基于Matlab的二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費衍射場模擬分析

趙梓媛 孟慶國 孫文軍

(哈爾濱師范大學,黑龍江 哈爾濱 150025)

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【書訊】

基于Matlab的二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費衍射場模擬分析

趙梓媛 孟慶國 孫文軍

(哈爾濱師范大學,黑龍江 哈爾濱 150025)

二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費衍射場的計算較為復雜，衍射過程抽象，利用Matlab軟件對其進行模擬分析，以便整體掌握二維正交網(wǎng)格衍射場的分布特點.用于夫瑯禾費衍射的二維正交網(wǎng)格相當于兩塊黑白光柵的正交密接，其屏函數(shù)為二者之積.夫瑯禾費衍射場能準確地實現(xiàn)屏函數(shù)的傅里葉變換，其中空間頻率與場點坐標滿足確定的替換關(guān)系，進而可計算出衍射場的光強分布.利用傅里葉變換的基本理論與Matlab軟件計算模擬二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費衍射場的頻率域光強分布，分析光學參數(shù)變化對衍射場的影響，加深對光衍射及傅里葉變換理論的理解與掌握，為該領(lǐng)域的研究人員提供相應(yīng)的理論與技術(shù)借鑒.

正交網(wǎng)格；夫瑯禾費衍射；傅里葉變換

隨著計算機的普及和軟件的高速發(fā)展，計算機模擬已成為物理研究中，除實驗、理論分析之外的較為重要的研究方法.Matlab在繪制圖像上具有極其重要的作用，如今已經(jīng)應(yīng)用于數(shù)學、物理、經(jīng)濟、氣象等各個領(lǐng)域.在光學圖像中的應(yīng)用也很廣泛[1-8]，光譜圖、衍射、干涉等圖樣的繪制越來越多地依賴于Matlab.在衍射領(lǐng)域，許多科研人員現(xiàn)已運用Matlab模擬了單縫、多縫及矩孔等多種光柵的夫瑯禾費衍射場，高峰等人運用Matlab軟件仿真了夫瑯禾費單縫衍射[1]，孫文軍等人利用Matlab分析多縫夫瑯禾費衍射[2]，郝忠秀等人利用Matlab對矩孔夫瑯禾費衍射場進行了模擬計算[3]，崔祥霞運用Matlab仿真了圓孔圓環(huán)的夫瑯禾費衍射實驗[4].

上述文獻計算的都為衍射屏為單方向的受限或簡單的二維受限情況，模擬計算過程較為簡單，而二維正交網(wǎng)格光柵的夫瑯禾費衍射公式計算較為復雜，可供參考的資料較少，給衍射的理論分析與理解帶來了不便，本文基于光信息處理中傅里葉變換的基本理論，對二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費衍射場的復振幅和強度分布進行計算.運用Matlab軟件的計算和繪制功能模擬并分析二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費衍射場，根據(jù)控制變量法改變各光學參量，分析衍射場隨光學參量的變化.通過運用Matlab研究二維正交網(wǎng)格的夫瑯禾費衍射場，加深了對夫瑯禾費衍射的認識與理解，提高對衍射場的分析能力，加深了對光信息處理中傅里葉變換的基本理論的理解與掌握，直觀地呈現(xiàn)了衍射斑的強度分布特點，便于整體掌握二維正交網(wǎng)格衍射場的變化規(guī)律.

1 基礎(chǔ)理論[10，11]

如圖1所示，衍射屏為xOy面內(nèi)二維正交網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，光柵常數(shù)為d(x、y方向分別為dx和dy)，透光部分的縫寬為a(x、y方向分別為ax和ay)，其夫瑯禾費衍射場經(jīng)透鏡匯聚于x′O′y′面上，并呈現(xiàn)頻率域的衍射光斑分布.

圖1 二維正交網(wǎng)格衍射光柵

二維正交網(wǎng)格相當于兩塊黑白光柵的正交密接，其屏函數(shù)為二者之積：

(1)

(2)

(8)

(9)

夫瑯禾費衍射場準確地實現(xiàn)屏函數(shù)的傅里葉變換，其中空間頻率與場點坐標滿足下列關(guān)系：

(10)

(11)

衍射光強度分布為

(12)

其中,λ為入射光波長;F為匯聚透鏡焦距，N1、N2分別為x、y方向上的光柵周期;x′、y′為接收屏上場點坐標;f1、f2為相對應(yīng)的空間頻率;θ1、θ2分別為x、y方向的衍射角.

2 模擬分析

根據(jù)空間頻率與場點坐標的關(guān)系式(8)與(9)，可得到相對應(yīng)的空間頻率取值，再聯(lián)立式(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)、(10)可求得衍射光強I.

2.1 光學參數(shù)對頻率域衍射場的影響

計算中初步設(shè)定λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，得到衍射光強度分布如圖2所示.由圖2可知衍射中心光斑強度最大，頻率域的衍射光斑沿x′、y′方向均呈現(xiàn)對稱分布，且兩個方向的分布一致，說明光波在兩個方向上的受限程度相同.

圖2 光強分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

圖3為λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=ay=0.8μm，N1=N2=6，dx=1.6μm，dy=2μm時頻率域衍射光強分布，由圖3可知，光柵常數(shù)改變不影響光強分布，根據(jù)衍射斑間距與光柵常數(shù)的關(guān)系Δx=λF/d及式(10)、(11)可知，衍射斑的頻率間隔與光柵常數(shù)成反比，x方向的光柵常數(shù)變小，則頻率域f1上的間隔變大.

