響應(yīng)面法用于磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型修正*

陶 征， 劉 旭， 郭勤濤

(1.鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 南京，210016)

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響應(yīng)面法用于磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型修正*

陶 征1， 劉 旭1， 郭勤濤2

(1.鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 鄭州，450001) (2.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院 南京，210016)

大型設(shè)備傳動(dòng)系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)影響系統(tǒng)的正常工作，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)損壞，避免共振是緩解扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的有效手段，針對(duì)此問(wèn)題，以某大型磨機(jī)設(shè)備為研究對(duì)象，建立以響應(yīng)面法的有限元模型修正理論為基礎(chǔ)的方法。通過(guò)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析，經(jīng)顯著參數(shù)篩選，以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型可能存在的誤差進(jìn)行修正。在獲得較精確模型的基礎(chǔ)上，對(duì)其傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了基于響應(yīng)面的優(yōu)化設(shè)計(jì)，調(diào)整系統(tǒng)的模態(tài)頻率，使其有效避開(kāi)了系統(tǒng)的工作頻率，實(shí)現(xiàn)了傳動(dòng)系統(tǒng)的優(yōu)化，表明以響應(yīng)面法的有限元模型修正方法對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有參考價(jià)值。

傳動(dòng)系統(tǒng)； 響應(yīng)面法； 模型修正； 扭轉(zhuǎn)振動(dòng)

引 言

隨著機(jī)械工業(yè)技術(shù)的進(jìn)步，機(jī)械設(shè)備的設(shè)計(jì)水平在不斷提高，其傳動(dòng)系統(tǒng)也越來(lái)越復(fù)雜。如果傳動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)不合理，就有可能使機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生較大的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)而損壞，使機(jī)械設(shè)備無(wú)法正常工作，甚至出現(xiàn)嚴(yán)重后果。美國(guó)馬凱德水泥廠就曾經(jīng)因?yàn)閭鲃?dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的不合理使其所用的設(shè)備產(chǎn)生共振[1]。重慶地維水泥公司的球磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)也出現(xiàn)過(guò)劇烈的振動(dòng)現(xiàn)象[2]。

基于有限元模型修正的方法對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析，成為優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高機(jī)械設(shè)備整體動(dòng)態(tài)性能的一個(gè)基本方法?；陧憫?yīng)面的有限元模型修正方法是近年來(lái)有限元模型修正技術(shù)新的研究方向[3-6]，其以顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量與設(shè)計(jì)參數(shù)間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系，可以更好地解決傳動(dòng)系統(tǒng)中存在的不確定參數(shù)這一問(wèn)題，同時(shí)修正過(guò)程運(yùn)行快、效率高。

筆者針對(duì)某大型磨機(jī)在設(shè)計(jì)過(guò)程中要求避免產(chǎn)生共振的問(wèn)題，首先，通過(guò)建立其傳動(dòng)系統(tǒng)的有限元模型，以實(shí)際磨機(jī)的固有頻率為目標(biāo)，基于響應(yīng)面法對(duì)其有限元模型進(jìn)行了模型修正，獲得精度較高的有限元模型；然后，通過(guò)坎貝爾圖確定系統(tǒng)共振頻率的半功率共振區(qū)，進(jìn)而對(duì)有限元模型進(jìn)行新的目標(biāo)參數(shù)優(yōu)化，從而使得在新的設(shè)計(jì)參數(shù)下的磨機(jī)系統(tǒng)共振頻率有效的避開(kāi)了主要工作頻率，最終達(dá)到了解決磨機(jī)在工作過(guò)程中產(chǎn)生共振問(wèn)題的目的。

1 理論基礎(chǔ)

基于響應(yīng)面的有限元修正法包含的理論基礎(chǔ)主要有試驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)篩選、響應(yīng)面擬合及參數(shù)修正[7-8]。

1.1 顯著性參數(shù)篩選

響應(yīng)面的輸入?yún)?shù)應(yīng)是具有對(duì)特征量有顯著影響的設(shè)計(jì)參數(shù)。顯著參數(shù)的篩選方法是以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，在參數(shù)的設(shè)計(jì)空間內(nèi)確定樣本點(diǎn)，利用樣本點(diǎn)進(jìn)行有限元分析計(jì)算獲得樣本值，并對(duì)其進(jìn)行方差分析，進(jìn)而達(dá)到確定影響系統(tǒng)特性的顯著性參數(shù)的目的。筆者以模態(tài)頻率為指標(biāo)，挑選顯著參數(shù)作為待修正對(duì)象。

