多齒側間隙傳動系統非線性特性研究

方禹鑫， 丁 千， 張 微

4(天津大學 機械工程學院，天津 300072)

多齒側間隙傳動系統非線性特性研究

方禹鑫， 丁 千， 張 微

4(天津大學 機械工程學院，天津 300072)

舵機系統是典型的機械傳動系統，傳動過程中的部件間隙對系統動力學特性有很大影響。針對多級齒輪和絲杠螺母組合的舵機系統，建立含有齒側間隙和內部激勵誤差的平動-扭轉運動動力學方程，采用諧波平衡法分析系統的固有頻率及周期運動幅頻響應，利用數值方法求解、分析傳遞誤差、碰撞和分岔與混沌運動現象，并分析討論了多間隙和單間隙對系統動力學特性的影響差別。該分析成果可以為舵機系統結構和操作參數的優化設計、提高傳動效率和平穩性提供參考。

舵機系統；間隙；非線性；動態傳遞誤差

機械傳動系統應用廣泛，其工作性能可以影響至整個設備，對周圍環境也有很大影響。在航空航天領域中，舵機是最主要的機械傳動系統，是一種多齒輪嚙合、多間隙的系統，且性能要求更高。近幾十年來，齒輪動力學的研究一直受到廣泛關注。李潤方等[1]對齒輪傳動系統的建模方法、模型的類型以及非線性因素等方面作了深入和系統的研究。王建軍等[2]評述了國內外時變輪齒嚙合剛度參數振動問題和齒側間隙非線性振動問題的研究進展。對于單對齒輪的動態特性，KAHRAMAN等[3-5]給出了基于實驗的非線性動力學模型，考慮內部激勵和外部激勵，從數值和解析兩方面給出動態響應分析。多齒輪對嚙合方面，LIN等[6-8]通過數值和解析的方法給出了行星齒輪的振動特性和固有頻率特性。SHEN等[9]利用增量諧波平衡法對含有時變剛度和靜態傳遞誤差的單齒輪嚙合進行了解析求解，給出了增加阻尼和降低激勵幅值對于增強系統穩定性的作用。ZHANG等[10]對于含有時變剛度和立方非線性的單齒輪對系統進行了數值和解析求解，得出了系統的超諧響應和非線性振動特性。唐進元等[11]研究了間隙對含摩擦和時變嚙合剛度的動力系統動力學的影響。高建平等[12]對4自由度直齒輪非線性方程組采用基于打靶法的局部參數延拓法進行了數值求解。胡鵬等[13]采用數值方法研究了伺服刀架動力傳動系統在不同轉速，不同的嚙合剛度的作用下，輸入端和輸出端齒輪對的動態傳遞誤差和動態嚙合力的變化趨勢。王曉筍等[14]計算了齒輪系統周期狀態和混沌狀態下的相空間軌線，龐加萊截面和關聯維數，并進一步分析其動力學特性的變化情況 。

本文針對一類含有多級齒輪和絲杠滑塊結構的舵機系統，建立了考慮間隙和靜態傳遞誤差因素的非線性動力學模型，并利用基于離散傅里葉變換的諧波平衡方法和數值方法研究系統的動力學特性，分析不同轉速和間隙情況的動力學規律，為提高舵機系統動力學特性的優化設計提供參考。

1 間隙非線性動力學模型

圖1(a)是一類含多級齒輪和絲杠滑塊結構的舵機傳動系統示意圖。假設傳動軸和軸承具有足夠大的剛度，齒輪對嚙合力作用在嚙合線方向并忽略各處界面的摩擦效應，可以將系統簡化為圖1(b)所示的集中質量模型力學模型。其中Ii,Ri和θi(i=1,2,3)分別為齒輪的轉動慣量、分度圓半徑和轉角，m4，R4和φ分別為滑塊的質量、絲半徑和升角，Km,Kn，Kl和Cm,Cn，Cl分別為系統的綜合嚙合剛度和阻尼，e(t)為齒輪對的靜態傳遞誤差，T1和F4為加載于第一級齒輪和滑塊上的系統載荷。

圖1 舵機傳動系統

為研究系統運行中齒輪的拍擊和相對位置變化，引入各運動體之間的相對位移

x1=R1θ1-R2θ2-em(t)

(1)

x2=R2θ2-R3θ3-en(t)

(2)

x3=-x4+R4θ3tanφ-el(t)

(3)

建立系統動力學方程如下

(4)

(5)

(6)

(7)

其中em、en、el為一級、二級齒輪間和滑塊絲杠間的靜態傳遞誤差表達式為[15-16]

e(t)=-ersin(ωrt+φ)，r=m,n,l

(8)

式中:er為靜態傳遞誤差的幅值;ωr為齒輪的嚙合頻率;φ為相位角。外部振動激勵T1的激勵頻率與齒輪嚙合頻率的關系為(Z-齒輪1的齒數)

