力負載對超聲切割聲學系統諧振頻率及諧振阻抗的影響

紀華偉， 虞文澤， 胡小平

(杭州電子科技大學 機械工程學院，杭州 310018)

力負載對超聲切割聲學系統諧振頻率及諧振阻抗的影響

紀華偉， 虞文澤， 胡小平

(杭州電子科技大學 機械工程學院，杭州 310018)

針對在蜂窩復合材料超聲波切割加工中，超聲切割系統在受力之后會出現系統失諧，振幅不足甚至停振的現象，對聲學系統受力之后的阻抗值以及諧振頻率進行研究。利用四端網絡法，通過分析變幅桿、壓電陶瓷以及端蓋等組成聲學系統各部分輸入輸出特性，提出了聲學系統的整體設計方程，得出了聲學系統的阻抗值和頻率方程以及負載﹑電流與振幅的關系式，并對超聲切割系統的受力模型進行分析;通過對超聲切割聲學系統施加單向力，分析受力之后的聲學系統阻抗值和諧振頻率，得出聲學系統受力對系統阻抗值和諧振頻率的影響規律。實驗結果表明：增加三個方向力之后，系統的阻抗值和諧振頻率都會上升;隨著力負載的增加，Y、Z方向施加力負載時的系統阻抗值比X方向施加力負載時增加得更快，而在系統諧振頻率方面，X、Z方向施加力負載時諧振頻率的增量比Y方向施加力負載時更大，在實際應用中應減小敏感方向的力;研究成果可為實際加工蜂窩復合材料提供理論指導。

超聲切割系統；力負載；受力模型；阻抗值；諧振頻率

蜂窩復合材料以其具有的高比強度和比剛度等優點，在航空航天領域得到了越來越廣泛的應用。對蜂窩復合材料進行高速銑削能得到不錯的加工質量，但是這種加工方法采用的是粉碎切屑的方法，會產生大量的粉塵，對人體有巨大的危害，采用超聲加工的方法可以避免這樣的危害[1]。超聲切割是針對蜂窩復合材料粗加工提出的，利用高頻振動對其進行切割，事實證明這種方法在保證加工質量的同時又有十分高的加工效率。

對于超聲加工來講，聲學系統的設計至關重要。超聲切割聲學系統的設計方法有傳統解析法﹑阻抗分析法﹑四端網絡法[2-3]等。北方工業大學的曾凡沖[4]針對對稱和非對稱的壓電換能器提出包含連續模型﹑集中參數模型等多種理論模型；趙福令等[5]完善了變幅桿的四端網絡法的理論設計，為后期的整體設計提供了良好的基礎；HARADA等[6]研究了超聲車削中超聲車削力與切削速度﹑切削深度以及切削質量之間的關系，在實驗中檢測出超聲切削力的實際形狀；ZHANG等[7]為了控制超聲切削的深度以及減少超聲切削力，對輸入電壓﹑切削深度以及超聲切削力三者之間的關系進行了研究；美國和俄羅斯的EFIM SH.STATNIKOV等[8]對超聲沖擊力與沖擊深度的關系進行了研究；ZHU等[9]提出了超聲珩磨的受力模型；張云電等[10]對超聲珩磨受力與系統諧振頻率之間的關系進行了實驗。

大部分針對超聲切割聲學系統的設計方法涉及到十分復雜的參數表達式[11]，研究方法通常都是將聲學系統的各個部分分開來設計，缺乏整個聲學系統的統一表達式，使得針對整個聲學系統的理論分析變得很困難[12-15]。目前，對于蜂窩復合材料超聲切割聲學系統的研究略顯不足，超聲切割力模型及其受到不同方向的力之后的聲學系統的阻抗值及諧振頻率的變化規律尚不明確，超聲切割聲學系統在實際加工中不夠穩定。

基于以上問題，針對蜂窩復合材料切割加工過程中超聲切割系統在受力之后出現系統失諧，振幅不足甚至停振等現象，通過四端網絡法將組成聲學系統的變幅桿、壓電陶瓷以及端蓋結合在一起進行研究，得出整個聲學系統輸入阻抗表達式及頻率方程。在此基礎上對聲學系統的受力模型進行分析，對超聲切割聲學系統施加X、Y、Z三個方向的力并通過阻抗分析儀對受力之后的聲學系統阻抗值和諧振頻率進行測量，得出聲學系統受力對系統阻抗值和諧振頻率的影響規律。

1 基于四端網絡法的超聲切割系統整體阻抗模型

1.1 變幅桿輸入輸出特性分析

對于任意函數的縱振桿都可以等效成一四端網絡(如圖1)。

圖1 變幅桿四端網絡示意圖

一維縱振桿波動方程為：

(1)

