從單擺看空間的升降維現(xiàn)象

方 樂 葛銘緯 柳陽(yáng)威

(1北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院, 北京 100191;2華北電力大學(xué)可再生能源學(xué)院, 北京 102206;3北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,北京 100191)

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從單擺看空間的升降維現(xiàn)象

方 樂1葛銘緯2柳陽(yáng)威3

(1北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院, 北京 100191;2華北電力大學(xué)可再生能源學(xué)院, 北京 102206;3北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院,北京 100191)

為了幫助本科生更好地理解現(xiàn)代物理，特別是空間的一些升降維現(xiàn)象，我們從單擺出發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)啟發(fā)性的例子，形象直觀地對(duì)此進(jìn)行了類比描述.可以看到，若擺臂為剛性繩，則相圖中會(huì)出現(xiàn)空洞，軌跡觸碰到空洞邊沿時(shí)觸發(fā)斜拋運(yùn)動(dòng)而引起升維現(xiàn)象.這個(gè)例子可以類比現(xiàn)代物理中的科學(xué)研究，也反映了數(shù)學(xué)與物理學(xué)的緊密聯(lián)系，適合于工科學(xué)生的本科教學(xué).

單擺;空間維數(shù);現(xiàn)代物理

現(xiàn)代物理中的一些深?yuàn)W的理論，如廣義相對(duì)論、弦論和M理論，以及通過它們推導(dǎo)出的一些有趣的結(jié)論，往往是學(xué)生和科幻小說關(guān)注的對(duì)象.高維空間及其升降維現(xiàn)象[1]，以及蟲洞現(xiàn)象[2]，都是這一類有趣的結(jié)論，但對(duì)于本科生卻并不容易直觀理解.本文并不試圖從它們的原始定義出發(fā)進(jìn)行闡述，而是以單擺問題作為一個(gè)啟發(fā)性的例子，從對(duì)單擺問題的討論出發(fā)，向相關(guān)的本科生形象類比地解釋這些現(xiàn)代物理中深?yuàn)W而有趣的結(jié)論.

圖1 單擺示意圖

本文討論的單擺模型如圖1所示，其中擺

長(zhǎng)為l，偏轉(zhuǎn)角為θ，重力大小為mg.忽略所有的阻尼并認(rèn)為機(jī)械能守恒.另外，考慮單擺處于慣性系中，從而避免討論傅科擺的問題.眾所周知，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角θ很小時(shí)，單擺近似地可以認(rèn)為是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)；當(dāng)偏轉(zhuǎn)角θ較大時(shí)，問題則比較復(fù)雜.下面我們對(duì)此問題進(jìn)行簡(jiǎn)單的敘述.

單擺問題可以由如下的方程描述

(1)

(2)

其中，τ=t/t0；X(τ)=(Θ(τ),Θ′(τ))T;Θ(τ)=θ(t)，F(xiàn)(X(τ))=(Θ′(τ),-sinΘ(τ))T.因此，該問題可以在(Θ,Θ′)相空間進(jìn)行描述.在此相空間我們可以很容易地得到其軌跡的相圖，如圖2所示.可以看到，對(duì)k∈Z，(2kπ,0)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，而((2k-1)π,0)是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).在A點(diǎn)附近的軌線表示單擺的往復(fù)振動(dòng)，而B點(diǎn)附近的軌線表示單擺的單向旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

圖2 單擺在(Θ,Θ′)相空間的軌跡相圖

圖3 擺臂是剛性繩時(shí)，單擺在(Θ,Θ′)相空間的軌跡相圖

上面的內(nèi)容均是傳統(tǒng)的單擺理論，在不少分析力學(xué)或微分方程定性理論的教科書中都有涉及.事實(shí)上，這些分析中隱含了一個(gè)重要的假設(shè)，即擺臂不發(fā)生形變，擺到中心的距離r始終等于l，也即意味著擺臂是無(wú)質(zhì)量的剛體.但如果擺臂不是剛體而是無(wú)質(zhì)量的剛性繩(即只能受拉力且不能被拉長(zhǎng)，可認(rèn)為對(duì)應(yīng)于一種極端的彈性繩情形[3])，上面的分析就不再成立了.在此情形下，我們必須分析剛性繩的受力，一旦剛性繩受壓力作用(即cosΘ+Θ′2<0)，則r就會(huì)發(fā)生改變.這時(shí)我們畫出相應(yīng)的軌跡相圖，如圖3所示.注意C點(diǎn)附近的軌線在cosΘ+Θ′2≥0區(qū)域的邊界停止了，在此之后r減小而擺球發(fā)生了墜落.墜落的過程可以用斜拋運(yùn)動(dòng)來描述，因此也可以寫出相應(yīng)的控制方程，但其在極坐標(biāo)下的表示比較復(fù)雜，相應(yīng)的討論也超出了本文的范圍，因此本文不再贅述.

