基于Matlab的矩形載流線框磁場分布特征的仿真分析

汪可馨

(蘭州理工大學生命科學與工程學院，甘肅 蘭州 730050)

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基于Matlab的矩形載流線框磁場分布特征的仿真分析

汪可馨

(蘭州理工大學生命科學與工程學院，甘肅 蘭州 730050)

為了研究矩形載流線框的空間磁場分布特征，本文運用畢奧-薩伐爾定律和磁場疊加原理推導出空間某點處磁感應強度的計算公式，再利用Matlab軟件編制程序，通過循環求和實現磁場的數值計算.在此基礎上，以單匝矩形載流線框為對象，數值計算了其空間磁場分布，繪出了多種條件下磁場的分布圖像，進而通過對比分析得到了磁場的空間分布特征，并進一步對平行放置的兩個矩形載流線框軸線上的磁場分布特征進行了仿真分析.編制的計算程序及分析所得的結論可為實際工程應用提供參考.

矩形載流線框；磁感應強度；數值計算；分布特征；仿真

在工業生產領域，載流線圈是大量電工設備中不可缺少的裝置，也是科學研究中最常用的一種電磁體[1-3].在載流線圈電磁體的設計與研制中，常需要計算線圈的磁場分布[4，5].由于矩形磁系應用十分廣泛[6，7]，本文針對矩形載流線框的特殊結構，以畢奧-薩伐爾定律為基礎，結合磁場的疊加原理，通過將矩形載流線框分割成無數電流微元，再將微元磁場疊加求和得到空間任意場點處磁場的計算公式，并利用Matlab軟件編程實現磁場的數值計算，進而繪制出一定條件下的磁場分布圖，從而直觀地獲得矩形線框磁場的空間分布特征.在此基礎上，進一步對兩個平行放置的矩形載流線框的磁場分布特征進行仿真分析.分析所得結論有利于實際工程應用，所編制的數值計算程序也可用于多匝矩形線框磁場數值計算，經過一定的修改還可用于其他形狀載流線圈磁場的數值計算.

1 磁感應強度的計算原理及方法

如圖1所示建立空間直角坐標系.為計算方便，現將一邊長為a、載有電流I的正方形線框放置在xOy平面上.矩形線框分成OA、AB、BC和CO4根通電導線.現將每根通電導線劃分成N段，N很大，則每一小段均可視為一電流微元Idl.假設電流元位于矩形線框上P0(x0,y0,0)點，則它在空間內任意一場點P(x,y,z)處產生的磁感應強度可由畢奧-薩伐爾定律計算得：

(1)

其中：r=(x-x0)i+(y-y0)j+z k，r=[(x-x0)2+(y-y0)2+z2]3/2.

圖1 單匝矩形載流線框

由此可分別寫出矩形載流線框上4段通電導線上的任一電流元在場點P處產生的磁感應強度如下：

OA段上：

(2)

AB段上：

(3)

BC段上：

(4)

CO段上：

(5)

根據疊加原理，整個矩形載流線框在P點產生的磁感應強度為

(6)

得到式(6)后，我們可以利用Matlab編程實現式中復雜的疊加求和過程.以AB段為例，計算BAB的程序流程圖如圖2所示.類似地計算出4段導線分別產生的磁場后，求和即可得到載流線圈所產生的空間磁場分布.

圖2 磁場數值計算流程圖

2 單個載流線框磁場分布特征的仿真分析

2.1 與線框平面平行的平面上的磁場分布

假設正方形邊長a=10.0m；電流大小I=1.0A，電流流向為逆時針；積分中取電流元的長度微元為dl=0.01m，也就是N=1000.分別計算z為0、0.2m、2.0m、5.0m的平面上的磁場分布，如圖3(a)、(b)、(c)、(d)所示.場域平面上x和y都在0.1m到9.9m之間每間隔0.1m進行取值.計算程序見附件中Bcal1.m文件.

