利用不對稱三線擺測量不規則物體的轉動慣量

陳少華 劉艷敏 冷文秀 張國林

(中國石油大學(北京)理學院，油氣光學探測技術北京市重點實驗室，北京 102249)

?

利用不對稱三線擺測量不規則物體的轉動慣量

陳少華 劉艷敏 冷文秀 張國林

(中國石油大學(北京)理學院，油氣光學探測技術北京市重點實驗室，北京 102249)

工程中常用對稱三線擺來測量不規則物體的轉動慣量.測量前需預先調整3條擺線嚴格對稱，并保證待測物體和上、下兩盤三者的質心嚴格共線，而三質心共線在實驗過程較難嚴格實現.為此，本文設計并制作了一種不對稱三線擺，即將待測物體直接作為下盤，用3根擺線懸掛在上盤上即可.無論3個懸掛點是否對稱，也無論擺線是否等長，只要保證3條擺線與質心軸平行，即可測得該物體繞質心軸的轉動慣量.實驗結果與理論值誤差在±5%內的概率為77.78%，表明不對稱三線擺可以用于一般剛體的轉動慣量測量.

不對稱；三線擺；轉動慣量

圖1 常用對稱 三線擺結構圖

在工程應用中的許多場合，經常需要測量不規則物體的轉動慣量.復擺法[1]、扭擺法[2,3]、三線擺法[4]都是常用的測量方法.由于具有結構簡單、直觀等優點，三線擺法成為了最為常用的方法，其結構如圖1所示[5,6].圖1中，該結構用三條等長的細線將一均質大圓盤對稱地懸掛在上方小圓盤下.由于懸掛點位置需嚴格對稱，本文中將其稱為對稱三線擺.測量時，需將待測物體固定在下擺盤上，并保證其質心通過三線擺的豎直質心轉軸.而調整上下盤和待測物體三者質心共線是比較困難的.為此，我們設計并制作了一種不對稱三線擺，它由3根擺線直接將待測物體懸掛在上盤下方構成.無論3個懸掛點是否對稱，也無論擺線是否等長，只要保證3條擺線與系統的質心軸平行，即可直接測量該物體的轉動慣量.本文給出了其測量原理，制作了相關的三線擺結構，并成功用于了轉動慣量的測量.

1 測量裝置及原理

一種不對稱三線擺結構，由待測物體直接懸掛在一個托盤上組成，其原理示意圖如圖2所示.圖中O和O′分別為待測物體和上托盤的質心，它們的連線作為旋轉軸，并設為z軸，同時在待測物體上建立xOy平面.將3條擺線的長度分別用L1、L2、L3表示，這里的擺線均為不可伸長的輕質細線.另外，托盤和待測物體均可以具有任意的形狀.為了方便，圖中將其畫成了平面.

圖2中，待測物體表面的3個吊掛點分別定義為A、B、C，它們至Z軸的水平距離(稱為懸距)分別為R1、R2、R3；質心O與3個吊掛點A、B、C在水平面投影兩兩之間的夾角(稱為懸角)分別為φ1、φ2、φ3.若對待測物體施加水平力偶矩，使其偏離平衡位置φ角，之后撤去該力偶矩，則該物體將繞z軸做往復擺動.與圖1中的對稱三線擺不同，圖2中的三線擺只需保證3條擺線與系統質心軸平行即可，而L1、L2和L3，R1、R2和R3和φ1、φ2和φ3均可以取相等或不等的數值，故將其定義為不對稱三線擺[5]，顯然這種三線擺的設計更加靈活.

圖2 不對稱三線擺原理示意圖

選用合適的擺線長度，并使最短的擺線長度大于最大懸距20倍，即Lmin> 20Rmax，同時保證擺角φ不是很大，一般小于40°，可以證明，不對稱三線擺將做類似復擺的簡諧振動.其遵循的一般運動學方程為

(1)

式中，I為三線擺繞z軸旋轉的轉動慣量，M為定軸轉動的合外力矩.

采用定軸轉動的動量矩定理和圖2中的幾何三角關系，可以證明[7]：

式中，m為待測物體的質量,T為擺動周期.

若引入比例系數K

K=

則I可以表示為

I=KmgT2

(3)

2 實驗過程與數據處理

待測物體由底座和小齒輪構成，其外觀三維圖如圖3所示.其中，底座為自行設計制作的含5個均勻分布小孔的碳纖維圓盤(圓盤的厚度為4mm)，小齒輪(材料為20CrMn，合金鋼)為空心圓柱體結構，如圖3中的中間突起部分所示.固定時直接用環氧樹脂膠粘貼在碳纖維底座上.實驗過程中共采用了直徑相同，厚度分別為10mm，12mm，15mm的3個小齒輪.

