圓弧曲線, 測量該圓弧的半徑可知為16.705 mm, 現將曲線均分為10段, 在每個分段點計算其Frenet標架與曲率半徑. 圖2(b)為利用本文算法與微分幾何法求得的Frenet標架對比圖, 本文算法計算出的曲率中心即為該圓弧圓心, 曲率半徑也是16.705 mm, 精確率為100%. 圖2(c)是圖2(b)的局部放大圖. 從圖2(c)中可以看出, 本文算法標架與微分幾何法標架完全吻合, 證明了本文算法對于求解平面曲線的Frenet標架、曲率中心、曲率半徑是有效的.

(a) 任意圓弧線 (b) 本文算法與微分幾何法所得標架圖 (c) 標架放大圖圖2 平面曲線的Frenet標架求解過程Fig.2 Computing the Frenet frame of planar curve

3.2 圓錐面上測地線

圖3(a)為點云圓錐面模型上的一條測地線, 圖3(b)為用本文算法與微分幾何法計算結果的疊加對比圖. 由圖3(b)可知, 本文算法同樣適用于空間曲線的Frenet標架求解問題. 將圖3(b)局部放大得到圖3(c), 可見本文算法所得結果的精度很高.

(a)圓錐面上一測地線 (b)本文算法與微分幾何法所得標架圖 (c) 標架放大圖圖3 圓錐面上測地線的Frenet標架求解過程Fig.3 Computing the Frenet frame of geodesic curve on conical surface

3.3 空間變徑螺旋線

圖4(a)為一變直徑的空間螺旋線, 圖4(b)為兩種計算方法的運行對比結果. 從局部放大圖4(c)可見, 本文算法與微分幾何法計算結果有細小偏差. 分析該誤差產生的原因可知, 由于在曲線上的取點密度(分段數)不同, 會造成Frenet標架計算誤差, 因為曲線上三點取值間隔越大, 就會違反本文算法中三點共面, 用分段平面曲線逼近空間三維曲線的理論基礎, 造成圖4(c)中的偏移誤差. 換言之, 取點間距越大, 誤差越大, 間距越小, 精度越高. 因此, 利用本文算法計算Frenet標架、曲線曲率、曲率半徑、曲率中心點坐標時, 需將取點間距設置成較小數值.

(a) 空間變徑螺旋線 (b) 本文算法與微分幾何法所得標架圖 (c) 標架放大圖圖4 空間變徑螺旋線的Frenet標架求解過程Fig.4 The solution process of Frenet frame on space variable helix

最后, 調整取點間距后, 針對平面曲線、空間測地線和空間變徑螺旋線進行了多次重復試驗, 試驗結果表明本文算法對空間任意曲線的精度可達到99.9%, 可滿足各種工程應用的需求, 具有實際應用價值.

3.4 曲線在Frenet標架上的投影

Frenet標架是用于描述歐幾里得空間中的粒子在連續可微曲線上的運動, 它反映了曲線的切向、法向、副法方向之間的關系. 因此, 在獲取曲面各點處的Frenet標架之后, 可將該曲線向Frenet標架的基本三平面作正投影, 得到3條平面曲線, 以此來描述原曲線某些特性. 據此, 本文中添加了該功能, 求得曲線上某點處基本三面形的平面方程, 然后將原曲線向這3個平面投影. 本文采用離散化的投影機理, 即將該曲線離散成坐標點, 將所有坐標點投影到平面上, 得到一系列相應的投影點, 最后將這一系列投影點光滑連接成曲線, 該曲線即為原曲線的正投影線. 離散化處理具有降維的優點, 能使問題簡單化, 且能處理一些原本比較復雜的問題, 如本文中所提的曲線形式或方程未知及隱式曲線的曲率問題等. 圖5為圓錐面測地線上9點分別向其基本三面形投影所得結果.

圖5 圓錐面上測地線基本三面形投影圖Fig.5 The basic three planes projection of the geodesic on conical surface

4 結 語

本文提出了一種完整的適用于平面、空間任意曲線曲率問題的求解模型, 并利用離散方法進行降維來處理曲線信息不確定的問題， 提出了圖解方式解決圖形問題, 避免求解復雜微分方程組的困境. 應用所建的算法, 對壓力容器壁厚計算中涉及的曲面主曲率半徑、軋輥機輥子疲勞強度計算涉及的曲面主曲率半徑的求解都取得了直觀、快速、準確的結果. 將曲線投影到Frenet標架上, 為直觀地研究曲線特性提供了方法.

