機敏約束層阻尼H∞混合靈敏度控制研究

王 攀， 廖海辰， 鄧兆祥,2， 魯 俊， 王正亞

(1.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044； 2.汽車噪聲振動與安全技術國家重點實驗室，重慶 400039)

機敏約束層阻尼H∞混合靈敏度控制研究

王 攀1， 廖海辰1， 鄧兆祥1,2， 魯 俊1， 王正亞1

(1.重慶大學 汽車工程學院，重慶 400044； 2.汽車噪聲振動與安全技術國家重點實驗室，重慶 400039)

以SCLD對邊約束板結構為研究對象，采用H∞混合靈敏度控制算法對機敏約束結構振動主動控制問題展開研究;基于有限元單元法，引入GHM模型建立了系統的動力學模型。采用動力縮聚和內平衡相結合的降階方法，獲得了可控可觀的控制模型。提出H∞混合靈敏度控制算法加權函數選取方法并設計出H∞魯棒控制器。最終在不同外擾激勵下對實際控制效果進行了試驗驗證。結果表明：根據所設計出的魯棒H∞控制器對板結構主動控制取得良好的效果，衰減正弦激勵振動響應幅值≈40%，衰減白噪聲激勵振動響應均方根值18%。

振動；主動控制；機敏約束層阻尼；H∞混合靈敏度；加權函數

薄壁板件是汽車車身的重要組成部分，當它們受到外界激勵時，很容易產生振動。特別是20～200 Hz容易引起車身板件共振[1]。近年來機敏約束層阻尼(Smart Constrained Layer Damping，SCLD)技術成為了主動減振技術的一個熱點問題，它結合了約束阻尼技術與主動阻尼控制技術的雙重優勢，其結構具有約束層阻尼簡單、可靠的特點，又擁有主動控制的自適應能力，是一種非常有效的減振手段。尤其在低頻范圍有良好的控制效果。

在結構振動主動控制中，由于剩余模態和其他參數攝動的影響以及傳感與作動系統模型存在誤差，使得精確控制模型很難建立[2-4]。魯棒控制在控制系統不確定性條件下可使控制系統維持穩定，尤其是H∞已經成為國內外研究的熱點問題[5-8]。目前基于SCLD結構的H∞混合靈敏度控制加權函數還沒有確切的選擇方法，并且對于隨機激勵的控制效果并不理想。為研究魯棒H∞混合靈敏度控制對于機敏約束層阻尼在不同激勵下的控制效果，本文以局部覆蓋SCLD結構的對邊約束板作為研究對象，使用壓電陶瓷作為作動器建立動力學方程，基于H∞混合靈敏度控制理論，建立結構振動主動控制模型。仿真與主動控制實驗的結果表明，通過對性能加權函數的合理選取，系統對不同類型振動取得了較好的控制效果。

1 有限元動力學模型

1.1 動力學方程

機敏約束層阻尼結構包括基層(BASE)，黏彈性層(VEM)和約束層(PZT)。利用有限元法將板結構離散成有限個矩形單元(見圖1)，單元長度為a，寬度為b。

圖1 SCLD矩形單元

每個單元4個節點，7個自由度，包括約束層面x，y向位移，基層面x，y向位移，z方向橫向位移以及單元中面繞x，y軸的轉動。設節點i的7個自由度位移矢量為：

單元4個節點的位移向量為：

假設形函數為

ub=a1+a2x+a3y+a4xy

vb=a5+a6x+a7y+a8xy

uc=a9+a10x+a11y+a12xy

vc=a13+a14x+a15y+a16xy

w=b1+b2x+b3y+b4x2+b5xy+b6y2+b7y3+b8x2y+b9xy2+b10y3+b11x3y+b12xy3

單元任意一點的位置可表示為：

(1)

在給出節點位移形式與形函數矩陣后，可通過能量原理得到單元質量矩陣剛度矩陣和黏彈性層的剪切剛度矩陣。為避免黏彈性材料特性隨頻率與溫度變化對模型的影響，這里引入GHM(Golla Hughes McTavish),[9]模型。按照有限元組集方法，考慮邊界條件，建立動力學方程。

(2)

式中:M為質量矩陣;D為阻尼矩陣;K為剛度矩陣;Fc為壓電控制力矩陣;Fd為激振器外擾矩陣。

1.2 模型降階

由于本系統降階前每個節點有7個自由度，而GHM模型又引入大量的耗散自由度，系統自由度相當大，為了便于控制，必須對模型進行降階[10]。首先在物理空間進行高精度動力降階。將SCLD結構中約束層的x向，y向的線位移和結構的z向位移作為主自由度，將其他物理自由度與耗散自由度作為副自由度，則式(2)改寫為：