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有D-最優(yōu)設(shè)計(jì)、正交設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)、拉丁方設(shè)計(jì)及中心復(fù)合設(shè)計(jì)等[9]。運(yùn)用正交設(shè)計(jì)方法和均勻設(shè)計(jì)方法擬合低階模型可獲得良好的精度，同時(shí)它們還具有直接通過(guò)表格設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單高效的特點(diǎn)，所以筆者采用正交設(shè)計(jì)和均勻設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法，來(lái)進(jìn)行參數(shù)的篩選和響應(yīng)面擬合。

方差分析用于檢驗(yàn)因素是否顯著影響試驗(yàn)結(jié)果。其基本思想是計(jì)算由各個(gè)因素引起的離差平方和及由誤差引起的離差平方和，然后除以各自的自由度，求出它們的比值(F值)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。假設(shè)對(duì)有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)X(因素)進(jìn)行F檢驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)量則為

(1)

其中：SX，SE分別為因素和誤差的離差平方和；fX，fE分別為因素和誤差的自由度。

1.2 響應(yīng)面擬合

在有限元模型修正中，通常以二次多項(xiàng)式作為響應(yīng)函數(shù)，其表達(dá)的曲面即為響應(yīng)面。假設(shè)系統(tǒng)的特征量y為因變量，設(shè)計(jì)參數(shù)為xi，i=1，2，…，k，含交互項(xiàng)的二次多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)形式為

(2)

若樣本點(diǎn)不足，可以通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)增加新的樣本點(diǎn)，進(jìn)而在有限元模型中計(jì)算樣本值，然后將所有樣本數(shù)據(jù)代入式(2)，通過(guò)最小二乘法獲得系數(shù)β的估計(jì)

(3)

解式(3)可得β值，即得到響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式。為進(jìn)一步提高響應(yīng)面的精度，采用了含交互項(xiàng)的三次多項(xiàng)式作為響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)下列公式進(jìn)行響應(yīng)面精度檢驗(yàn)

R2值表示響應(yīng)面模型與有限元模型之間的差異程度，值越大，二者差異越小。RMSE的值與R2值相反。若檢驗(yàn)后的精度不符合要求，則需要增加樣本點(diǎn)數(shù)。

1.3 參數(shù)修正

有限元模型修正可歸結(jié)為以下優(yōu)化問(wèn)題

s.t.VLB≤p≤VUB

(6)

2 磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析

某大型磨機(jī)的傳動(dòng)系統(tǒng)如圖1所示。其中：1為電機(jī)；2為電機(jī)端高速聯(lián)軸器；3為減速器端高速聯(lián)軸器；4為減速器；5為減速器端低速聯(lián)軸器；6為小齒輪軸聯(lián)軸器；7為小齒輪；8為磨機(jī)(包括磨機(jī)筒體、大齒輪及載荷)。

圖1 某磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)圖Fig.1 The transmission system diagram of a mill

2.1 初始有限元模型的建立

當(dāng)量扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)是研究傳動(dòng)系統(tǒng)扭振問(wèn)題應(yīng)用最為廣泛的一種模型，它將系統(tǒng)中各部件作為集中質(zhì)量考慮，通過(guò)扭轉(zhuǎn)剛度連接，構(gòu)成單一軸線的當(dāng)量扭振模型[10]。建立當(dāng)量模型時(shí)，原系統(tǒng)各部件參數(shù)可向任一傳動(dòng)軸等效轉(zhuǎn)換，但需要按轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能保持不變的原則，來(lái)確定轉(zhuǎn)換后模型中各部件的參數(shù)。參數(shù)的等效方法依照式(7)和式(8)

(7)

(8)

其中：Ir，Kr分別為第r軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和扭轉(zhuǎn)剛度；Is，Ks分別為等效到第s軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和扭轉(zhuǎn)剛度；ur-s為第r軸和第s軸的轉(zhuǎn)速比。

筆者使用有限元軟件PATRAN建立傳動(dòng)系統(tǒng)的集中質(zhì)量有限元模型，該模型共有8個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和7個(gè)扭轉(zhuǎn)剛度，分別為依照式(7)、式(8)等效到高速電機(jī)軸后各個(gè)部件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其之間的扭轉(zhuǎn)剛度，如圖2所示。

