有限元法在透平葉片振動研究中的應用*

王南飛， 南國防， 蔣東翔

(1.清華大學熱能工程系 北京，100084)(2.上海理工大學能源與動力工程學院 上海，200093)

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有限元法在透平葉片振動研究中的應用*

王南飛1， 南國防2， 蔣東翔1

(1.清華大學熱能工程系 北京，100084)(2.上海理工大學能源與動力工程學院 上海，200093)

以透平葉片振動分析理論為基礎,對實驗室的等截面直葉片分別通過理論法和有限元法求解其前7階的切向彎曲自振頻率并加以比較。利用有限元法對葉片及頂部圍帶相互連接的葉片組在不同轉速下進行模態分析,得到葉片及葉片組動力剛化效應振動模態數值分析結果，并對結果進行了分析比較。對于頂部圍帶不連接的葉片組，利用有限元法通過構造彈簧模型來處理頂部圍帶的接觸問題，所得結果真實反映了汽輪機運行過程中圍帶的碰撞和葉片的振動情況。

透平葉片; 模態分析; 有限元; 動力剛化; 彈簧模型; 接觸

引 言

葉片疲勞斷裂是透平機械在運行過程中的一種常見事故。其原因往往是由于葉片的共振應力過大[1]。研究葉片振動的方法很多[2-8]，而通過有限元進行模態分析研究葉片及葉片組的頻率和振型是其中一種行之有效的方法[9-10]。

以往在研究透平機械葉片的振動模態時，關注較多的是葉片的形狀、結構及葉根阻尼[1]等因素，而工作環境對葉片固有頻率及振型的影響關注比較少。實際情況中，離心力場、氣動力場、溫度場及熱力場[11]等因素都會使葉片材料的機械性能發生變化或在葉片內部產生預應力，導致應力剛化現象，進而影響葉片的固有頻率和振型[12]。孫強等[13]以某型航空發動機壓氣機第6級的葉片為例，研究了溫度對葉片振動頻率的影響。文獻[14]對汽輪機葉片振動進行了研究，就靜摩擦參數和動摩擦參數對葉片振動的影響進行了分析。

1 等截面直葉片模型的建立和求解

1.1 理論求解葉片切向彎曲自振頻率

由文獻[15]可以得到等截面直葉片切向彎曲的自振頻率求解公式

(1)

其中:E為材料的彈性模量；I為葉片截面慣性矩；ρ為葉片的材料密度；F為葉片的橫截面積。

根據A型振動(葉根固定、葉頂自由的振動)和B型振動(葉根固定、葉頂不動的振動)所滿足的約束條件，可以得到含kl的頻率方程式。A型振動頻率方程式為cos(kl)ch(kl)=-1，其中l為葉高；B型振動頻率方程式為tan(kl)=th(kl)。利用Matlab編程求解頻率方程式，可以得到kl的值。因葉片材料已知，其密度ρ=7.75×103kg/m3，泊松比μ=0.3，彈性模量E=2.167×1011N/m2。量取實驗室葉片的真實幾何參數，按照1∶1在Solidworks建立葉片模型，利用Solidworks的面域屬性得到葉片橫截面的面積和葉片截面慣性矩，帶入式(1)可得到前7階A型振動和B型振動切向彎曲的自振頻率，其求解結果如表1所示。

1.2 有限元法求解葉片切向彎曲自振頻率

有限元法是將實體模型離散化近似求解連續場問題的數值方法。對于非旋轉狀態下的任何系統，其運動方程[16]為

Mu″+Cu′+Ku=F

(2)

其中：M為結構的質量矩陣；C為結構的阻尼矩陣；K為結構的剛度矩陣；F為外力矢量；u″為加速度矢量；u′為速度矢量；u為位移矢量。

在本研究分析過程中，可將葉片看成是一端固定在葉輪上的無阻尼自由振動的物體，因此式(2)變為

Mu″+Cu′+Ku=0

(3)

式(3)解的形式為

(4)

其中：X為模態形狀；ω為固有頻率。

將式(4)帶入式(3)得

(5)

令λ=ω2，則式(5)存在非零解的條件為

(6)

式(5)稱為廣義特征方程，是λ的n次代數方程，可得

(7)

通過求解特征值式(7)，可以求得模態形狀X和固有頻率ωi。

研究旋轉狀態下的葉片動力學特性需要考慮旋轉離心力的作用，由于旋轉離心力的作用，葉片在旋轉時會產生“動力剛化”效應[17],該效應由葉片剛體運動和彈性變形的耦合引起并導致葉片固有頻率的變化。同時，葉片受旋轉慣性力的影響，還需計入幾何剛度矩陣，即在非旋轉狀態下分析方程的基礎上，對剛度矩陣一項進行修改，得到[18]

(8)

其中：K0為葉片的常規有限元剛度矩陣；Kd為剛體運動與彈性變形的耦合作用產生的動力剛度矩陣；Kg為離心慣性力產生的幾何剛度矩陣。

當綜合考慮旋轉葉片幾何剛度矩陣和動力剛度矩陣時，葉片各階固有頻率隨轉速仍會有所增加，說明了旋轉葉片存在動力剛化。只有綜合考慮葉片的剛體轉動和彈性變形的耦合和軸向慣性力所引起的彎曲剛度的變化，才能夠得到較為精確的旋轉葉片的動力特性分析結果[18]。