(3)

如果主副自由度之間的關聯矩陣是R，則經過i次迭代后降階的系統方程為：

(4)

式中:

(5)

令x=Rx’，對式(5)做非奇異線性變換，其中R為非奇異矩陣。則式(5)變為如下平衡式：

(6)

將式(6)的狀態變量寫為：

(8)

模態實驗測得兩點間的頻響曲線和程序計算的降階前后仿真頻響曲線如圖2所示。從圖中可以看出降階前后模型與實驗實測曲線在前四階吻合較好，第四階頻率以后出現較大偏差。降階模型與原模型在低頻區動力學特性基本保持不變。相比降階前模型1 284個自由度，降階后自由度數變為9個，模型規模不但被大幅度減小，而且保證系統處于可控、可觀的狀態。模型降階前后和實驗實測的固有頻率見表1。

圖2 降階前后頻響對比Fig.2 FRF of before and after reduction

表1 系統降階前后與模態實驗固有頻率

2 魯棒H∞混合靈敏度控制器設計

2.1 靈敏度和補靈敏度函數

根據SCLD板結構的狀態方程，設計魯棒控制器，構成閉環控制系統，對板振動進行主動控制。

如圖3所示的閉環控制系統。K(s)為控制器;P(s)為控制對象傳遞函數;r為外部輸入;e為誤差信號;u為控制器輸出;d為外部擾動;Y為控制對象輸出。

圖3 閉環控制系統一般模型

在單輸入單輸出的場合，d=0，有外部輸入r到控制對象輸出Y的閉環傳遞函數為:

(9)

令：

(10)

(11)

S(s)稱為靈敏度函數，‖S(s)‖∞表示系統對干擾d的抑制能力，‖S(s)‖∞越小對擾動的抑制越好；T(s)稱為補靈敏度函數，關系到模型不確定性的魯棒穩定性，‖T(s)‖∞是對乘性攝動大小的度量；‖R(s)‖∞是對加性攝動大小的度量。

2.2 多輸入多輸出控制模型

在上面H∞引入加權函數，設計出SCLD多輸入多輸出系統如圖4所示。其中F為作用在結構上的外擾激勵，G(s)為外擾激勵到傳感器的傳遞函數，W1對輸出Y進行加權，重點抑制所需頻帶上的外擾d，達到對Y整形的目的；W2為控制器輸出加權函數，表征系統的加性攝動；W3為魯棒加權函數，表征系統的乘性攝動。

圖4 多輸入多輸出控制模型

由d到Z的閉環傳遞函數可以表示為：

2.3 加權函數的選擇

雖然H∞魯棒控制理論的標準問題無論在理論上還是在算法實現上都已基本成熟，并有可靠的商業軟件進行數值求解，但加權函數的選取是通過分析系統中的不確定性及系統的頻域和時域性能要求來完成的，不同的控制對象、不同控制指標需要不同的加權函數，相互之間沒有特定的規律可循，而且3個加權函數陣通常需要經過一系列試計算和控制器一同確定[12-13]。本文考慮具有高頻未建模和中低頻參數有較大攝動特點的一類對象，采用一種特定加權函數選取準則。加權函數的選擇有如下準則:

(1)權函數矩陣為實對角陣；權函數矩陣階次不能太高，以便于控制器的實現，本文僅考慮權函數為一階時的情況。

(2)W1的選擇：W1為系統的性能加權函數，是對靈敏度函數S的加權，代表干擾的頻譜特性[14]，反映了對系統靈敏度函數S的形狀要求，應基于系統性能的要求進行選擇。由于系統輸入信號的頻率一般較低，為增強系統跟蹤輸入信號能力，這就要求其加權函數W1在低頻段的幅值應該盡可能大。因此，W1一般應具有積分特性或高增益低通特性。W1的標準形式可令為：

(12)

K值表示閉環系統對低頻干擾的衰減系數，可以通過K的選擇來抑制波動和負載變化等低頻干擾對系統的影響。在T值一定的條件下，K值決定了系統的跟蹤性能，K值越大，系統跟蹤誤差越小；在K值一定的條件下，T值決定了系統跟蹤頻帶的寬度，T值越小頻帶越寬，但若T太小K太大，會出現系統設計無解的情況。因此為保證系統有解，盡量選取較小的T值和較大的K值。

(3)W3的選擇：W3是對補靈敏度函數T的加權函數，表示乘性攝動的范數界[15]，而乘性攝動往往用于表示系統的高頻未建模動態，為保證系統對高頻不確定性具有魯棒性，W3在高頻段的幅值應該盡量大。W3可取對角的非真有理函數，但應保證W3G為真有理函數。可令

(13)