圖3 底座和小齒輪的三維結構圖

圖3中，由于5個小孔和底座質量均為均勻分布，故底座質心即為幾何中心.為了表征待測物體質量分布的不規則性，選擇固定位置時，特意避開了底座質心，選擇在其偏下方某個位置粘貼小齒輪，粘貼后的具體尺寸如圖4 (單位：mm) 所示.圖中的第1，3，4這3個小孔分別對應其中圖2中A、B和C這3個吊掛點的位置，中心的圓孔對應小齒輪.根據圖4中的參數，計算了各懸距和懸角的大小并列在表1中.

表1 不對稱三線擺的懸距和懸角

圖4 底座和小齒輪的尺寸圖

測量過程如下：

(1) 測定待測物體上3個懸掛線的長度L1、L2、L3，若L1=L2=L3，則3個吊掛點組成的三角形恰好位于xOy平面內.若L1≠L2≠L3，用勾股定理可算出3個吊掛點在xOy面上的正投影三角形的各邊邊長，并畫出正投影三角形；

(2) 通過余弦定理求得并標出正投影三角形上待測物體質心投影的位置，用量具在投影三角形上測出R1、R2、R3、φ1、φ2、φ3.

(3) 用計時器——秒表測出擺動周期T，并根據擺角的大小求出相應的K值，同時將得出的懸距、懸角與相關物理量代入公式(2)，便可求得繞質心軸的轉動慣量.

為了減小誤差，本文中取3條擺線長度相等，同時實驗過程中，特別注意對待測物體施加平行的力偶矩，表2為實驗結果.

表2 不同擺線長度時待測物體的轉動慣量

由表2可以看出，有兩次測量的誤差較大，而其他7次與理論值的誤差均在±5%以內，即實驗準確度概率為77.78%，故可以認為，本文設計的三線擺結構可以較為可靠的測量物體的轉動慣量.

3 誤差分析

通過分析轉動慣量I的表達式，可知實驗的系統誤差主要來源于以下幾方面：

(1)R1、R2、R3和φ1、φ2、φ3的測量誤差：若3條擺線L1≠L2≠L3；則確定上述6個參數比較繁瑣，同時確定過程中也容易引起一些測量誤差，故上述實驗中我們取L1=L2=L3.

(2) 周期T的誤差：由不確定度傳遞原理可知，僅考慮周期T引起的I的誤差為

即I的相對誤差會比T大一倍.所以本實驗中準確測量振動周期是非常重要的.實驗過程中，利用秒表進行了5次等精度測量，并取其平均值作為周期來進行數據處理.如果需要進一步提高測量精度，還可以采用光電開關計時器來測量周期.

(3) 質量的測量誤差：由測量天平決定.

(4) 對待測物體施加力偶矩的過程，通常是人為施加的，為了保證三線擺的振動是嚴格繞著質心軸轉動的簡諧振動，所以兩個力一定要平行且對稱施加.表2中有兩次測量的實驗誤差稍大，主要就是施加在待測物體的兩個力不對稱所致，這也是本裝置最主要的誤差來源.

(5) 在選定三線擺的質心軸時，需要標定待測物體的質心，一般通過懸掛法確定.同時考慮到擺動的穩定性，建議選擇質量分布盡量均勻的物體作為三線擺的下盤，但這并不影響本裝置的普適性.

(6) 本實驗原理公式成立的前提是長擺線和小角度擺動的情況，即最短的擺線長度大于最大懸距20倍，即Lmin>20Rmax，且擺角一般小于40°，如果擺線長度較短或擺角過大，原理公式將不再成立，測量誤差也將比較大.

4 結論

本文利用3根平行擺線將不規則的待測物體懸掛在上托盤的下方，制成了一種測量物體轉動慣量的三線擺裝置，測量了繞質心軸轉動的轉動慣量，并與理論值進行了對比，實驗與理論誤差控制在±5%以內的概率達到了77.78%.最后通過分析實驗的誤差來源，給出了減小誤差的措施.分析表明，只要保證加在待測物體上的力偶矩使其嚴格繞著系統的質心軸旋轉，則這種裝置可以快速、準確的進行轉動慣量的無損測量.