結合邊界條件F1=-F(0);F2=-F(L);V1=V(0);V2=-V(L)。

可得到變幅桿的輸入輸出關系式

(2)

故變幅桿的四端網絡表達式為：

(3)

以圓錐形變幅桿為例，則變幅桿四端網絡中的參數為：

1.2 壓電陶瓷輸入輸出特性分析

壓電陶瓷不同于變幅桿，其并不是一個純粹的力輸入、力輸出的元件，而是將電能轉化成機械能的元件，壓電陶瓷的兩個輸出端分別連接著壓電換能器的前端蓋和后端蓋，而變幅桿及負載都是連接在前端蓋上，所以只需要研究前端蓋方向上的等效模型即可。

壓電陶瓷的輸入與輸出關系同樣可以用四端網絡來表示(見圖2)。

圖2 壓電陶瓷四端網絡示意圖

選擇圓柱形壓電陶瓷，取長度為Lp，面積為Ap的壓電陶瓷，在距離壓電陶瓷端面為Z處取微分單元dZ為分析對象。

圖3 壓電陶瓷模型

當壓電陶瓷滿足一維縱振時

T1=T2=0

E1=E2=0

D1=D2=0

對于無損耗的壓電材料，e型壓電方程為：

(4)

結合牛頓第二定律可得和電荷守恒方程可得：

(5)

式中:ρ為密度。

又因

(6)

將式(4)和式(6)代入式(5)可得:

(7)

利用分離變量的方法，可將位移和電勢的空間和時間函數表示為：

(8)

將式(8)代入式(7)可得：

(9)

根據式(9)可得到解:

(10)

利用邊界條件即可求得C1，C2，C3，C4。

同理可解得：

(11)

通過電位移在電極面積上的積分，再對時間求導就可得到電流，通過位移對時間的微分可得到壓電陶瓷的振速，則

(12)

根據式(12)以及邊界條件:

u3(z=0)=0,φ(z=0)=0

T3(Z=Lp)=F3/Ap,φ(Z=Lp)=-U

可得到壓電陶瓷四端網絡傳遞參數：

1.3 超聲切割系統整體阻抗模型

將壓電陶瓷與其余部分結合一起，則超聲切割聲學系統可以等效成如圖4所示的四端網絡。

圖4 聲學系統四端網絡

前端蓋采用圓柱形，因此可將前端蓋看成一節圓柱型變幅桿，其四端網絡參數的推導方法與變幅桿相同。通過計算，可得前端蓋四端網絡參數為：

式中:ρ2為前端蓋密度;S2為前端蓋端面面積;c2為前端蓋中的聲速;L2為前端蓋長度;k2=ω2/c2。

由圖4可得到傳輸矩陣：

(13)

(15)

此處的負載為刀具與力的綜合負載，由于刀具負載不存在變化，為固定值，故只考慮力的變化規律。

當ZF=0，即不存在負載時

(16)

當Zi為純阻時，可得頻率方程

(17)

在變幅桿中放大系數M表示輸出振速與輸入振幅的比值，根據力-電類比理論，振速類比于電流，力類比于電壓，本文中輸入電流與輸出振速的比值M可認為是聲學系統整體的放大系數，則：

(18)

可知刀尖處的瞬時位移為S=Asin(2πft+b)，則刀尖瞬時速度為Vo=2πfAcos(2πft+b)，故刀尖的速度與振幅的關系為V=2πfA。將上述條件帶入公式(18)可得到振幅﹑負載和電流的關系式

打定了主意，孟導抽空就到古玩市場里溜達，結交了不少商販。其中，跟古玩市場里的名人葉總走得最近。孟導只要是工作不忙，就會到葉總店里閑逛。其間孟導也買過幾個花瓶器皿，不過既然是跟行家里手做交易，套白狼什么的也就沒指望了。孟導渴望揚名立萬的心情得不到滿足，內心越發迫切，天天和葉總討論哪里有埋沒于民間的奇珍異寶。

(19)

2 負載阻抗超聲切割力模型分析

將式(19)中的負載阻抗ZF具體到實際的超聲切割力進行分析。

如圖5所示，超聲切割聲學系統在切割材料時存在兩種運動，分別為沿聲學主軸方向的超聲振動以及沿水平方向的進給運動，由于在實際切割中聲學系統并非與水平方向垂直，而是呈一定的角度，如圖6所示，將運動與受力沿聲學系統所在坐標系分解，即X、Y、Z坐標系。

