基于奇異攝動法的FFFSR全局滑模跟蹤控制及ESO振動抑制

龐哲楠， 張國良， 羊 帆,2， 吳 戈， 陳志侃

(1. 第二炮兵工程大學，西安 710025； 2. 寶雞市高新技術研究所，寶雞 721000)

基于奇異攝動法的FFFSR全局滑模跟蹤控制及ESO振動抑制

龐哲楠1， 張國良1， 羊 帆1,2， 吳 戈1， 陳志侃1

(1. 第二炮兵工程大學，西安 710025； 2. 寶雞市高新技術研究所，寶雞 721000)

針對存在參數不確定性和有界干擾的情況，討論了自由漂浮柔性空間機器人(FFFSR)關節軌跡跟蹤控制與柔性振動主動抑制的問題。利用奇異攝動法將系統分解為關節軌跡跟蹤的慢變子系統和描述柔性振動的快變子系統，進而提出含慢、快變控制項的組合控制器;設計一種改進的全局滑模函數，利用低通濾波器抑制滑模抖振，實現全局魯棒、快速收斂的關節軌跡跟蹤;對于快變子系統，采用擴張狀態觀測器(ESO)對不易測量的柔性模態坐標導數和不確定擾動進行估計，并結合LQR方法，對柔性振動進行主動抑制。數值仿真表明，該組合控制器可以在有效抑制柔性振動的同時實現對期望關節軌跡的穩定跟蹤。

自由漂浮柔性空間機器人；奇異攝動法；全局滑模控制；低通濾波器；擴張狀態觀測器；不確定性

由于空間在軌作業要求機器人具有質量輕、手臂長和負載大等特點，將空間機器人的桿件設計為輕質細長桿件，既可減小發射質量，又可節約發射成本。為獲得較好的控制精度和性能，需考慮空間機器人桿件的柔性[1-3]。在實際工程應用中，柔性空間機器人必須具備在不確定條件下仍能實現關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制的能力。文獻[4]針對柔性空間機器人及參數不確定動力學模型，將神經網絡與傳統反饋PI控制相結合，提出一種混合性機器人逆模學習控制方法。文獻[5]針對參數不確定和外部擾動的情況，提出一種任務空間內自適應控制與反步法結合的控制器設計方法，實現對期望軌跡的跟蹤控制。文獻[6]提出一種針對自由漂浮柔性空間機器人(Free-Floating Flexible Space Robot,FFFSR)模型不確定性的神經網絡自適應控制方法。由于包含振動模態的柔性機器人系統動力學方程階數較高，且柔性桿件的振動頻率一般比其關節或慣性空間的剛性運動頻率要高得多。而上述方法將剛性運動控制方案和柔性振動抑制方案在同一時間尺度上進行疊加，勢必會影響到剛性運動控制系統的魯棒性和穩定性。文獻[7]建立了一類高階柔性機械臂的奇異攝動模型并進行了仿真實驗。文獻[8]則運用奇異攝動法建立了基體振動機械臂系統的動力學方程。上述研究主要將奇異攝動法應用于柔性地面機器人，對于基座與臂桿存在動力學耦合關系的柔性空間機器人研究較少。同時，從節省控制燃料、增加空間機器人在軌壽命的角度考慮，對載體位置和姿態均不受控的研究非常必要[9-10]。本文采用奇異攝動法將FFFSR系統降階分解為兩種時間尺度的奇異攝動模型，避免了在同一時間尺度下關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制方案簡單疊加的問題。

全局滑?？刂?Global Sliding Mode Control,GSMC)具有對參數攝動和外界干擾的不變性以及全局魯棒性，彌補傳統滑模控制中趨近階段不具有魯棒性的不足[11]。文獻[12]利用全局滑?？刂?，通過設計非線性滑模面對一類不確定非線性系統實現魯棒控制。文獻[13]則針對存在參數變化和外部擾動的導彈伺服系統設計全局滑?？刂破?，并結合最優線性狀態反饋控制器，使系統具有高精度和強魯棒性的同時實現對系統不確定性的有效補償。文獻[14]設計一種指數函數形式的全局滑模函數對MEMS陀螺儀進行跟蹤控制，滑模面雖能快速收斂到零，但在初始階段存在明顯偏差，系統魯棒性無法保證。針對慢變子系統中存在參數不確定性和有界干擾的情況，本文提出一種改進的全局滑模函數，將分段多項式函數和指數函數相結合，加快跟蹤速度，實現全局魯棒的關節軌跡跟蹤。為抑制滑?？刂撇呗运a生的抖振現象，常用方法有趨近率法[15]、干擾觀測器法[16]和動態滑模法[17]等。本文采用濾波法[18]，即在滑模控制器輸出端加入低通濾波器，可消除未建模動態造成的抖振，且設計簡便，易于實現。平滑的控制力矩也保證了慢變子系統在跟蹤期望軌跡的同時，盡可能減小對柔性振動的影響。