圖3 與通電線框平行的平面上的磁場分布

由圖可見：

(1) 在平行于線框平面的場域平面上，磁場有明顯的分布特征，而且該特征隨與線框平面的垂直距離的不同而不同.從圖3(a)、(b)、(c)、(d)明顯可見，與線框平面的垂直距離較小時，四角處磁場的量值大于中央區域，且距離越小，四角處磁場量值變化越劇烈；垂直距離較大時，中央區域的磁場量值大于四角處磁場，幾何中心的磁場量值最大，且隨著距離的增加，磁場分布特征基本不再有較大變化.

(2) 隨與線框平面的垂直距離的增加，各場點的磁場量值不斷減小，這一點是符合磁場強度的大小隨場點、源點間距的增加而減少的普遍規律的.

(3) 在平行于線框平面的場域平面上，磁場有明顯的軸對稱性，這是由載流線框的對稱性決定的.

2.2 與線框平面垂直的平面上的磁場分布

固定場點的x值，y在0.1m到9.9m之間每相隔0.1m進行取值，z在-10.0m到10.0m之間每相隔1.0m進行取值，即得到與線框平面垂直的平面上的磁場分布.現將x分別取0.1m和5.0m，得到平面上的磁場分布如圖4(a)、(b)所示.計算程序見附件中Bcal2.m文件.

圖4 與線框平面垂直的平面上的磁場分布

由圖可見，

(1) 矩形線圈的空間磁場分布關于z=0的平面(即線框平面)對稱，且在一個垂直平面內，磁場分布關于z=5.0m的平面對稱，這與載流線框的空間對稱性相一致.

(2) 結合圖1可見，z較小時，y=0m和10m處的磁場(即靠近線框邊緣處的磁場)要強于y=5.0m(即中央區域處)的磁場，且x=0.1m的平面(即靠近線框邊緣的垂直平面)上磁場均強于x=5.0m的平面(即中央區域的垂直平面)上對應點的磁場，這些特征與圖3體現出來的磁場分布特征是相吻合的.

2.3 磁感線的特征

磁感線是在磁場中畫出而實際不存在的一些有方向的曲線，用以形象地描繪磁場分布.本文借用Matlab的畫圖工具，引入quiver函數配合箭頭繪制出磁感線示意圖.取x=5.0m的平面，y在-15.0m到25.0m之間每相隔1m進行取值，z在-10.0m到10.0m之間每相隔1m進行取值，scale值取1.5，畫出該平面上的磁感線分布示意圖，如圖5所示.計算程序見附件中Bcal3.m文件.

圖5 x=5m平面上的磁感線示意圖

(1) 仿真出來的磁感線關于y=5m及z=0這條線軸對稱，且形成了閉合曲線.前者與載流線框的幾何對稱性相一致，后者則符合磁感線的基本性質.

(2) x=5.0m的平面是載流線框的中垂面，在該平面上，z=0m且y=0m、y=10m處正是載流導線經過的地方，由圖5可見，這兩個位置正好是閉合磁感線的中心位置，這與磁感線與電流相互環套的基本規律是一致的.

(3) 結合圖1的電流流向，可見圖5所示的載流線框空間中的磁場方向與電流呈右手螺旋關系，這與磁感線與電流方向呈右手螺旋的基本規律是一致的.

2.4 磁場分量的分布特征

為了完整描述單個載流線框空間磁場分布特征，本文又對磁場在各方向上分量的分布特征進行了仿真分析，以對總體特征進行補充.

以在z=3.0m的平面上的磁場分布為例，分別對該平面上的磁場3個分量及總磁場進行仿真，然后進行對比分析，如圖6(a)、(b)、(c)、(d)所示.計算程序見附件中Bcal4.m文件.

圖6 z=3平面上的磁場分布

由圖可見：

(1) 3個方向的磁場分量分別都具有一定的對稱性，這是與載流線框本身的對稱性有關的.

(2) 從圖6各圖不難發現，Bz的空間分布特征與總磁場幾乎一致，也就是說，x和y方向上的磁感應強度分量對總磁場貢獻不大，總磁場主要由z方向上的分量來決定.

