多激勵作用下的矩形薄板橫向非線性振動分析

張丹偉, 黃建亮

(中山大學 工學院，廣州510275)

多激勵作用下的矩形薄板橫向非線性振動分析

張丹偉, 黃建亮

(中山大學 工學院，廣州510275)

利用增量諧波平衡法(Incremental Harmonic Balance method, IHB法)研究在四邊簡支條件下，薄板在兩個橫向簡諧激勵作用下的非線性振動問題。在給出薄板振動微分方程的基礎上，利用Galerkin法導出相應的Duffing型非線性強迫振動方程;引入多時間尺度變量τi=ωit(i=1,2,3,…,ms)，其中ωi是不可公約的非線性系統響應頻率，推導了增量諧波平衡法的計算過程。作為算例，給出了不同條件下，由IHB法得到的系統運動的位移響應圖、頻譜圖、相平面圖和Poincaré圖，得到了板在多激勵作用下的準周期運動特性;同時，將IHB法結果與數值方法得到的結果進行對比，兩者相吻合，進一步驗證了該方法的精確性與有效性。

矩形薄板；非線性振動；增量諧波平衡法；多激勵力作用；準周期運動

薄板是在實際工程中最常見的一種基本單元結構，廣泛應用于路橋建設、工業地坪、航空航天、船舶工程等諸多領域。局部薄板類零件的振動會對整體結構產生顯著的影響，例如常見的內共振、次諧波共振、超諧波共振和組合諧波共振等結構非線性振動特有的現象，不僅會產生噪音，甚至會造成結構的失穩與破壞，給工程的安全設計與施工帶來巨大隱患。因此，很有必要分析薄板的非線性動力學問題。

為了更深入地了解薄板的復雜動力學特性，近年來，諸多學者對其振動特性進行了大量研究，并取得豐碩成果。AMABILI等[1]研究了各向同性矩形薄板在四邊固定有預彎曲條件下的熱振動問題；MARYNOWSKI[2]分析軸向運

動薄板在對邊簡支對邊自由條件下的自由振動特性和穩定性；DOGAN[3]研究了隨機激勵作用下邊界固定的功能梯度材料板的非線性振動特性。張亞輝等[4]基于彈性力學問題求解的辛方法，結合波傳播理論，提出一個薄板結構穩態動力響應分析的新思路；楊坤等[5]對黏彈性復合材料夾芯板的穩態響應進行了分析；呂書鋒等[6]研究了正交各向異性矩形疊層板在橫向簡諧激勵作用下的非線性主共振及其穩定性問題。

本文以上述研究為基礎，選取橫向簡諧激勵作用下的四邊簡支矩形薄板為研究對象，提出了一個研究薄板非線性振動特性的新方法。首先，利用伽遼金法導出薄板的Duffing型非線性強迫振動方程，然后，將其面內振動的位移函數表示為正余弦級數和相關系數的線性組合，利用增量諧波平衡法(Incremetal Harmonic Balance,IHB)求解振動方程，進而在得到系統運動解的情況下進行薄板橫向非線性振動研究。最后通過與數值方法的計算結果進行對比，兩者的結果吻合，驗證了本方法的正確性。

1 運動方程

本文研究所采用的薄板模型見圖1，以中面為xOy平面，板內任意一點沿m、c和k1方向的位移分別用k3、fi和ωi表示。本文研究采用Kirchhoff薄板理論的基本假設[7]。

圖1 薄板示意圖

利用彈性力學理論，對幾何方程在z坐標方向進行積分，得

(1)

式中:u0，v0和w0表示中性面位移，“，”為偏微分運算符號。由薄板大變形理論，形變分量εx、εy和εxy用w表示如下

(2)

-D11w0,xxxx+(4D33-2D12)w0,xxyy-D22w0,yyyy+φ,yyw0,xx-2φ,xyw0,xy+φ,xxw0,yy+p=ρhw0,tt

(3)

式中:x0為抗彎剛度，

(4)

將薄板的位移函數用振型函數表示為如下形式

w0(x,y,t)=W(x,y)sin(ωt+φ)