文獻[19]針對3-PRR并聯柔性機械臂的軌跡跟蹤與振動抑制問題進行研究，采用應變率反饋(Strain Rate Feedback,SRF)控制有效地制了柔性振動。文獻[20]采用線性觀測器對柔性模態進行估計，并結合LQR(Linear Quadratic Regulator)方法，對柔性振動進行抑制。上述方案雖能抑制柔性振動，但均未考慮柔性振動的外界擾動，不符合工程實際，會對精確控制帶來誤差。擴張狀態觀測器(Extended State Observer, ESO)可將系統包含的非線性動態、系統不確定性以及外部干擾等當作可觀測的擴張狀態，無需具體的擾動模型，是一種通用的擾動觀測器。本文在描述系統柔性振動的快變子系統中采用ESO對不易測量的柔性模態坐標導數和不確定擾動進行估計，并結合最優控制理論，對柔性振動進行抑制。最后通過仿真實驗證明所設計的組合控制器具有全局魯棒、快速收斂和零穩態誤差等優點。

1 系統動力學建模

不失一般性，考慮做平面運動的FFFSR系統的結構見圖1[21]。設系統由自由漂浮的載體B0、剛性桿B1和柔性桿B2組成。建立各分體的主軸連體坐標系(Oi-xiyi)，其中O0與B0的質心OC0重合，O1為連接B1與B0的轉動中心，x0為桿B1的對稱軸。同時在O2建立坐標系(O2-x2y2)，x2與未變形前的軸線一致。設O1在x0軸上與O0的距離為a0，B1的質心OC1與O1在x1軸上的距離為a1，Bi(i=1,2)的長度為l1，w(x2,t)為B2在t時刻x2(0≤x2≤l2)點處的橫向彈性形變。Bi(i=0,1)的質量和轉動慣量分別為mi，Ii(i=0,1)柔性桿B2的均勻質量密度和彎曲剛度分別為ρ和EI。Oc為系統的總質心，M=m0+m1+ρl2為系統的總質量。

圖1 FFFSR系統

建立平動的慣性坐標系(O-xy)，設各分體在垂直于轉軸的平面內運動。θ0、θ1和θ2分別表示系統載體姿態及機械臂各個關節的相對轉角。質心OCi(i=0,1)相對于慣性坐標系原點O的矢徑為ri，r2為B2上坐標x2(0≤x2≤l2)點處的矢徑。

由于柔性桿B2在運動過程中必然會發生形變，考慮到B2的長度比其截面半徑大的多，故可忽略其軸向形變和剪切形變的影響，僅考慮其彎曲形變，可將其視為EULER-BERNOULLI梁處理。由彈性振動理論可知，柔性桿B2的彈性形變w(x2,t)可用如下的截斷模態方程描述：

(1)

式中：φi(x2)(i=1,2,…,n)為柔性桿第i階的模態函數，ηi(t)為φi(x2)對應的模態坐標，n為截斷項數。由于低階模態對柔性桿振動幅值影響較大，在盡可能不影響精度的情況下簡化計算，采用二階截斷模態，即取n=2進行分析。

綜合考慮系統的基座和剛性桿件動能Ti(i=0,1)以及柔性桿件動能T2，系統總動能為：

(2)

系統的彈性勢能V，即柔性桿的彈性勢能為：

(3)

式中：w″(x2,t)為w(x2,t)關于x2的二階偏導數。

忽略微重力梯度，由拉格朗日第二類方程和動量守恒原理可得到，基座位置、姿態均不受控的自由漂浮柔性空間機器人欠驅動形式的系統動力學方程為：

(4)