圖5 超聲切割模型

圖6 聲學系統運動示意圖

根據上面的運動判斷，超聲切割運動分別受到超聲沖擊力，剪切力及摩擦力等影響，將這多種力沿X，Z方向進行分解分別為FX，FZ。

2.1 Z方向受力分析

Z軸方向的運動包含聲學系統在Z方向的振動以及水平方向的進給運動在Z軸上的分量。

由于Z方向本身受到激勵的作用，存在受力作用，FZ可以看成是對原來激勵的抑制，根據原有運動的變化得到Z方向受力。Z方向的運動軌跡為LZ(t)=Asin(ωt)，故Z方向速度為VZ(t)=Aωcos(ωt)，則加速度為aZ(t)=-Aω2sin(ωt)。Z方向受到的合力為

FZ=moaZ(t)=-ΔAω2mosin(ωt)

(20)

式中:ΔA為Z方向受力之后振幅的減小值;mo為系統等效質量;ω為角頻率。

2.2 X方向受力分析

假設系統僅有Z方向振動，而無X方向偏振，則在X軸方向僅有水平方向的進給運動在X的分量，X方向受力僅來自工件。

X方向受力與受力面積S成正比，可表示為

FX=τS

(21)

式中:τ為受力系數。

由于受到超聲振動，受力面積S隨著上下振動而變化，受力面積S變化規律為

S=Smax-ΔScos(ωt)

(22)

X方向實際受力為

FX=τ[Smax-ΔScos(ωt)]

(23)

2.3 Y方向受力分析

聲學系統并沒有Y方向的運動，理論上不存在受以上三種力的情況，但由于刀具切割工件時材料存在形變，故刀具在Y方向受到擠壓力，擠壓力大小與受力面積以及擠壓量成正比。

一般情況下，刀具在工件中切割時刀具兩個面同時受到擠壓力的作用，從而抵消了Y方向的力，但當系統存在以下情況時可能在Y方向力：

(1)切割平臺本身跳動；

(2)當存在材料去除的時候，去除面的擠壓力小于另一面，此時Y方向存在擠壓力；

(3)當材料為各向異性材料時，由于材料的結構屬性決定了刀具兩側受力不均。

當切割單邊材料去除時，忽略去除邊的受力，此時

FY=Sσ1=σ1[Smax-ΔScos(ωt)]=E1ε[Smax-Scos(ωt)]

當切割單邊材料不去除，兩邊的受力不均是由材料的各項異性造成的，由于兩邊的材料屬性不同，材料的彈性模量不同，變形量由刀具厚度確定，兩側擠壓量相同，受力面積相同，此時

FY=(E1-E2)ε[Smax-ΔScos(ωt)]

式中:ε為應變，E為彈性模量。

3 聲學系統受力實驗及分析

通過改變刀具與水平面的傾角θ和切割深度d，對實際超聲切割力進行檢測，測得的結果見表1。

由表1可知，不同的深度與傾角，各個方向的力也會不同，隨著傾角與深度的變化，三個方向的力呈線性變化。X方向的力比Y、Z方向的力更大，同時受力變化也最大，說明X方向為主要受力方向并且加工工藝對X方向力的影響更大。

但由于實際切割時三個方向的力同時存在且同時變化，很難說明哪個方向力對系統的影響更大，故需要對聲學系統進行單方向力實驗。

采用數顯式推拉力計在刀具處對聲學系統施加X、Y、Z三個方向的力，考慮到刀具能夠承受的受力大小以及實際超聲切割時超聲切割力不超過20 N，故我們施加力的大小為0～50 N。利用阻抗分析儀對聲學系統的參數進行檢測。

表1 超聲切割力實驗結果表

3.1 聲學系統受力對系統阻抗值的影響

聲學系統在不受任何力的情況下，諧振頻率為19 979.0 Hz，阻抗值為240.704 Ω。

由圖7所示的聲學系統受力與阻抗關系可知，隨著三個方向的受力增加，對應的阻抗值都相應的增加，并且三條曲線幾乎都是線性增長，說明聲學系統受力與阻抗值的增加是成正比的。從增加的幅度來看，X方向受力曲線斜率明顯小于Y和Z方向受力曲線，說明該聲學系統在Y和Z方向對受力更加敏感。

圖7 聲學系統受力與阻抗關系圖

當受力達50 N時，X、Y、Z三個方向的阻抗值分別達到271.214 Ω，338.075 Ω和329.249 Ω，相較于不受力狀態分別增長12.7%，40.5%和36.8%。根據式(19)可知，當超聲電源功率一定時，隨著阻抗的增加，電流減小，電流的減小會導致振幅減小，最終的結果是導致材料的切割質量降低甚至根本切不動材料。Y、Z方向的阻抗值對受力比X方向更敏感，所以在設計加工工藝設計的時候要盡量減小Y、Z兩個方向的受力。