圖3 光強分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=ay=0.8μm，dx=1.6μm，dy=2μm，N1=N2=6)

圖4為λ=600nm，F(xiàn)=30cm，ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6時頻率域衍射光強分布，與圖2相比發(fā)現(xiàn)縫寬的變化(晶格常數(shù)不變)并不改變衍射斑的位置，卻使衍射斑的強度得到了重新分布.即縫寬越大，衍射效應(yīng)越不明顯.

圖4 光強分布(λ=600nm，F(xiàn)=30cm， ax=0.8μm，ay=1.2μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6)

圖5為λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F(xiàn)=30cm時頻率域衍射光強分布.與圖2相比，由于y方向上的光柵周期N2變小，使得原來的圓形衍射斑沿x′方向擴展，形成長軸沿x′方向的橢圓形光斑.可見兩個方向上的光柵周期數(shù)不同時，頻率域的衍射光斑形狀會發(fā)生變化.

圖5 光強分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=6，N2=4，F(xiàn)=30cm)

圖6為λ=600nm，ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F(xiàn)=50cm時頻率域衍射光強分布.與圖2相比，當匯聚透鏡的焦距變大時，衍射光斑的強度并未發(fā)生變化，但光斑之間的頻率間隔及衍射光斑所占的頻率范圍都在增大.

圖6 光強分布(λ=600nm， ax=ay=0.8μm，dx=dy=2μm，N1=N2=6，F(xiàn)=50cm)

2.2 衍射場的頻譜提取

二維正交網(wǎng)格(正交密接黑白光柵)夫瑯禾費衍射的頻譜是二維的矩形點陣，在其基礎(chǔ)上進行平面頻譜提取，將得到全新的夫瑯禾費衍射場光強分布，頻譜提取后的衍射場將對應(yīng)于不同的衍射屏.

圖7 只保留中央一列衍射光斑的光強分布

圖8 只保留中央一行衍射光斑的光強分布

向的多縫結(jié)構(gòu)，即圖7的頻譜逆傅里葉變換為沿x方向的多縫光柵；圖8為只提取中央一行分布的衍射光斑，則只對應(yīng)于二維正交網(wǎng)格光柵xOy面上縱向網(wǎng)紋，相當于衍射屏為沿y方向的多縫結(jié)構(gòu)，即圖8的頻譜逆傅里葉變換為沿y方向的多縫光柵.

圖9與圖10為只提取沿對角線分布的衍射光斑，它們分別對應(yīng)于二維正交網(wǎng)格光柵xOy面上與其相垂直的網(wǎng)紋，相當于衍射屏為沿另外一對角線分布的多縫結(jié)構(gòu)，即圖9與圖10的頻譜逆傅里葉變換為沿與其垂直的多縫光柵.

圖9 只保留fθ頻譜中央一斜排衍射光斑的 光強分布三維圖像

圖10 只保留fφ頻譜中央一斜排衍射光斑的 光強分布三維圖像

3 結(jié)語

運用Matlab軟件的計算與繪圖功能模擬了正交網(wǎng)格的夫瑯禾費衍射場光強分布，獲得了不同光學參數(shù)下的頻率域衍射光強分布圖，分析了不同光學參數(shù)對衍射場分布的影響及不同頻譜提取所對應(yīng)的衍射屏變化.計算與分析方法具有形象、生動、簡單、靈活等特點，為光信息處理等相關(guān)領(lǐng)域的其他師生在理論與技術(shù)上提供了重要的支持與借鑒.

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[11] 趙凱華.新概念物理教程光學[M].北京：高等教育出版社,2004.

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SIMULATION AND ANALYSIS OF FRAUNHOFER DIFFRACTION FIELD FOR TWO-DIMENSION ORTHOGONAL GRID BY MATLAB SOFTWARE

Zhao Ziyuan Meng Qingguo Sun Wenjun

(School of Physics and Electronic Engineering, Harbin Normal University, Harbin, Heilongjiang 150025)

In order to show the diffraction field distribution, Matlab software was used as simulation and analysis of Fraunhofer diffraction for two-dimensional orthogonal grid. The Fraunhofer diffraction of two-dimensional orthogonal grid is equivalent to orthogonal joint of two pieces of black and white orthogonal gratings, and screen function is their product. Fraunhofer diffraction field is able to accurately realize the Fourier transform of screen function. Its spatial frequency and sites coordinates meet certain relations, consequently be able to calculate the distribution of the diffraction fields. The basic theory of Fourier transform and Matlab software are used to render the three dimensional diffraction intensity distribution image for the two-dimensional orthogonal grids, in order to analyze the relationship between the parametric variation and image, deepening the understanding and mastering of the theory of optical diffraction, providing a theoretical basis and technical supports for researchers in the field.

orthogonal grid; Fraunhofer diffraction; Fourier transform

2016-04-25

黑龍江省教育改革工程項目(No.JG2014010850).

孫文軍，男，教授，主要從事物理教學科研工作,研究方向為等離激元光子學及半導體非線性光學.swjgood0139@126.com

趙梓媛，孟慶國，孫文軍. 基于Matlab的二維正交網(wǎng)格夫瑯禾費衍射場模擬分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：112-116.