2 奇異攝動分解

本節利用奇異攝動法，將FFFSR系統降階分解為兩種時間尺度下的關節軌跡跟蹤控制慢變子系統和柔性振動抑制快變子系統。

將式(4)寫成分塊矩陣形式：

(5)

(6)

(7a)

(7b)

由于系統主要的控制目標是設計控制輸入τ使得機械臂關節能準確地追蹤期望軌跡并使部分解耦系統(式(7b))的振動得到抑制，因此該控制輸入τ可分解為兩個部分：

τ=τs(θ)+τf(η)

(8)

式中：τs(θ)為慢變控制部分;τf(η)為快變控制部分。由式(7a)和式(7b)知，關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制僅通過控制輸入τ耦合。一般來說，適當地選擇控制輸入τ可以達到關節跟蹤期望軌跡的預期控制效果，然而僅通過期望軌跡來選擇控制輸入并不能保證耦合振動模態的動力學系統穩定。故選擇奇異攝動法來同時實現關節軌跡跟蹤和柔性振動抑制。

令ε=0，并代入式(7b)可得：

(9)

式中:帶下標S的向量表示其處于慢變子系統中。

將式(9)代入式(7(a))，可得如下形式的柔性空間機器人慢變子系統表達式：

(10)

(11)

引入新的時間尺度σ=t/ε，令ε=0，可得到快變子系統為：

(12)

3 組合控制器設計

組合控制器的設計目的是得到平滑控制力矩τs使關節鉸能穩定跟蹤期望軌跡，同時獲得能有效抑制柔性振動的控制力矩τf。由于使用兩種時間尺度，慢、快變子系統的控制力矩τs和τf可在不同的時間尺度內分別進行設計，最終得到同時使關節穩定追蹤期望軌跡并能有效抑制柔性振動的控制輸入力矩τ?？刂葡到y的整體框圖見圖2。

圖2 控制系統整體框圖

3.1 慢變子系統控制器設計

為使全局滑?？刂破鬏敵龅目刂屏乇M可能平滑，抑制滑?？刂撇呗运a生的抖振現象，在滑模控制器輸出端加入低通濾波器(Low-Pass Filter,LPF)，將LPF與系統結合構造虛擬平臺，設計虛擬滑?？刂坡蓇，見圖3。

圖3 虛擬控制系統框圖

虛擬控制信號u在切換函數的影響下，存在抖振現象，但經LPF將高頻抖振控制信號有效濾除后，輸出的實際控制信號τ是連續光滑的。實際慢變子系統控制器見圖4。

圖4 實際控制系統框圖

采用如下的LPF形式：

(13)

式中：λi>0。由圖4可得：

(14)

式中：Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi>0,i=1,2,…,n。

考慮系統不確定性，自由漂浮柔性空間機器人的慢變子系統動力學方程式(10)可改寫為：

(15)

將式(15)代入式(14)得：

(16)

化簡后可得：

(17)

設理想的角度指令為θd(t)，則跟蹤誤差為：

e(t)=θ(t)-θd(t)

(18)

設計滑模面函數為：

(19)

f(t)是為了達到全局滑模而設計的函數，且f(t)滿足以下三個條件[11]：

2)當t→∞時，f(t)→0；

3)f(t)的一階導數存在且有界。

依據上述三個條件，將f(t)設計為：

f(t)=f(0)e-kt

(20)

式(20)滿足全局滑模條件，等價于給滑模面函數添加了指數趨近項。由圖5可知，f(t)在初始階段收斂速度過快，對于滑模面函數s(t)的作用并不明顯，使得無法完全消除滑模控制的趨近階段，即無法滿足全局魯棒。

本文在此基礎上，提出一種分段多項式函數和指數函數相結合的全局滑模函數形式，其表達式為：

圖5 全局滑模函數變化率對比圖

定義LYAPUNOV函數為：

(22)

將V對時間求導，可得：

(23)

(24)

(25)

式中：

(26)

(27)

成立。

根據性質2，H可寫為：

(28)

式中：φ為未知向量。存在已知向量φ0，使得：

(29)

式中：εi>0,i=0,1,…,n。則

(30)