(4)W2的選擇：W2由控制輸入信號決定，是對R的加權函數，表示加性攝動的范數界。為了不增加控制器的階數，一般取為常數。W2可在W1和W3選定后調整得到。

(5)W1與W3選定后，應盡量使它們幅值所包含的頻率范圍不相交。

根據上文所提出的原則，并通過SIMULINK仿真本文選定的3個參數為：

(14)

W2=0.001

(15)

(16)

通過以上加權函數設計魯棒控制器K(s)。對白噪聲信號進行控制仿真，仿真結果如圖5所示。

圖5.控制前后速度響應曲線

由仿真結果可以看出，白噪聲激勵控制效果比較明顯，響應均方根值衰減近28%。說明按照前文所提出的加權函數選取原則有效。

3 硬件在環實驗

圖6 主動控制實驗系統

以SCLD板結構為主動控制對象搭建實驗平臺。結構見圖6。由于前兩階模態應變能在板結構四個角上最大所以壓電片配置在四個角上，激振器放置在三階模態的節線上防止觀測溢出。信號由低通濾波器過濾后再由dSAPCE轉化成電壓信號，其中由低通濾波器產生的時滯對系統基本沒有影響。電壓信號經壓電陶瓷驅動電源放大后作用于壓電片。SCLD結構參數如下，基層：6061鋁合金板，長×寬×高為420 mm×270 mm×2.5 mm，密度2 750 kg/m3，彈性模量68.9 GPa，泊松比0.33；黏彈性層：ZN-1型黏彈性材料，厚度1 mm，密度1 250 kg/m3,泊松比0.3；壓電層：PLS-51型壓電陶瓷，厚度1 mm，密度7 500 kg/m3，柔順系數15.9×10-12m2/N，泊松比0.36。

實驗對一階固有頻率(73 Hz)激勵，一二階固有頻率復雜周期信號(73 Hz&104 Hz)激勵，白噪聲(30～180 Hz)隨機激勵進行控制。控制前后響應曲線如圖7～圖9。

圖7 一階正弦激勵下的振動控制實驗結果

圖8 復雜周期激勵下的振動控制實驗結果

圖9 隨機激勵下的振動控制實驗結果

從實驗結果可以看出，主動控制算法對于一階固有頻率激勵，混合激勵下振動響應幅值衰減了接近40%，對白噪聲激勵響應均方根值也衰減近18%，實驗效果比較明顯。由于仿真條件較理想，加之模型有一定誤差導致對白噪聲激勵的控制效果沒有仿真條件下好。本次實驗控制電壓都保持在150 V以內，消耗能量較低。

4 結 論

本文在局部覆蓋主動約束層阻尼板模型的基礎上，對H∞算法進行了研究。基于SCLD對邊約束薄板這一特殊對象采用了一類加權函數的選取原則，根據選取原則確定了各個加權函數，并建立了主動控制模型并計算出魯棒控制器。然后對SCLD對邊約束薄板結構進行主動控制仿真，完成了硬件在環主動控制實驗。實驗結果表明：

(1)根據本文所采用的加權函數選取原則與其結構所確定的加權函數對主動控制仿真效果有明顯效果。

(2)實驗驗證了混合靈敏度主動控制算法對SCLD對邊約束薄板控制的有效性，對于正弦與隨機信號激勵，結構振動控制效果比較理想，并且控制電壓較低，有一定的工程應用前景。

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H∞mixed sensitivity control for smart constrained layer damping

WANG Pan1, LIAO Haichen1, DENG Zhaoxiang1,2, LU Jun1, WANG Zhengya1

(1. College of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400044, China;2. State key Laboratory of Vehicle NVH and Safety Technology, Chongqing 400039, China )

The vibration active control of piezoelectric smart constrained layer damping technology was studied using the mixed sensitivity method ofH∞robust control theory. A system dynamic model for a plate structure with SCLD was established based on the FE method and GHM damping model. The controllable and observable control model was obtained by using the dynamic condensation method and the inner balance method. Here, the general selection method of weighted functions forH∞mixed sensitivity control algorithm was proposed andH∞robust controller was designed. Finally, tests were performed under different external disturbance excitations. The results showed that the effects ofH∞robust controller designed with the proposed method on the vibration active control of the plate structure are good; the plate’s vibration response amplitudes to a sine excitation are attenuated nearly 40%; the plate’s RMS vibration responses to white noise excitation are attenuated nearly 18%.

vibration; active control; smart constrained layer damping; H∞mixed sensitivity; weighted function

國家“863”計劃項目號(2012AA111803);中央高校基本科研業務費(CDJZR12110006)

2015-05-13 修改稿收到日期：2015-12-03

王攀 男，博士，副教授，1977年生

TH113;0327