圖2 某磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)歸一化扭振模型
Fig.2 The normalized torsional vibration model

2.2 模型的修正

對(duì)于待修正參數(shù)的選擇，由于傳動(dòng)系統(tǒng)各部件在幾何參數(shù)和材料確定后，所有的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1～J8以及軸的扭轉(zhuǎn)剛度K1，K3，K4，K6都可以確定，但是在傳動(dòng)系統(tǒng)復(fù)雜工況下，聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)剛度K2，K5及齒輪嚙合剛度K7具有存在誤差或不確定性，所以被選作待修正參數(shù)，分別用A，B，C表示。利用正交設(shè)計(jì)方法，確定各組樣本數(shù)據(jù)，基于方差分析得出了所有模態(tài)的顯著性參數(shù)篩選結(jié)果，見(jiàn)表1(取顯著水平α=0.05)。

表1 顯著性參數(shù)篩選結(jié)果

Tab.1 The result of significant parameters selection

模態(tài)階次顯著性參數(shù)1ABC2ABC3AB4A5C6C7B

擬合含交互項(xiàng)的三次多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)，至少需要13組樣本數(shù)據(jù)，但是由于之前正交設(shè)計(jì)確定的樣本數(shù)據(jù)只有9組，于是筆者又采用均勻設(shè)計(jì)方法確定新的樣本數(shù)據(jù)，最終擬合響應(yīng)面的樣本數(shù)據(jù)增至20組。以模態(tài)頻率為因變量，以3個(gè)待修正參數(shù)為自變量，擬合含交互項(xiàng)的三次多項(xiàng)式響應(yīng)函數(shù)。由于設(shè)計(jì)空間范圍過(guò)小，會(huì)造成樣本點(diǎn)代表性不足，影響響應(yīng)面的精度，也會(huì)造成目標(biāo)值不在響應(yīng)面所表示的范圍內(nèi)，造成修正結(jié)果失效的問(wèn)題。圖3是第1階模態(tài)頻率的直觀響應(yīng)面曲面，[-1,1]是參數(shù)歸一化空間，從圖中可以看出在參數(shù)設(shè)計(jì)空間內(nèi)，該階模態(tài)頻率的實(shí)測(cè)值6.26 Hz在響應(yīng)面表示范圍5.6～6.4 Hz內(nèi)，表明參數(shù)的設(shè)計(jì)空間范圍是合理的。

圖3 第1階模態(tài)頻率的響應(yīng)面Fig.3 The response surface of first order modal frequency

以磨機(jī)產(chǎn)生振動(dòng)的實(shí)測(cè)模態(tài)頻率作為目標(biāo)值，基于響應(yīng)面并通過(guò)Matlab對(duì)初始有限元模型進(jìn)行修正。修正的結(jié)果見(jiàn)表2。從表2中可以看出，7階模態(tài)頻率的最大誤差由-7.03%降為4.24%，均方誤差由5.21%降為2.01%，說(shuō)明有限元模型的精度有明顯改善，更接近實(shí)際傳動(dòng)系統(tǒng)的情況。

表2 修正前后頻率及誤差

Tab.2 The frequencies and errors before and after the updating

模態(tài)階次目標(biāo)值/Hz初始值/Hz修正后值/Hz初始誤差/%修正后誤差/%16．265．826．15-7．03-1．76224．2925．9325．326．754．24370．3268．8371．86-2．122．194171．40163．42170．61-4．66-0．465216．29217．47214．860．55-0．666443．91419．27448．53-5．551．047562．74528．15566．82-6．140．73

2.3 模態(tài)頻率的調(diào)整

判斷系統(tǒng)是否共振的一種方法是基于坎貝爾圖，觀察系統(tǒng)工作頻率是否落在了半功率共振區(qū)[11]?？紤]到阻尼比為0.1時(shí)發(fā)生共振的半功率帶寬約是±10%，所以由系統(tǒng)實(shí)際的固有頻率及系統(tǒng)的工作頻率得到傳動(dòng)系統(tǒng)的坎貝爾圖如圖4所示。傳動(dòng)系統(tǒng)小齒輪工作頻率2.8及53.55 Hz的2倍頻及3倍頻與第1、第4階模態(tài)有沖突(圖中橢圓圈住部分)，此外第2、第7階模態(tài)與磨機(jī)筒體工作頻率9.52 Hz的3倍頻以及減速器工作頻率314 Hz的2倍頻有沖突的危險(xiǎn)，因此需要提高第1、第4階模態(tài)頻率，以避開(kāi)系統(tǒng)工作頻率，同時(shí)也要避免第2、第7階模態(tài)頻率與工作頻率沖突的發(fā)生。