設計滑?？刂坡蔀椋?/p>

(31)

定理1 針對含不確定參數的慢變子系統(15)，存在控制律(31)使得系統輸出漸近穩定跟蹤期望軌跡，并一致最終有界。

證 將控制律u代入式(30)，進行化簡得到：

(32)

(33)

證畢。

為了進一 步減弱抖振的影響，采用飽和函數替代符號函數。將飽和函數設計為：

(34)

式中：δ>0。

u=-Λ-1[Γφ0+κsat(s)]

(35)

3.2 快變子系統控制器設計

為更加精確地進行快變子系統的控制器設計，需考慮柔性振動系統中的不確定部分，式(12)改寫為：

(36)

定義快變子系統的輸出向量：

(37)

并假定輸出變量y可通過測量方式獲得。

由于(Af,Bf,C)可控可觀，則采用狀態觀測器估計值形成狀態反饋時，其系統的狀態反饋設計和觀測器設計可分別獨立進行。

對系統進行狀態反饋設計時，針對標稱系統，采用線性二次型調節器(LQR)進行柔性振動抑制，即使系統狀態ζ調節到零。以減少柔性振動和控制能量消耗為優化目標，構造如下形式的最優控制性能指標函數：

(38)

式中：Q和R分別為狀態向量ζ和控制向量τf1對性能指標影響的相對重要性所占權重。則快變子系統的最優控制為：

(39)

式中：P為下列Riccati方程的解。

(40)

針對控制率中的不確定補償項τf2?。?/p>

τf2=-δ/b

(41)

將τf=τf1+τf2代入式(42)可得：

(42)

采用ESO方法，將δ視為一個擴張狀態，在式(36)的基礎上得到狀態擴張系統為：

(43)

針對系統式(43)設計ESO：

(44)

gi的選擇極其關鍵，目前大多數采用如下帶有線性區的非線性函數：

(45)

結合式(44)和式(45)，取gi(eo1)=eo1，可得：

(46)

式中：Hk=[β1,β2,β3]為待確定的觀測增益向量。

通過式(47)可完成對系統狀態的估計，此時快變子系統控制律為：

(47)

將慢變子系統的全局滑模控制部分τs與快變子系統最優控制部分τf結合，利用式(8)，得到使關節穩定跟蹤期望軌跡并能有效抑制柔性振動的控制力矩τ。

4 仿真校驗

以圖1所示平面FFFST為例，驗證所提方法的有效性。系統慣性參數見表1所示。

B2桿單位長度的密度為ρ=1 kg/m，均勻彎曲剛度為EI=200 Pa。仿真時假設柔性空間機器人關節鉸的期望運動軌跡為θd(t)=[costcost](rad)，初始角度為θ0=[0 0](rad)，柔性桿的初始、期望模態坐標均為η0=ηd=[0,0](m)。選取慢變子系統控制參數κ=diag(6,5,5)，LPF參數Λ=diag(25,25,25)，滑模面參數Λ1=diag(5,5,5),Λ2=diag(50,50,50)，全局滑模函數參數T=1.1 s，k=7.9，不確定部分τd=[0.2sint0.15cost](rad)。

選取快變子系統權值陣Q(ζ)=104×diag{8,8,8,8}，R(ζ)=10-1×diag{2,2}，觀測器參數β1=β2=100，β3=200，μ1=μ2=μ3=0.5，α=0.01，不確定擾動δ=[0.001sint0.001cost](rad)。仿真時間為10.0 s。仿真結果見圖6～圖15，其中圖6～圖12為關節軌跡跟蹤仿真結果；圖13～圖15為柔性振動抑制仿真結果。

圖6 改進前關節位置跟蹤軌跡圖Fig.6 The comparison between the desired angular position and the actual one before improved

表1 空間機器人模型慣性參數

圖7 改進后關節位置跟蹤軌跡圖

圖6、圖7分別為全局滑模函數f(t)改進前后，關節鉸位置跟蹤軌跡圖，表明采用基于低通濾波器的全局滑?？刂破髂軌蚩朔淮_定性的影響，實際軌跡均能穩定跟蹤期望軌跡，但改進f(t)后跟蹤速度明顯加快。