(5)

滿足四邊簡支薄板的振型函數ωi可設為

(6)

將式(4)、式(5)代入式(3)，只考慮一階模態并采用Galerkin法進行積分，可得到薄板的非線性振動方程

(7)

式中:ω0為系統的線性固有頻率;μ為阻尼項系數;η1為非線性項系數;η2為與外激勵有關的系數。

若設外激勵由兩項不同頻率的三角函數組成，即

p=p1cosω1t+p2cosω2t

(8)

令m=ρh，q=W/h，τi=ωit(i=1,2)，ε1=μ，ε2=h2η1，ε3=η2/h，代入式(7)可得無量綱化方程

(9)

可見，薄板的振動方程為含有三次非線性的經典Duffing非線性方程。

2 增量諧波平衡法

IHB法其本質是將增量法和諧波平衡法進行結合，是一種半數值半解析求解非線性振動問題的方法[8]。本文應用該方法研究薄板的橫向強迫振動

考慮式(9)，引入ω1個時間尺度，令

τi=ηωit (i=1,2,…,ms)

(10)

(11)

將式(10)和(11)代入非線性振動方程(9)得

(12)

式中:2ω2+ω1為有理數。

(13)

IHB法的第一步是增量過程，設q0，2ω1+ω2為振動過程中某一時刻的狀態，則其臨近點表示為

(14)

把式(14)代入式(12)并略去高階小量得線性化增量方程

(15)

IHB法的第二步是諧波平衡過程，振動方程的解用矩陣形式表示為

q=Ta

(16)

其中，T=[Tc,Ts]為諧波項，a=[ac,as]T為諧波項系數。諧波項中余弦項數目為Nc，正弦項數目為Ns，那么對于單自由度系統其諧波項的數目總共為

N=Nc+Ns

(17)

將Δq=T·Δa代入(15)式得

(18)

將式(18)經Galerkin過程，可得到如下方程

(19)

其中，

(20)

KT為N×N的切向剛度矩陣，包含線性部分與非線性部分

Δa=Δac+Δas

(21)

(22)

R稱為殘余向量，當q0與ωi0為準確解時，有R=0。F為與外激勵相關的向量，H為總體剛度矩陣，R的值受F與H的影響，其值分別為

(23)

(24)

ΔF為增量力，即

(25)

(26)

KTΔa=R

(27)

式(27)是一個不定方程，求解該方程時，先指定初值a和ωi，求得Δa。之后，以a+Δa代替原來的a，代入式(19)得新的Δa。重復迭代計算，直到修正值滿足收斂準則的要求。于是，就可以得到方程組的解。

3 算例結果與分析

考慮四邊簡支的矩形薄板受到兩個簡諧外激勵作用時的橫向振動，振動方程如式(9)所示。以工程實際為背景[9]，設板的尺寸及材料參數如下：a=0.3 m，b=0.2 m，E=10.6 MPa，ν=0.45，板厚度h=0.035 m，μ=0.01，密度ρ=2 500 kg/m3。相關方程的系數ε1=0.024 2，ε2=0.566 5，ε3=0.002 2，外激勵力p1=500 N/m2，p2=500 N/m2。

由振型函數表達式(8)，可以得到薄板的一階振型圖見圖2。

圖2 四邊簡支矩形薄板一階模態振型

簡便起見，本文只考慮系統的一階模態。根據非線性振動理論[10]，式(9)的響應既包含頻率為ω1和ω2的諧波響應，還含有頻率為ω1與ω2組合的諧波響應。

3.1 外激勵頻率可公約時系統周期響應

取系統兩個外激勵的頻率為ω2/ω1=3，ω1=1，設系統運動的解的表達式為

q(t)=a1cosτ1+a2cosτ2+a3cos(2τ2+τ1)+a4cos(2τ1+τ2)+b1sinτ1+b2sinτ2+b3sin(2τ2+τ1)+b4sin(2τ1+τ2)

(28)