通過改變旋轉轉速可以改變Kg的大小，從而得到不同轉速下的固有頻率與振型圖。因此旋轉狀態下葉片動力學特性分析方程[18]為

(9)

對于本研究中的透平等截面直葉片，首先利用Solidworks建立三維實體模型，所建立的模型如圖1所示。由于有限元軟件ANSYS的分析模塊與Solidworks是無縫集成的，將三維實體模型保存為x_t格式，以便ANSYS讀取。針對葉片自身形狀和材料的特點，采用solid185單元，運用ANSYS的MESHING功能，對葉片進行網格劃分。A型振動和B型振動約束和劃分網格后的模型如圖2所示。其中圖2(a)中的葉片單元數為497 921，圖2(b)中有542 888個單元。按照有限元分析的一般步驟，直接在ANSYS中進行邊界設置、求解控制等操作，邊界設置時對葉根進行全約束，把葉根x,y,z方向的自由度都約束為0。

圖1 真實葉片和Solidworks建立的葉片模型Fig.1 Real blade and 3D model by the Solidworks

圖2 葉片的有限元模型Fig.2 FEM model of turbine blade

圖3 前3階切向彎曲振動振型Fig.3 The first three-order tangential bending vibration modes

利用ANSYS分析得到A型和B型切向彎曲振動的前7階自振頻率，如表1所示。同時從圖3振型中(只列舉前3階切向彎曲振動)可清晰地看出，無論對于A型振動(左側)還是B型振動(右側)，振動過程中出現的節點(振型中保持不動的點)和理論分析的結果很吻合。

表1 切向彎曲振動前7階自振頻率

由表1可得，通過理論計算和有限元求解得到的A型振動和B型振動的前4階自振頻率值非常接近。之所以只看前4階的自振頻率，是因為當頻率越大時，振幅越小，后面的高自振頻率即使出現，也不危險。導致誤差的原因有ANSYS分析時所選的單元類型的合適程度、劃分網格的精細程度及數字信號分析誤差等。

1.3 考慮動力剛化時葉片模態計算結果

在實際的運行狀態下，由于離心力載荷的作用，葉片產生拉伸變形，模態有可能與靜止狀態產生很大差別，所以必須予以考慮。影響旋轉件頻率變化的一種原因是由于離心力對葉片運動產生的預應力的影響，造成了葉片剛度的增加，從而使模態頻率升高。

對于做A型振動和B型振動的等截面直葉片，其約束方式與做固有頻率分析時的約束方式相同，并根據葉輪尺寸確定葉片旋轉的旋轉軸。在不同轉速下利用ANSYS做靜態分析，求出對應的離心力作為預應力，然后再進行模態分析。分別求解葉片在轉速為0，3，6，9 kr/min下考慮剛化效應的前7階固有頻率。約束并劃分網格然后進行求解，A型振動和B型振動求解后前7階的頻率結果如表2所示，其第1,2階頻率隨轉速關系如圖4所示。

表2 動力剛化對葉片固有頻率的影響

圖4 第1，2階頻率隨轉速的變化Fig.4 Relationship between the natural frequency and rotate speed

由表2可以看出，無論是A型振動還是B型振動，剛化效應對葉片振動頻率的影響是隨葉片轉速增加而增大。表2中對應A型振動，在透平機械轉速為6kr/min時，葉片剛化效應對其固有頻率已有較大影響，第1階切向彎曲振動頻率從288.45Hz變為301.74Hz，相應的軸向彎曲振動頻率從608.39Hz變為616.31Hz。從圖4(a)中可以看出，第1，2階頻率隨轉動角速度變化的趨勢也表明，旋轉葉片存在動力剛化，對頻率的影響隨轉動角速度增大而增大，同時第1階隨轉速變化較快，第2階變化較慢，說明慣性力對切向彎曲剛度的影響大于對軸向彎曲剛度的影響[19]。

由表2中對應B型振動(第1，2行)和圖4(b)可看出，隨著轉速的增大，頻率也有略微的增加，但是并沒有A型振動那么明顯。這是因為葉片的動頻率與其轉速的關系[15]有關

(10)

其中：fd為動頻率；f為靜頻率；B為動頻系數；ns為轉子每秒轉速。

2 考慮動力剛化葉片組模態計算結果

因為在實際運行過程中，除葉片本身在組內振動之外，整個葉片組也將產生振動。下面分析3個等截面直葉片構成的葉片組在不同轉速下的頻率和振型。其中葉片頂部相鄰的圍帶之間采用ANSYS中的bonded約束方式，利用solid185和solid285兩種單元類型劃分網格，得到1 129 859個單元，求解靜頻率時對葉片根部的所有自由度都約束為0。求解動頻時根據幾何尺寸確定旋轉軸，將葉片根部的所有自由度也都約束為0，將離心力作為預應力進行模態分析，其前7階的頻率結果如表3所示，其第1，2階頻率隨轉速的關系如圖5所示，對應的前3階的振型圖如圖6所示。圖6(a)的左側代表轉速為0時前3階的振型，圖6(b)代表轉速為9kr/min時前3階的振型。