圖8、圖9分別表示全局滑模函數f(t)改進前后s函數的變化。不難發現，改進前后s函數均能快速趨近滑模面，在零值附近微小波動，但改進前s函數在初始階段存在較大偏差，魯棒性無法保證；而改進后s函數波動范圍更小，魯棒性更強。

圖8 改進前s函數變化圖

圖9 改進后s函數變化圖

圖10為f(t)改進前后關節鉸位置跟蹤軌跡誤差對比圖。對比圖6～圖9，說明全局滑模函數f(t)改進后關節軌跡跟蹤誤差收斂速度明顯加快，滑動模態運動更加穩定，具有更強的魯棒性。

圖10 關節跟蹤軌跡誤差對比圖

圖11、圖12為改進f(t)后，LPF濾波前后關節鉸的控制力矩，即虛擬控制力矩和實際控制力矩。表明經LPF濾除高頻控制信號后的實際控制力矩有效抑制了抖振，在保證關節軌跡跟蹤精度的同時，盡可能減小了對柔性桿件的影響。

圖11 虛擬控制力矩

圖12 實際控制力矩

圖13以柔性桿一階振動模態為例，在未經過柔性振動主動抑制的情況下，對比虛擬和實際力矩控制下的模態坐標。不難發現，實際力矩控制下的模態坐標收斂速度更快，以更小振動幅值趨于穩態，說明經LPF濾波后的實際控制力矩對柔性振動的影響更小。

圖13 不同力矩下模態對比圖

圖14 未主動抑制柔性模態

圖15 主動抑制柔性模態

圖14、圖15分別為未經過主動抑制和主動抑制后的柔性振動一、二階模態。不難發現，經主動抑制后的柔性振動模態幅值減小，收斂迅速，說明基于ESO的振動抑制優化控制器能夠對柔性振動進行有效抑制。

5 結 論

對于存在參數不確定性與有界干擾的自由漂浮柔性空間機器人系統，本文利用奇異攝動法提出了一種基于低通濾波器的改進全局滑模關節軌跡跟蹤控制器和基于ESO的振動抑制優化控器相結合的組合控制器設計方法，實現了關節軌跡的穩定跟蹤和對柔性振動的有效抑制。理論推導和仿真分析表明：

(1)引入低通濾波器對高頻控制信號進行有效濾除，消除滑模控制的抖振現象，使關節在跟蹤期望軌跡的同時對柔性振動帶來盡可能小的影響；

(2)提出一種分段多項式函數與指數函數相結合的全局滑模函數形式，加快關節跟蹤速度，并保證響應全程具有魯棒性，克服不確定性的影響；

(3)引入ESO對不易測量的柔性振動模態坐標導數和未知擾動進行估計，避免測量噪聲的干擾以及不確定干擾，更貼合工程實際，有效抑制了柔性振動。

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Global sliding mode tracking control and ESO vibration suppression for a FFFSR based on singular perturbation method

PANG Zhenan1, ZHANG Guoliang1, YANG Fan1,2, WU Ge1, CHEN Zhikan1

(1.The Second Artillery Engineering University, Xi’an 710025, China；2. Baoji New High Tech Research Institute, Baoji 721000, China)

Joints trajectory tracking control and flexible vibration active suppression techniques for a free-floating flexible space robot (FFFSR) were discussed under parameter uncertainties and bounded disturbance. A composite controller containing a slow control subsystem for joints trajectory tracking control and a fast control subsystem for describing flexible vibration was proposed using the singular perturbation method. In the slow subsystem, an improved global sliding mode function with a low-pass filter to suppress sliding mode chattering was designed to achieve global robust and fast convergence of joints trajectory tracking. The fast subsystem adopted an extended state observer (ESO) to estimate coordinate derivatives of flexible modes and uncertain disturbance measured hardly, and used LQR method to suppress the flexible vibration. Numerical simulation results demonstrated the feasibility and effectiveness of the proposed control strategy.

free-floating flexible space robot (FFFSR); singular perturbation method; global sliding mode control (GSMC); low-pass filter (LPF); extended state observer (ESO); uncertainty

中國工程院與國家自然科學基金委聯合資助(2014-zcq-10)

2016-01-13 修改稿收到日期：2016-03-20

龐哲楠 男，碩士，1992年生

張國良 男，博士，教授，1970年生

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