用IHB法求得的各頻率分量與其對應的諧波項系數見表1。

表1 系統運動解的表達式的相應諧波項系數值

圖3 外激勵可約時系統的時間歷程對比圖

通過上面的時間歷程圖可知，當外激勵可約時，系統做有規律的周期運動，并且由IHB法與數值法所得位移曲線基本吻合，證明了IHB法具有較高的精確度。

圖4是用IHB法做出的系統頻譜圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進行對比。

圖4 外激勵可約時系統的頻譜圖

從整體上看，盡管由這兩種方法得到的主要頻率分量譜值有些區別，但占據主導地位的頻率分量種類相同，其中ω1的譜值最大，意味著振動幅值在此頻率下會很大。觀察兩頻譜圖，它們呈現出“簇狀峰”的模式，譜線是由若干個分立的單峰組成，同時可清晰地看出某種頻率對應的譜值。

圖5是用IHB法做出的系統的相圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進行對比。

圖5 外激勵可約時系統的相圖

圖5顯示，系統的相軌跡是閉合的，其運動形式是周期運動，因為周期運動的相圖是閉合的曲線[11]。

3.2 外激勵頻率不可公約時系統周期響應

此時，如果取系統的兩個外激勵的頻率為ω2/ω1=3.141 592 6，ω1=1，設系統運動的解的表達式為

q(t)=a1cosτ1+a2cosτ2+a3cos(2τ2-τ1)+a4cos(3τ2-2τ1)+a5cos(4τ2-3τ1)+b1sinτ1+b2sinτ2+b3sin(2τ2-τ1)+b4sin(3τ2-2τ1)+b5sin(4τ2-3τ1)

(29)

用IHB法求得的各頻率分量與其對應的諧波項系數見表2。

表2 系統運動解的表達式的相應諧波項系數值

圖6 外激勵不可約時系統的時間歷程對比圖

通過圖6可知，當外激勵不可約時，系統做準周期運動，并且由IHB法與數值法所得位移曲線基本吻合，證明了IHB法具有較高的精確度。

圖7是用IHB法做出的系統頻譜圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進行對比。

圖7 外激勵不可約時系統的頻譜圖

整體上看，盡管由這兩種方法得到的主要頻率分量譜值有些區別，但占據主導地位的頻率分量種類相同，其中ω1的譜值最大，意味著振幅在此頻率下會很大。觀察兩頻譜圖，它們呈現出“簇狀峰”的模式，譜線是由若干個分立的單峰組成，同時可清晰地看出某種頻率對應的譜值。

圖8是用IHB法做出的系統的相圖，并用四階龍格庫塔法(R-K4法)與其進行對比。

圖8 外激勵不可約時系統的相圖

相圖顯示系統的相軌跡總是保持在有限的范圍內，排布密集但沒重疊，相互交叉卻不封閉，故運動形式是準周期運動[11]。

圖9 外激勵不可約時系統的Poincaré圖

圖9所示為R-K4法得到的Poincaré圖，可以看出Poincaré圖是封閉的，亦說明了此時系統做準周期運動[12]。

4 結 論

本文采用增量諧波平衡法，對四邊簡支矩形薄板受到兩個簡諧外激勵作用下的橫向振動特性進行求解分析。該方法將板結構位移函數表示為多重傅式級數形式，把原微分方程轉化為以傅式系數為未知量的代數方程組，采用迭代方法求解，進而得到系統的位移表達式。該方法結合了諧波平衡法，因此，它既可以適合于弱非線性系統，也可以適合于強非線性系統，是研究非線性運動的有效工具。

針對薄板的非線性振動方程，用IHB法分別求得系統在多外激勵的頻率在可公約和不可公約時的位移圖、頻譜圖、相圖和Poincaré圖，并且這些結果與數值方法得到的結果吻合。結果表明，當外激勵頻率可公約時，系統做周期運動；外激勵頻率不可公約時，系統將做準周期運動。

IHB法是一種研究非線性振動的半數值半解析方法，該方法不僅可適用于結構的周期響應分析，還可適用于結構的準周期響應分析，說明了IHB法研究薄板結構受多激勵力作用下的橫向非線性振動問題的有效性。

[ 1 ] AMABILI M, CARRA S. Thermal effects on geometrically nonlinear vibrations of rectangular plates with fixed edges[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 321: 936-954.