3 兩個矩形載流線框其軸線上的磁場分布及特征

現在原有基礎上添加一相同的矩形線框，與其相距一定距離平行放置，如圖7所示.設z1為兩線框間距離.現研究x=5、y=5這條軸線上磁場的分布特征.在程序中引入plot函數同時畫出線框一、線框二及合成磁場的磁場分布的二維曲線.計算程序見附件中Bcal5.m文件.

圖7 雙矩形載流線框

改變兩線框的距離，分別取z1=2m、5m、10m時，軸線上的磁場分布，如圖8(a)、(b)、(c)所示.

圖8 雙平行矩形載流線框中軸線上的磁場分布

由圖可見：

(1) 當兩線框之間的距離z1值較小時，合成磁場只有一個峰值，兩線框之間的磁場近似是均勻磁場，如圖8(b)中z在0～5m之間的區域.隨著兩線框之間距離增大，近似均勻磁場區域變寬，曲線峰值降低，并逐漸出現兩個峰值.

(2) 結合圖3所示的平面上的磁場分布特征，顯然可以利用相隔一定距離的雙平行矩形載流線框，在其中軸線中心附近產生近似勻強磁場區域.這一點類似于常見的亥姆霍茲線圈，因此也可在某些需要近似勻強磁場的場合獲得應用.

4 結語

本文從畢奧-薩伐爾定律出發，將矩形載流線框分為4段通電直導線，分別計算單根通電導線的磁場后根據疊加原理進行疊加.先推導了具體計算公式，后編制了Matlab程序并對各種條件下的磁場分布圖進行了仿真.為了能更直觀地了解到矩形載流線框的磁場分布特征，本文大多采用三維曲面圖來著重體現.出于工程應用的需要，本文還簡單分析了雙矩形線框的特殊情況.

仿真及對比分析可得到如下重要結論：

(1) 隨著到載流線框平面的垂直距離(即z值)的變化，磁感應強度量值的空間分布有固定的變化趨勢，即：隨z值增大，四角處磁感應強從最大變化到最小，中央處磁感應強度從最小變化至最大.隨后保持中央最大這一特點，量值分布特征再無較大改變.當然，隨z值增大，由于場點離線框相對位置越來越遠，整體磁場量值都在變小，這一點是必然的.

(2) 單匝矩形載流線框所產生的總磁場量值分布特征主要由其z方向分量的分布特征決定，x、y方向上分量的貢獻小.

(3) 雙平行矩形載流線框軸線上的磁感應強度分布與常見的亥姆霍茲線圈類似，可以利用相隔一定距離的雙平行矩形載流線框，在其幾何中心產生近似勻強磁場區域.

上述研究所得結論可為實際工程應用提供一定的參考；同時所編制的數值計算程序經過一定的修改也可用于多匝矩形線框及其他形狀的載流線圈磁場的數值計算.

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THE SIMULATION ANALYSIS OF THE MAGNETIC-FIELD PRODUCED BY RECTANGULAR COIL BASED ON MATLAB

Wang Kexin

(School of Life Science and Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou, Gansu 730050)

Designed to research the characteristics of the magnetic-field distribution produced by a rectangular coil carrying current, the biot-savart law and superposition principle of the magnetic field have been used to deduce the specific calculation formula of magnetic induction intensity at a certain point in space and the numerical calculation has been realized by programming with Matlab software through cyclic summing. Based on the above works, the magnetic field produced by a single-turn rectangular coil has been calculated and the distribution images of the magnetic field have been presented under various conditions, then the distribution characteristics of magnetic field have been obtained through the comparative analysis. Furthermore, the magnetic field distribution characteristics of the two rectangular coils carrying current placed in parallel have been simulated and analyzed. The written computational program and the research conclusion can provide reference for practical engineering application.

rectangular coil carrying current; intensity of magnetic-field; numerical calculation; characteristic of distribution; simulation

2016-07-12；

2016-08-11

汪可馨,女,本科二年級學生.384791656@qq.com

汪可馨. 基于Matlab的矩形載流線框磁場分布特征的仿真分析[J]. 物理與工程，2016，26(6)：106-111,116.