從表2和表3對應可以看出，第1階固有頻率從單葉片的288.45Hz變為323.00 Hz，第2階固有頻率從608.39Hz降為529.52Hz。這是由于透平葉片間的振動相互影響和耦合，葉片安裝于葉輪之上，而葉輪并非完全剛性，計算時對葉輪端面的約束相當于對葉片的彈性約束，加上求解時劃分網格的精細程度不同，因此葉片組前2階的頻率和單葉片前2階的頻率差不多或者更低。

表3 動力剛化對葉片組固有頻率的影響

圖5 葉片組第1，2階頻率隨轉速的變化Fig.5 Relationship between the natural frequency and rotate speed

圖6 前3階葉片組的振型Fig.6 The first three orders vibration modes of blade group

由圖5可以看出，旋轉的葉片組也存在動力剛化，對頻率的影響隨轉速的增大而增大，第1階的頻率值隨轉速變化較快，而第2階變化較慢，說明慣性力對切向彎曲剛度的影響大于對軸向彎曲剛度的影響，該結論和單個葉片的相同。

圖6中轉速為0和轉速為9kr/min下前3階的陣型圖對比可以看出，轉速雖使葉片組產生動力剛化效應，但是其對應的陣型圖并沒有改變，即第1階都對應葉片組的切向彎曲振動，第2階都對應軸向彎曲振動，第3階都對應扭轉振動。同時和單葉片的振型對比可看出，對于葉片組其扭轉振動會提前。

3 有限元法求解兩個葉片組頻率

因為在汽輪機的運行過程中，有時是用一個圍帶把幾個葉片連接在一起形成一個葉片組，這樣兩個相鄰的葉片組之間在運行過程中頂部的圍帶就會形成碰撞。由于透平運行環境的惡劣，研究這種情況下圍帶的碰撞和葉片的振動對于解決透平故障很有必要。

在Solidworks中建立6個葉片的模型。進行ANSYS分析時，每3個葉片形成1個葉片組，其頂部的圍帶采用bonded約束，仍采用solid185和solid285單元劃分網格，得到2 260 054個單元。對于兩個由3個葉片形成的葉片組頂部圍帶之間的連接，因為在實際汽輪機圍帶的碰撞過程中不會發生互相嵌入，為模擬真實的情況，防止兩個葉片組大幅度互相嵌入，這里構造了彈簧模型[20]。在兩個相鄰葉片的圍帶之間采用6根彈簧連接，根據葉片頂部圍帶之間實際碰撞情況，賦值彈簧的抗拉剛度K1=10kN/m，扭轉剛度K2=120N/m，彈簧的作用是保證頂部圍帶在相互足夠近時彈簧被擠壓，在分的足夠開時彈簧處于原長。求解的頻率如表4所示，振型(因為具有對稱性,只列舉1，3，5，7階的振型)如圖7所示。

由表4可以看出，第1階頻率和第2階的頻率值很接近，后面每相鄰兩階的頻率也很接近。這是由于該部分葉輪和葉片形成完全對稱的結構，而且從振型圖中可以看出它們屬于同一類型的振動，如第1階和第2階都屬于切向彎曲振動，即兩個葉片組是交替振動的。由圖7可以看出，這種結構的葉片結構仍是以切向彎曲振動和軸向彎曲振動為主要振動形式，而對于扭轉振動，要到相對較高階的振型才會有較顯著的表現。

圖7 兩個葉片組的振型圖Fig.7 The mode shape of two blade groups

4 結 論

1) 葉片的固有頻率和動頻率隨著階數增大而逐漸增大，當加上轉速后，動頻率比靜頻率大，而且轉速越高，慣性力對剛度的影響越大,動頻也越大。這與理論分析的離心力增加了葉片的剛性而使動頻增加的結論相吻合，即“動力剛化”效應。

2) 對于葉根固定葉頂自由的A型振動，1階切向彎曲振動(最小慣性軸方向)頻率隨轉速的變化發生較大變化，即對轉速的變化較敏感，即離心力的作用使1階模態剛度矩陣變化較大。

3) 葉片整體振動以彎曲振動為主。當葉片頂部受約束時，其振動頻率顯著增大。對于A型和B型振動，其最容易發生的都是切向彎曲振動，相比于A型振動，B型振動中的扭轉振動的階次會提前。

4) 旋轉葉片組中各葉片變形間相互影響并與葉輪的彈性變形成為一耦合系統，其固有頻率相對于各葉片有一定的降低。

5) 在一定轉速范圍內(本研究在9kr/min以下)，振型圖并不會隨轉速的增加而改變，即轉速并沒有改變各階的振型。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.06.028

*國家自然科學基金資助項目(51305267)

2014-09-17；

2015-03-12

TK263.3

王南飛，男，1990年4月生，博士生。主要研究方向為旋轉機械的故障診斷。 E-mail：wnf14@mails.tsinghua.edu.cn