若系統(tǒng)機(jī)械能不守恒而是含有阻尼，也可得到類似的結(jié)論.比如我們考慮傳統(tǒng)的線性阻尼擺，可以得到如下的控制方程

(3)

其中,c是線性阻尼;m是擺球質(zhì)量.相應(yīng)的無(wú)量綱形式為

(4)

圖4 有阻尼單擺在(Θ,Θ′)相空間的軌跡相圖

圖5 擺臂是剛性繩時(shí)，有阻尼單擺在(Θ,Θ′)相 空間的軌跡相圖

下面我們大膽地想象一個(gè)故事.在小角度擺動(dòng)的擺球上(對(duì)應(yīng)于圖3中A點(diǎn)附近的軌線)生活著一些生命，他們隨著擺球一起在一段圓弧上運(yùn)動(dòng)，在物理空間我們可以因此說他們生活在一個(gè)一維空間之中.但在相空間，他們的運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)自由度Θ和Θ′，因此在相空間看這是一個(gè)二維空間.在這些生命中有一位“物理學(xué)家”觀察到了他們的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而總結(jié)出了普適的運(yùn)動(dòng)方程(1)或(2).進(jìn)一步，該“物理學(xué)家”指出，按照運(yùn)動(dòng)方程的預(yù)言，如果不斷地給他們的世界增加機(jī)械能，就能改變其運(yùn)動(dòng)軌線，最終達(dá)到單向旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)(對(duì)應(yīng)于圖3中B點(diǎn)附近的軌線).其他的生命都對(duì)這個(gè)預(yù)言非常有興趣，他們因此通過某些方法增加單擺的機(jī)械能，讓單擺越晃越高.但不幸的是，他們并不知道擺臂其實(shí)并不是剛體，而是剛性繩.在他們?cè)噲D從A點(diǎn)附近的軌線向B點(diǎn)附近的軌線改變的過程中，他們的世界到達(dá)了C點(diǎn)附近的軌線，進(jìn)而觸碰了cosΘ+Θ′2≥0區(qū)域的邊界.剛性繩不能支持?jǐn)[球，因而擺球發(fā)生了斜拋運(yùn)動(dòng)，擺到中心的距離r發(fā)生了變化.這時(shí)，新的自由度(如r和r′)產(chǎn)生了，他們的世界變成了一個(gè)高維世界(在相空間，由二維變?yōu)?維；在物理空間，由一維變?yōu)槎S)！最終擺球重新墜落到了r=l圓弧上，這些新的自由度也消失了.世界又回到了小角度擺動(dòng)的狀態(tài)(對(duì)應(yīng)于圖3中A點(diǎn)附近的軌線).

盡管這個(gè)故事很簡(jiǎn)單，但它隱含的一些類比意義可以啟發(fā)我們更直觀地去理解現(xiàn)代物理中的一些問題：

(1) 與這個(gè)故事中的“物理學(xué)家”的做法類似，現(xiàn)代物理研究世界的方法一般也是通過在低能態(tài)下的觀察，總結(jié)物理規(guī)律，然后預(yù)測(cè)高能態(tài)下的物理現(xiàn)象.

(2) 這些預(yù)測(cè)的物理現(xiàn)象需要通過實(shí)驗(yàn)來證實(shí).有時(shí)候隱藏的物理本質(zhì)只有通過高能態(tài)才能被激發(fā)出來，比如這個(gè)故事中剛體和剛性繩的區(qū)別.

(3) 高能量有可能可以激發(fā)出新的空間維度，比如這個(gè)故事中r的改變而產(chǎn)生的高維空間.

(4) 這個(gè)高維空間將低維空間中不同的軌線連接起來，好似我們所說的蟲洞現(xiàn)象.

這個(gè)啟發(fā)性的例子從簡(jiǎn)單形象的角度類比解釋了現(xiàn)代物理的空間升降維現(xiàn)象，也反映了數(shù)學(xué)和物理的緊密聯(lián)系，適合工科學(xué)生的本科教學(xué).作者從2012年開始，一直將此問題用在北京航空航天大學(xué)中法工程師學(xué)院預(yù)科二年級(jí)微分方程的課堂教學(xué)中，收到了較好的課堂反響.

總之，本文通過對(duì)單擺問題的分析，對(duì)現(xiàn)代物理中的一些問題給出了形象的類比解釋，目標(biāo)是更好地激發(fā)學(xué)生對(duì)現(xiàn)代物理的學(xué)習(xí)熱情.

[1]BeckerK,BeckerM,SchwarzJ.StringtheoryandM-theory:Amodernintroduction[M].CambridgeUniversityPress, 2007.

[2]FlammL.BeitraegezurEinsteinischengritationstheorie[J].PhysikalischeZeitscrift, 1916, 17: 448.

[3]PokornyP.Stabilityconditionforverticaloscillationof3-dimheavyspringelasticpendulum[J].RegularandChaoticDynamics, 2008,13(3): 155-165.

附錄

本文的軌跡相圖是在WolframMathematica8.0軟件中得到的，繪圖語(yǔ)句如下，供讀者參考.

圖2：

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圖3：

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圖4：

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圖5：

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FROM PENDULUM TO THE CHANGE OF SPATIAL DIMENSION

Fang Le1Ge Mingwei2Liu Yangwei3

(1Ecole Centrale de Pekin, Beihang University, Beijing 100191；2School of Renewable Energy, North China Electric Power University, Beijing 102206;3School of Energy and Power Engineering, Beihang University, Beijing 100191)

In order to inspire undergraduate student to intuitively construct pictures for the investigations of modern physics, we describes new physical interpretations to the problem of pendulum, aiming at involving modern physical concepts such as high-dimensional space and wormhole. When the pendulum arm is a rigid string rather than a rigid rod, there will be holes in the phase portraits, which implies the phenomenon of dimension change at boundary. This example is inspiring for the scientific research of modern physics and is suggested to be employed in undergraduate education.

simple pendulum; spatial dimension; modern physics

2016-05-12

國(guó)家自然科學(xué)基金(11572025，11202013，51420105008).

方樂，男，副教授，主要從事物理和數(shù)學(xué)教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)榱黧w力學(xué).le.fang@zoho.com

柳陽(yáng)威，男，副教授，主要從事流體機(jī)械教學(xué)科研工作，研究方向?yàn)榱黧w力學(xué).liuyangwei@126.com

方樂,葛銘緯，柳陽(yáng)威. 從單擺看空間的升降維現(xiàn)象[J]. 物理與工程，2016，26(6)：31-33.