大學物理教學中對大角度單擺的介紹

李 蕊 劉改琴

(重慶理工大學光電信息學院，重慶 400054)

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大學物理教學中對大角度單擺的介紹

李 蕊 劉改琴

(重慶理工大學光電信息學院，重慶 400054)

大學物理的教學在簡諧振動部分介紹了小角度單擺，但沒有介紹擺角較大時單擺的運動.利用Matlab研究了大角度的單擺運動，得到了大角度單擺的運動曲線，曲線表明，盡管擺角較大時單擺不再做簡諧振動，但其運動曲線看似余弦曲線，且具有一定的周期性；文章給出了小角度單擺的相圖及其與實際擺動的對比動畫；對大角度單擺運動的相圖進行了分析，說明在擺角較大時單擺的運動將不同于簡諧振動而更加復雜.在此基礎上，探討了如何把所得結論引入到大學物理教學中，以加深和拓展學生對單擺運動的理解.

單擺；Matlab；動畫

在大學物理教學中，對單擺的介紹安排在簡諧振動部分，而只有單擺的擺角很小的時候單擺才做簡諧振動.單擺的擺角為大角度時做什么運動并未給學生介紹.由于單擺擺角較大時，其運動方程沒有解析解，Matlab軟件可以對非線性微分方程進行數值求解，在作圖和動畫方面也功能強大，不少文獻都采用Matlab對單擺進行分析[1-3].故本文首先通過Matlab計算來分析無阻尼無驅動力時大角度單擺的運動，得到圖像和動畫，然后在此基礎上探討如何把大角度單擺的運動引入到課堂教學中，以加深和拓展學生對單擺運動的理解.

1 無阻尼、無驅動力時大角度單擺的運動

無阻尼、無外來驅動力時，單擺的運動方程為

(1)

(2)

當θ很小時，sinθ≈θ，方程的解為正弦(或余弦)函數，單擺做簡諧振動.而當單擺擺角為大角度時，運動方程為非線性方程，很難得到其解析解.利用Matlab軟件對大角度的單擺運動進行數值計算，將(2)式改寫為

(3)

計算所得到的不同擺角的單擺運動曲線如圖1所示.

圖1 不同擺角的單擺運動曲線

圖1顯示了不同的大角度的單擺運動曲線，曲線看似余弦曲線，并且運動周期隨擺幅的增大而增大.這一趨勢與大角度的單擺運動周期公式相符合[4].

T=

在大學物理教學中講完做簡諧振動的小角度單擺之后，作為補充，可以直接給出圖1和以上的周期公式，使學生認識到擺角較大時單擺不再做簡諧振動，但仍然在做周期運動.

2 小角度單擺運動的相圖

在大學物理教學中對小角度單擺運動的描述往往是角位置、速度、加速度隨時間變化的函數關系.但是當單擺的擺角較大時，由于其運動方程無法給出解析解，這時就可采用相圖表示單擺小球的運動狀態.

(4)

適當選擇初始條件，其解為

(5)

(6)

因此，小角度的單擺的相圖如圖2所示是一個圓.顯然這并不是單擺小球的真實的運動軌道，但同樣給出單擺不同時刻的運動狀態.

圖2 小角度單擺簡諧振動的相圖

為幫助學生理解相圖，還可給出小角度單擺運動與其相圖的對比動畫，圖3為對比動畫的一個截圖.圖中顯示單擺小球正向左側擺動.

圖3 小角度簡諧振動的相圖與單擺運動的對比圖

將相圖引入到教學中，可以拓展學生的思維方式，使其認識到可以有或直觀或抽象的多種方式表現物體的運動.在課堂教學中如果有富余的時間，可以對相圖的概念略作介紹，然后給出單擺運動與其相圖的對比動畫即可.

3 大角度單擺運動的相圖

當單擺的擺角較大時，可從保守系統能量守恒的角度來給出相圖.為了能做大幅度的運動，把單擺系有小球的細繩換成質量可忽略的剛性細桿.取單擺擺桿水平時重力勢能為零，則單擺的總機械能為

(7)

(8)

(9)

選取不同的H值(H=-0.866,0,1,1.8)，可得大角度的單擺運動相圖如圖4所示.