[ 2 ] MARYNOWSKI K. Free vibration analysis of the axially moving levy-type viscoelastic plate[J]. European Journal of Mechanics-A/Solids, 2010, 29(5): 879-886.

[ 3 ] DOGAN V. Nonlinear vibration of FGM plates under random excitation[J]. Composite Structures, 2013, (95): 366-374.

[ 4 ] 張亞輝, 馬永彬. 薄板振動分析的辛空間波傳播方法[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(12): 1-7. ZHANG Yahui, MA Yongbin. A wave propagation method in symplectic space for vibration analysis of thin plates[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(12): 1-7.

[ 5 ] 楊坤, 梅志遠, 李華東. 黏彈性復合材料夾芯板穩態響應分析[J]. 振動與沖擊, 2013, 32(7): 88-92. YANG Kun, MEI Zhiyuan, LI Huadong. Steady response analysis for a composite sandwich plate with viscoelastic core layer based on Kelvin model[J]. Journal of Vibration and Shock, 2013, 32 (7): 88-92.

[ 6 ] 呂書鋒, 胡宇達. 正交各向異性疊層板的非線性主共振分析[J]. 動力學與控制學報, 2009, 7(1): 35-38. Lü Shufeng, HU Yuda. Nonlinear principal resonance of orthotropic laminated plates[J]. Journal of Dynamics and Control, 2009, 7 (1): 35-38.

[ 7 ] 徐芝綸. 彈性力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.

[ 8 ] 陳樹輝, 黃建亮, 佘錦炎. 軸向運動梁橫向非線性振動研究[J]. 動力學與控制學報, 2004, 2(1): 40-45. CHEN Shuhui, HUANG Jianliang, SHE Jinyan. Study on the laterally nonlinear vibration of axially moving beams[J]. Journal of Dynamics and Control, 2004, 2(1): 40-45.

[ 9 ] CHIA C Y. Nonlinear analysis of plates[M]. New York: McGraw-Hill,1980.

[10] 黃安基. 非線性振動[M]. 成都: 西南交通大學出版社, 1993.

[11] 陳樹輝. 強非線性振動系統的定量分析方法[M]. 北京: 科學出版社, 2007.

[12] PUSENJAK R R, OBLAK M M. Incremental harmonic dynamical systems with cubic non-linearities[J]. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2004, 59: 255-269.

Nonlinear vibration of a thin plate subjected to multi-force excitation

ZHANG Danwei, HUANG Jianliang

(College of Engineering, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China)

The incremental harmonic balance (IHB) method was used to analyze nonlinear vibration of a rectangular thin plate under four simply supported boundary conditions subjected to the external two transverse harmonic excitations. Based on the vibration differential equation of a thin plate, a non-dimensional Duffing nonlinear forced vibration equation was deduced using Galerkin method. Introducing multiple time variables defined asτi=ωit(i=1,2,3,…,ms) in whichωiwere the incommensurable nonlinear response frequencies, the corresponding calculation process of the IHB method was presented. As a numerical example, the system displacement response time histories diagrams, spectrum diagrams, phase diagrams and Poincaré maps were obtained with the IHB method under different excitations, and the quasi-periodic motions of the plate under external multi-excitations were analyzed. Meanwhile, it was shown that the results obtained with the IHB method are in good agreement with those obtained with the numerical integration method; the correctness and effectiveness of the IHB method are verified.

rectangular thin plate; nonlinear vibration; incremental harmonic balance method; multi-force excitation; quasi-periodic motion

國家自然科學基金資助項目(11572354)；廣東省自然科學基金資助項目(2014A030313115)

2015-05-15 修改稿收到日期：2015-11-12

張丹偉 男，碩士，1990年生

黃建亮 男，博士，副教授，碩士生導師，1977年生

O322