今后的研究工作將在以下幾方面開展: 帶噪聲的離散曲線或隱性復雜曲線的Frenet標架求解; Frenet標架的機械工程領域的具體應用; 利用曲線曲率或Frenet進行給定條件的曲線、曲面設計等.

[1] REINOSO J F, MOMCAYO M, PASADAS M, et al. The Frenet frame beyond classical differential geometry: Application to cartographic generalization of roads [J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2009, 79(12): 3556-3566.

[2] KULAHCI M, BEKTAS M, ERGUT M. On harmonic curvatures of a Frenet curve in Lorentzian space [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009, 41(4): 1668-1675.

[3] ENCHEVA R P, GEORGIEV G H. Similar frenet curves [J]. Results in Mathematics, 2009(55): 359-372.

[4] 楊老記. 空間曲線的切線向量求法[J]. 邢臺職業技術學院學報, 2003, 20(5): 26-28.

[5] 張學東. 空間曲線的曲率計算方法[J]. 塔里木農墾大學學報, 2002, 14(2): 10.

[6] 閆焱. 空間曲線的主法向量方向的探討[J]. 陜西師范大學繼續教育學報, 2005, 22(3): 104-105.

[7] 包圖雅, 張陸. 曲線上的Frenet標架[J]. 湖北民族學院學報(自然科學版), 2015, 33(3): 245-247.

[8] 徐進. 任意復雜曲面曲線零件曲率半徑的圖解法[J]. 現代機械, 2003(4): 12-13.

[9] 馮書香, 潘虹. 微分幾何中Frenet公式的新想法[J]. 牡丹江師范學院學報(自然科學版), 2012(1): 5-6.

[10] 王允地, 王良文. 用復矢量法建立機械設計中曲線曲率半徑和曲率中心的統一計算式[J]. 陜西科技大學學報, 2009, 27(2): 108-115.

[11] 李崇虎. 用坐標變換法求曲線的曲率半徑[J]. 西南師范大學學報(自然科學版), 2006, 31(1): 180-183.

[12] 周啟, 張昭. 帶式輸送機曲線段曲率半徑的計算研究[J]. 礦山機械, 2013, 41(5): 70-72.

[13] 潘登, 鄭應平. 路徑約束條件下車輛行為的時空演化模型[J]. 物理學報, 2015, 64(7): 078902, 1-6.

[14] 付朝暉, 郁瑋, 崔思明. 一種基于 Frenet 標架的聲線計算新方法[J]. 聲學與電子工程, 2013(3): 26-29.

[15] 劉立民. 曲率半徑對曲線矮塔斜拉橋的影響分析[J]. 公路交通科技(應用技術版), 2015(5): 153-155.

[16] 黃新藝, 陳彥江, 李巖，等. 曲率半徑對曲線箱梁橋車輛荷載作用下沖擊效應的影響[J]. 振動與沖擊, 2010, 29(1): 38-41.

[17] 梅向明, 黃敬之. 微分幾何[M]. 4版. 北京：高等教育出版社, 2008: 13-50.

A Graphical Algorithm for Computing the Center, Radius of Curvature and Frenet Frame on Any Curves

ZHENGPeng-fei1, 2,LIUQing2,ZHAOJu-di1,LINDa-jun1,AnQi1

(1. School of Mechanical and Power Engineering, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China; 2. Yiwu Industrial & Commercial College, Yiwu 322000, China)

A method of approximating space curve based on planar curves constructed by discrete points is proposed through analyzing the existing methods of computing the curvature center and curvature radius of curves and the definition and solving method of Frenet frame in differential geometry. A graphical model and mathematical model for computing the curvature center of the curve and Frenet frame are constructed by computing the intersection of two vertical planes and osculating plane. The graphical computing algorithm for computing the curvature center of curves and Frenet frame presented is simple and feasible. It is proved that this algorithm is stable and reliable, and the adaptability of this algorithm is extensive.

curvature center; curvature radius; Frenet frame; graphics

2015-12-20

浙江省教育廳科研資助項目(Y201432394)

鄭鵬飛(1984—)，男，浙江蘭溪人，講師，博士研究生，研究方向為CAD&CAGD、反求工程.E-mail：pfzheng@126.com

TP 391

A