ωr=Z*ωt，r=m,n,l

(9)

函數f(x)是齒側間隙的非線性函數，可表示為

(10)

式中:b為嚙合齒輪對的半側隙。

引入如下無量綱變量

式中:ω0，b0分別為頻率和間隙的基準值。將相對位移式(1)～式(3)帶入動力學方程式，整理后得到無量綱形式系統相對運動方程為

(11)

(12)

(13)

令Bi=bi/b0，則無量綱間隙可以表示為

(14)

2 穩態運動的幅頻響應

2.1 基于離散傅里葉變換的諧波平衡法求解

本節采用基于離散傅里葉變換的諧波平衡法，求解系統的穩態運動響應。

當載荷矢量和齒輪嚙合剛度變化周期為T(頻率為Ω)時，可以將其展開為Fourier級數

(15)

(16)

(17)

由于x(τ)是周期為ηT的函數，f(τ)同樣是周期為ηT的函數，可以展開為

(18)

至此，動力學方程的所有項均已經展開成級數形式。把式(15)～式(18)代入動力學方程式(11)～式(13)，令方程組兩邊的常數項、各階正弦諧波和余弦諧波的系數相等，得到(2R+1)N個方程構成的代數方程組(19)，求解方程組Si=0，即可求解得到x(θ)的各項系數。

(19a)

(19b)

(19c)

r=1,2,…R

在上述方程組中，系數ur為待求未知量。由于f(x)為x的函數，其Fourier展開式的各項系數fr也是未知量ur的函數。為了求解方程組式(19)，采用Fourier變換和逆變換得到fr和ur的函數關系。首先，通過離散Fourier變換的逆變換得到x(t)在一個周期的時域內的離散序列xn

(20)

n∈[0,N-1]

進而求得x(t)的時間序列xn對應的fr的時間序列gn

gn=f(xn)

(21)

其次，對函數f(x)的離散時間序列gn進行Fourier變換，得到頻域內的Fourier系數fr

(22)

至此，得到了一組關于ur的非線性代數方程組。首先假設一組初始解ur，采用擬牛頓法進行迭代，求解得到式(19)的穩態解。

2.2 穩態幅頻響應

根據對一個實際傳動結構進行測量和有限元計算的結果，取齒輪分度圓半徑R1=10 mm，R2=18 mm，R3=33 mm，計算得到轉動慣量I1=2.6×10-7kg×m2，I2=3.0×10-7kg×m2，I3=3.7×10-6kg×m2?；瑝K質量m4=0.055 kg，剛度系數Km=1.148×108N/m，Kn=1.147×108N/m，Kl=6.287×109N/m。根據經驗公式，齒輪嚙合阻尼的取值范圍為C=[0.015, 0.085][17-18]，誤差激勵的幅值的量綱級別取值為間隙大小的1/10。由于載荷會隨著系統負載和運行狀態而改變，這里假設初始載荷F11為0.2，其載荷參數根據平衡原理推導得出。

假定齒輪對的間隙相同，計算給出了系統穩態運動情況下的幅頻變化(見圖2)。由圖2可知，間隙b=0時，三個固有頻率分別是0.66，1.10和1.85。隨著間隙的增加，系統剛度弱化，固有頻率隨之減小，共振振幅增加且出現非線性跳躍現象。其中與第一階頻率相比，第二階和第三階的振幅相對較小，對于間隙更加敏感，因此間隙變化帶來的剛度軟化現象更為顯著，故共振幅值變化也更為明顯。

圖2 舵機系統幅頻響應

3 含間隙非線性系統的動力學特性

3.1 多間隙影響下的復雜響應

為分析含多個間隙的齒輪系統的復雜響應，我們采用RUNGE-KUTTA法計算求解方程組式(11)～式(13)(令b=1.2×10-4，與圖2(c)對應)。計算表明，隨著轉速變化，各級輪對的振動特點基本相同，因此本文只給出了第一級齒輪對相對位移的分岔圖、動態嚙合誤差(DTE)均值、齒輪嚙合比例和DTE均方根幅值，見圖3。分岔圖顯示的復雜運動現象反映了多個間隙的影響。當轉速Ω處于0～0.4的范圍內，系統振動是單周期的，僅存在齒輪的正面嚙合，振動均方根幅值相對較小而且連續。當轉速Ω增大到0.4～0.6區間，即進入第一階固有頻率范圍，振動均方根幅值明顯增加，振動平均位置則有所下降，但開始出現齒輪拍擊現象。當轉速Ω繼續增大到0.6～1.8區間后，運動顯示出混沌特征，振動均值、均方根幅值均明顯震蕩，齒輪嚙合狀態呈現雙側拍擊。此后，系統運動交替進入相對穩定和混沌狀態，脫齒、正面拍擊和均值、均方根幅值跳躍現象增多，說明轉動愈快，嚙合間隙非線性的影響愈大，會引起很大的轉動噪聲。