圖4 不同擺角的單擺相圖

由圖4可知，當H<1時，相軌道是一些閉合回線，單擺做往復運動.

而當H=1、擺角可達到π時，相當于單擺豎直倒立起來，從圖4中可以看出出現了不穩定的平衡點.在平衡點處，單擺的運動出現了兩種可能，一種可能是單擺在最高點反向運動，仍然呈現一種往復運動，在相圖中相軌道閉合；第二種可能是單擺在最高點沿原運動方向運動，這時單擺的運動已不再是周期性的往復運動了，其相軌道也不再閉合.而在有阻尼、有驅動力時，單擺的運動將更加復雜，很容易進入混沌[5,6].

當H>1時，曲線不再閉合，表示單擺不再擺動，而是沿順時針或逆時針方向旋轉起來.

由此可知，單擺具有較大能量時，其運動出現了不確定性，已經不同于我們所習慣的機械決定

論了.這種延伸知識的介紹可使學生認識到單擺的運動就能體現經典力學的局限性.在物理選修課的教學中可以對此作一些講解.

4 結語

本文利用Matlab給出了大角度單擺的運動曲線和不同擺角的單擺的相圖.計算所得曲線與理論分析的結果是一致的.利用Matlab計算得到曲線圖像可以清楚顯示出大角度單擺的運動，動畫比對更是可以使學生易于理解.把這些圖和動畫引入到大學物理的教學中，可使學生對單擺的運動有更深的理解.

[1] 李碩，趙彤帆，李根全，等．Matlab軟件在單擺自由振動中的應用[J]．實驗室研究與探索，2013，32(11)：65-68. Li S， Zhao T F， Li G Q， et al. Application of Matlab Software in simple pendulum free oscillation[J]． Research and Exploration in Laboratory， 2013， 32(11)： 65-68.

[2] 郭娜，朱奕奕．Matlab軟件在單擺自由振動中的應用探索[J]．電子技術與軟件工程，2015(10)：86. Guo N， Zhu Y Y． Application and exploration of Matlab software in simple pendulum free oscillation[J]． Electric Technology & Software Engineering， 2015， 10： 86.

[3] 龍曉霞．大角度單擺運動的計算機模擬[J]．重慶文理學院學報(自然科學版)，2006，5(2)：28-31. Long X X． Computer simulation for the motion of a single pendulum in large angle[J]． Journal of Chongqing University of Arts and Sciences(Nature Sciences Edition)， 2006， 5(2)： 28-31.

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[5] 符五久，饒黃云．單擺系統通向混沌的道路[J]．大學物理，2008，27(1)：5-10. Fu W J， Rao H Y． The roads to lead chaos in the pendulum system[J]． College Physics， 2008， 27(1)： 5-10.

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INTRODUCE SIMPLE PENDULUM OF LARGE ANGULAR AMPLITUDE IN UNIVERSITY PHYSICS TEACHING

Li Rui Liu Gaiqin

(College of Optical and Electronic Information, Chongqing University of Technology, Chongqing 400054)

Simple pendulum of small angular amplitude is introduced in university physics teaching, but simple pendulum of large angular amplitude is not mentioned. In this paper, Matlab was used to study the motion of simple pendulum of large angular amplitude and the motion curves are obtained. The curves seem like cosine curve and the motion is also periodic. Phase diagram of simple pendulum of small angular amplitude is given and an animation is made to contrast phase diagram with the actual motion. Phase diagram of large angular amplitude shows a more complicated motion of simple pendulum, which is different from the simple harmonic oscillation. On this basis, how to introduce the conclusions in the physics teaching is discussed in order to deepen and broaden students’ understanding of simple pendulum movement.

simple pendulum; Matlab; animation

2015-11-19；

2016-03-08

重慶理工大學高等教育教學改革研究項目2013YB37.

李蕊，女，講師，主要從事物理教學科研工作,研究方向為凝聚態物理.lrsharper@cqut.edu.cn

李蕊,劉改琴. 大學物理教學中對大角度單擺的介紹[J]. 物理與工程，2016，26(6)：75-77.