最后，需要指出的是，本文的測量方法對于對稱三線擺測量轉動慣量也有一定的借鑒作用.當待測物體固定在下擺盤時，只需找到二者的共同質心，并和上盤的質心一起作為整體的質心軸，也可以進行轉動慣量測量.

感謝中國石油大學(北京)優秀青年教師研究項目(2462015YQ0603)和校級教改項目對本文的資助.

[1] 張心明，王凌云，劉建河，等. 復擺法測量箭彈轉動慣量和質偏及其誤差分析[J].兵工學報，2008，29(4)：450-453. Zhang X M, Wang L Y, Liu J H, et al. The measurement of inertia moment and centroidal deviation of rocket projectile with compound pendulum method and its error analysis[J]. Acta Armamentarii, 2008, 29(4): 450-453.

[2] 唐文彥，李慧鵬，張春富. 扭擺法測量飛行體轉動慣量[J].南京理工大學學報，2008，32(1)：69-72. Tang W Y, Li H P, Zhang C F. Measurement of flight object’s moment of inertia using torsion pendulum[J]. Journal of Nanjing University of Science and Technology (Natural Science) 2008, 32(1): 69-72.

[3] 劉振東，鄭桂梅，孫興川. 基于扭擺法的轉動慣量測量[J].河南科學，2008，26(10)：1181-1185. Liu Z D, Zheng G M, Sun X C. Rotational inertia measurement using torsion pendulum[J]. Henan Science, 2008, 26(10): 1181-1185.

[4] 姚建安.用三線擺測量轉動慣量的研究[J].合肥工業大學學報：自然科學版，1991(4)：74-79. Yao J A. The research of inertia by of measuring three-string the moment pendulum[J]. Journal of Hefei University of Technology, 1991, 14(4): 74-79.

[5] 黃佳峰，趙楠，夏雪琴. 基于三線擺法和Origin7.0軟件測定重力加速度新方法的研究[J]. 科技信息，2012(33)：522-524. Huang J F, Zhao N, Xia X Q. Based on three-line pendulum method research on new method for the determination of the gravitational acceleration and origin7.0 software[J]. Science & Technology Information, 2012(33)： 522-524.

[6] 周風琴，李述全，于金華.用三線擺測物體轉動慣量的誤差分析[J].沈陽大學學報自然科學版，1998(2)：72-74. Zhou F Q, Li S Q, Yu J H. Error analysis of the object inertia with three-line pendulum[J]. Journal of Shenyang University (Natural Science Edition), 1998(2)： 72-74.

[7] 于治會.不規則物體轉動慣量的測量方法[J].計量學報，1992，13(1)：45-52. Yu Z H. The measurements of moment of inertia for irregular bodies[J]. Acta Metrology Sinica, 1992, 13(1)： 45-52.

■

MEASUREMENT OF THE ROTARY INERTIA OF AN ARBITRARY OBJECT BASED ON THE IRREGULAR THREE-LINE PENDULUM

Chen Shaohua Liu Yanmin Leng Wenxiu Zhang Guolin

(Science College; Beijing Key Laboratory of Optical Detection Technology for Oil and Gas,China University of Petroleum, Beijing 102249)

To measure the rotary inertia of the object especially in irregular shape, the three-line pendulum is one of the most common candidates in the engineering. In the system, three lines should be symmetrically distributed, while the mass centers of the object and two discs should be pre-adjusted coaxially, which is difficult to realize. So an unsymmetrical three-line pendulum is proposed and manufactured in the article, where the object is suspended to a circular disc with three lines. Whether the three lines are of the same length or not, and whether three hanging positions are symmetrically distributed, if only the three lines are parallel to the centroid axis of the whole system, the rotary inertia of the object could be measured. The probability of the error within 5 percent between the experimental and theoretical rotary inertias would be as high as 77.78 percent, which means the unsymmetrical three-line pendulum is suitable to detect the rotary inertia of the arbitrary object.

unsymmetical; three-line pendulum; rotary inertia

2016-03-07

陳少華，女，副教授，主要從事大學物理教學科研工作，研究方向為光纖傳感.shchen@cup.edu.cn

冷文秀，女，講師，主要從事大學物理教學科研工作，研究方向為太赫茲技術.lengwenxiu@126.com

陳少華，劉艷敏，冷文秀，等. 利用不對稱三線擺測量不規則物體的轉動慣量[J]. 物理與工程，2016，26(6)：57-60.