圖3 第一級齒輪對動態嚙合特性(間隙b=1.2×10-4 m)

從圖3可知，由于存在間隙非線性，2階、3階共振的周期運動已經被復雜運動替代或掩蓋，且伴隨著系統的振動平衡位置不穩定、齒輪拍擊等現象，影響系統的穩定性和傳動效率。

圖4～圖5分別給出了較高轉速(Ω=2.32和Ω=3)時的時間歷程、相圖、龐加萊映射和頻譜圖。相對穩定的運動是倍周期運動(Ω=2.32)，而混沌狀態(Ω=3)，的時間歷程和相圖表現為無序狀態，頻譜圖包含更為豐富的頻率成分。

圖4 Ω=2.32時系統的響應

圖5 Ω=3系統的響應

3.2 單間隙時的系統動力學特征

僅有一個齒輪對存在間隙時，輪對相對位移的振動特征(分岔圖)如圖6所示。其中圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)是僅存在一級齒輪間隙時的情況?？梢钥吹剑旈g隙較小時(圖6(a))，系統的線性幅頻特性相對明顯，能夠清晰的看到各階共振峰值，且振幅較大的一階、二階共振基本是單頻振動。隨著間隙增大，系統的非線性特性逐漸表現出來。一方面，線性固有頻率處的振動變成復雜的多頻甚至混沌振動；另一方面，最大振幅出現的頻率位置發生變化，逐漸向二階固有頻率靠近。

分析還發現，在一階固有頻率的2倍頻附近(區間[1.2，1.6])出現了混沌響應，在3倍頻之后(區間[1.9,2.0])出現多頻振動現象。間隙的增加對二階模態固有振動特性的影響是最明顯的，即造成固有頻率降低、振幅增加，并且振動的復雜程度也最明顯。

圖6(d)、圖6(e)是分別在二級、三級齒輪存在間隙的振動情況(大小均為1.5×10-4)。二級齒輪存在間隙時，在二階固有頻率的2倍頻之后(區間[1.6,2.4])和3倍頻之后(區間[3.0,3.7])的響應都是混沌的。三級傳動間隙的特征為一階固有頻率的2倍頻之后(區間[1.4,1.6])和區間[2.3,2.5]內出現混沌響應，以及[1.6,2]的區間內的多周期響應和分岔現象。還可看出，由于x3處絲杠和滑塊的嚙合剛度值最高，對于間隙非線性更為敏感，對于同樣大小的間隙量，三級間隙對系統動力學影響程度最大。

比較圖3(a)和圖6，多間隙系統的響應包含了單間隙系統的特征，并且呈現了各間隙影響疊加的狀態，突出表現為在一階共振之后，復雜的多頻甚至混沌運動持續更大范圍，幾乎不再有單頻振動。因此，可以通過合理間隙調整，控制整個工作頻段的系統振動特性。

圖6 不同間隙情況下的系統分岔圖

4 結 論

本文針對一類含間隙和傳遞誤差的舵機系統，建立了動力學模型，分析其固有頻率、周期幅頻響應、動態傳遞誤差、運動分岔等，得到如下結果:

(1)齒輪傳動系統中的間隙不僅弱化了系統剛度，造成固有頻率降低，還會使其周期振動出現幅頻跳躍，分岔和混沌等非線性現象，并造成傳動過程中的齒輪拍擊、傳動不穩定和噪聲，對高精度控制和機構整體穩定造成影響。

(2)對于間隙造成的不穩定現象，間隙數量和大小對傳動機構影響的差別表現在：多間隙系統的響應表現為單獨間隙在各自特定區域內的非線性特性的疊加，且隨著間隙的增加呈現復雜響應增強，導致線性特性被非線性響應覆蓋的現象。

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Non-linear dynamic features of a steering gear system with backlashes

FANG Yuxin, DING Qian, ZHANG Wei

(School of Mechanical Engineering, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

A steering Gear system plays an important role in various transmission systems. Here, the dynamic behavior of a steering gear system with several backlashes was studied. Firstly, the equations of motion of a 3-DOF dimensionless system were established. Then the harmonic balance method was used to analyze the natural frequencies and amplitude-frequency responses of the system. Secondly，the system was also numerically solved with Runge-Kutta method and bifurcation, chaos and other complex dynamic phenomena were analyzed. Finally, influences of gear backlashes on dynamic features of the system were analyzed. The results indicated that both the operating parameters and the structural parameters of the steering gear system can be designed optimally to avoid undesirable dynamic motions and realize better mechanical properties.

steering gear system; backlash; non-linear dynamics; dynamic transmission error

國家自然科學基金(11272228;51575378;11332008)；天津市自然科學基金(13JCZDJC34900)

2015-10-30 修改稿收到日期：2015-12-07

方禹鑫 男，碩士，1990年生

丁千 男，教授，博士生導師，1963年4月生

TU318;P315.9