圖4 傳動(dòng)系統(tǒng)的坎貝爾圖Fig.4 The Campbell diagrams of transmission system

再次通過(guò)基于響應(yīng)面的有限元修正方法，選擇出對(duì)第1，2，4，7階模態(tài)影響顯著的可調(diào)參數(shù)J2，J3，K2，J5，J6及K5等，即聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與扭轉(zhuǎn)剛度，在參數(shù)設(shè)計(jì)空間內(nèi)確定樣本數(shù)據(jù)，擬合響應(yīng)面。以第1、第4階頻率提高后的4階模態(tài)頻率為目標(biāo)值，以聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與扭轉(zhuǎn)剛度為待修正參數(shù)，基于響應(yīng)面并通過(guò)Matlab對(duì)新的有限元模型再次修正，得到修正過(guò)程中參數(shù)變化曲線如圖5所示。

圖5 參數(shù)變化曲線Fig.5 The changing curves of parameter

修正后的頻率見(jiàn)表3。從表3可以看出，修正后的第1、第4階模態(tài)頻率得到提高，分別由6.15，170.61 Hz增至6.62和184.39 Hz。雖然其他模態(tài)也有變化，但都避開(kāi)了系統(tǒng)的工作頻率，遠(yuǎn)離半功率共振區(qū)。將修正后的聯(lián)軸器各參數(shù)等效值按式(7)、式(8)換算為實(shí)際值，其結(jié)果及相對(duì)調(diào)整量見(jiàn)表4，根據(jù)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的聯(lián)軸器各參數(shù)值調(diào)整磨機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)，結(jié)果表明磨機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定，避免了共振現(xiàn)象的發(fā)生。

表3 修正后頻率及相對(duì)改變量

Tab.3 The frequencies after updating and the values of relative change

模態(tài)階次修正后值/Hz相對(duì)改變量/%16．627．64225．330．04376．676．694184．398．085210．84-1．876444．24-0．967564．09-0．48

表4 優(yōu)化前后聯(lián)軸器各參數(shù)值及調(diào)整量

Tab.4 The values of coupling parameters before and after optimization and adjustment

可調(diào)參數(shù)修正前修正后調(diào)整量/%轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/(kg·m2)J237．236．5-1．88J366．864．3-3．74J598．7112．914．39J696．3111．315．58扭轉(zhuǎn)剛度/((N·m)·rad-1)K21．31×1071．63×10724．43K55．63×1086．05×1087．46

3 結(jié)束語(yǔ)

響應(yīng)面模型可以準(zhǔn)確地反映設(shè)計(jì)參數(shù)與特征量之間的關(guān)系，有效替代有限元模型，避免每次迭代修正都要進(jìn)行有限元分析，具有快速運(yùn)行模型的特點(diǎn)。將響應(yīng)面法應(yīng)用到機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的研究上，從不確定性因素中合理選取顯著參數(shù)，以實(shí)測(cè)共振模態(tài)頻率為依據(jù)，進(jìn)行模型修正，進(jìn)而對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。實(shí)踐表明，優(yōu)化后的磨機(jī)運(yùn)行穩(wěn)定，性能良好，達(dá)到了工程要求。針對(duì)大型機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)扭振問(wèn)題，若在設(shè)計(jì)和研制階段就利用上述方法對(duì)其進(jìn)行分析，可以為設(shè)備良好的可靠性及動(dòng)態(tài)性能提供保證。

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*江蘇省工程力學(xué)分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金資助項(xiàng)目；鄭州市普通科技攻關(guān)計(jì)劃資助項(xiàng)目(131PPTGG409)

2014-11-24；

2015-01-09

TH113； O327

陶征，男，1970年7月生，博士、講師。主要研究方向?yàn)槌曤姍C(jī)及機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析。曾發(fā)表《基于ANSYS的CX8075加工中心底座的優(yōu)化設(shè)計(jì)》(《振動(dòng)、測(cè)試與診斷》2012年第32卷第6期)等論文。 E-mail：taozheng@zzu.edu.cn