3.2 聲學系統受力對系統諧振頻率的影響

實驗結果如圖8所示。

圖8 聲學系統受力與諧振頻率關系圖

在三個方向施加力10 N時，系統的諧振頻率值幾乎相同≈20 050 Hz。但隨著受力的增大，系統諧振頻率都快速增加，當X、Y、Z三方向分別施加力到50 N時，系統的諧振頻率分別為20 226 Hz，20 149.5 Hz，20 209 Hz，雖然增幅的比例不大，但相較與未受力時增加>200 Hz。本聲學系統在實際的加工中測量發現，在超聲電源沒有動態匹配的情況下，如果頻率偏移量>100 Hz，此聲學系統基本上無法處于正常工作狀態，所以200 Hz的偏移量是不滿足加工要求的，要避免系統處于高載荷的狀態下。

Y方向的諧振頻率增加速度明顯小于X、Z方向，可知Y方向為諧振頻率不敏感方向，這點與阻抗值不同，說明諧振時的阻抗值與諧振頻率之間并沒有直接的關聯。在實際加工中三個方向的力是同時存在的，要保證諧振頻率偏移小，不能只是減小單方向的力，而是三個方向的力都要小。

4 結 論

從上述的分析我們可以得出結論：

(1)本文利用一維縱振桿波動方程及壓電方程推導出了變幅桿﹑壓電陶瓷﹑前端蓋四端網絡模型，利用四端網絡法結合壓電換能器﹑變幅桿和負載的輸入輸出特性建立了超聲切割系統整體阻抗模型，從分析的結果看，無論負載的形式是阻值﹑抗值還是阻加抗的形式，都會增加阻抗值的大小。

(2)聲學系統在受到三個方向的力之后系統的阻抗值和諧振頻率的表現并不相同，系統的阻抗值在Y、Z方向更敏感，而在X方向不敏感；而對于諧振頻率，X、Z方向為敏感方向，Y方向為不敏感方向。若系統存在動態匹配的超聲電源，則阻抗值作為主要參考指標，其大小直接影響振幅的大小，在無法明顯減小受力的情況下，通過控制工藝來減小Y、Z方向的受力而適當增加X方向受力；若系統不存在動態匹配電源，則兩個指標須同時考慮，只能通過調整加工工藝參數降低受力或者從根本上設計一套更穩定的聲學系統。

(3)本系統在實際應用中發現，頻率偏移100 Hz系統就會出現失諧的情況，導致無法工作，阻抗值上升50 N，系統的振幅會無法滿足加工要求，由實驗圖表分析可得，本聲學系統在實際加工時，三個方向的力應小于10 N。實驗所得的數據能為超聲切割加工工藝提供指導。

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Influenceof load on resonance frequency and resonance impedance of an ultrasonic cutting acoustic system

JI Huawei, YU Wenze, HU Xiaoping

(School of Mechanical Engineering, Hangzhou Dianzi University, Hangzhou 310018, Chna)

An ultrasonic cutting system may have out of harmony, insufficient amplitude, even non-resonance when bearing a load, these lead to serious effects on machining process and machining quality of a workpiece. Here, the impedance and the resonance frequency of a loaded acoustic system were studied. By using the 4-terminal network method, the input / output characteristics of ultrasonic horn, piezoelectric ceramics and end cover were studied, the whole body design equation of an acoustic system was presented, and the impedance, frequency equation and the relationships among load, current and amplitude of the acoustic system were obtained. In order to get influence laws of load on the impedance and resonant frequency of the system, a digital push-pull meter was used to exert a load in a single direction on the acoustic system, the relationships among impedance, resonant frequency and load were tested. The test results showed that the impedance of the system increases after loads are exerted in three directions; with increase in load, the impedance of the ultrasonic cutting system when loads are exerted inYandZdirections increases faster than that does when load is exerted inXdirection; the increments of resonant frequency of the ultrasonic cutting system when loads exerted inXandZdirections are much more than that be when load is exerted inYdirection; the load in the sensitive direction should be reduced in practical application. The results provided a theoretical guidance for the actual processings.

ultrasonic cutting system; load; load model; impedance; resonance frequency

國家自然科學基金(51475130);國防科工局重大專項(A3920133001);浙江省重中之重學科開放基金

2015-10-15 修改稿收到日期：2015-11-26

紀華偉 男，博士，副教授，1976年生

TG663