例說中學(xué)數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基本要素

周波 余啟友

【摘要】本文以《點斜式直線方程》教學(xué)為例，挖掘數(shù)學(xué)原理的形成過程，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)建構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。通過教學(xué)回顧、教學(xué)反思和文獻(xiàn)梳理等方面，試圖論述數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基本要素。

【關(guān)鍵詞】直線方程 原理課 教學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）31-0123-02

數(shù)學(xué)原理課作為知識形成的基本課型之一，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要地位。但在數(shù)學(xué)原理課教學(xué)上，我們常常見到的是“三板斧”式教學(xué)。即先對原理進(jìn)行簡單的介紹或證明，隨后迅速進(jìn)入原理的運用環(huán)節(jié)上，最后就是課堂練習(xí)。將數(shù)學(xué)原理課上成了一節(jié)數(shù)學(xué)習(xí)題課。究其原因，在于教師只看重對原理本身的證明及結(jié)論的掌握運用，卻忽視原理發(fā)生發(fā)展的來龍去脈和形成過程，忽視學(xué)生發(fā)現(xiàn)意識和合理猜想意識的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)原理課的學(xué)習(xí)與掌握產(chǎn)生畏懼心理，長此以往將不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

本文以《點斜式直線方程》教學(xué)為例，力求改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)片面追求結(jié)果的弊病，挖掘原理的形成過程，促進(jìn)知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)建構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。通過教學(xué)回顧、教學(xué)反思和文獻(xiàn)梳理等方面，試圖論述數(shù)學(xué)原理教學(xué)的基本要素。

一、教學(xué)回顧

1.問題引入，激發(fā)興趣

問題：如圖所示，直線l過點 A（-1，3）且斜率為-2，點B（1.1，-1.21）在直線l上嗎？

意圖：通過圖像是沒有辦法判斷直線與點的位置關(guān)系的，因此應(yīng)該借助坐標(biāo)與方程來判斷，由此反映出學(xué)習(xí)直線方程的必要性。

2.特殊入手，猜想原理

問題：已知直線l過點A（-1，3）且斜率為-2，問直線l上的點P應(yīng)滿足什么條件？

意圖：借助幾何畫板課件，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，在點P的運動過程中，始終不變的量是什么？進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行代數(shù)表示。揭示坐標(biāo)法的思想，重點放在直線與方程的一一對應(yīng)關(guān)系上。

3.原理證明，方程命名

問題1：已知直線l過點P0（x0，y0）且斜率為k，問直線l上的點P應(yīng)滿足什么條件？

意圖1：引導(dǎo)學(xué)生揭示直線與方程的同構(gòu)關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生來命名，概括出點斜式方程的定義，突出確定直線的兩個要素：點與斜率。

問題2：平面直角坐標(biāo)系中，過一點的直線中有哪些特殊情況？它們都能表示成直線的點斜式方程嗎？

意圖2：概括總結(jié)（1）與x軸平行或重合的直線（斜率為0）：方程 y=y0；（2）與y軸平行或重合的直線（斜率不存在）：方程 x=x0； 并進(jìn)一步獲得截距及斜截式方程的概念。

4.原理應(yīng)用，鞏固提升

例1：求下列直線的方程

（1）一條直線經(jīng)過點P（-2，3），傾斜角α=45°；

（2）一條直線經(jīng)過點A（0，2），且與直線y=3x+1垂直。

例2：已知直線l1：y1 = k1 x+ b1，l2：y2 = k2 x + b2.試討論：

（1）l1∥l2的條件是什么？ （2）l1⊥l2的條件是什么？

意圖：點斜式方程的簡單應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會獨立思考解決問題能力，滲透解析法和數(shù)形結(jié)合思想。

5.歸納總結(jié)，結(jié)構(gòu)認(rèn)知

（1）知識結(jié)構(gòu)

（2）方法結(jié)構(gòu)

①坐標(biāo)法。通過建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意將直線上動點坐標(biāo)（x，y）所滿足的等量關(guān)系表示出來。坐標(biāo)法求軌跡的思想不僅對直線方程與方程直線給出解釋，更對后續(xù)的求曲線方程問題提供了思路與方法。

②數(shù)形結(jié)合思想。通過直角坐標(biāo)系，把直線圖形的幾何直觀與直線方程的代數(shù)運算有機結(jié)合，實現(xiàn)了運用代數(shù)的方法來研究幾何問題。

意圖：通過結(jié)構(gòu)化總結(jié)與梳理，幫助學(xué)生將新學(xué)內(nèi)容納入已有的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

二、教學(xué)反思

1.何種方式引入，教學(xué)上不能太突兀或呈現(xiàn)跳躍式引入方式。以本節(jié)課為例，什么叫直線的方程？什么叫方程的直線？在本節(jié)課之前，學(xué)生并沒有這方面認(rèn)識，問題一開始時的設(shè)置是“給定一個點和斜率，如何求直線l的方程？”如此問題設(shè)置導(dǎo)致大部分學(xué)生學(xué)生不知道如何下手解決，主要原因便是學(xué)生還不知道直線方程的含義。后改成“求直線上點滿足的條件，于是可以從幾何上解釋—都在同一條直線上，也可以從代數(shù)上說明—點的坐標(biāo)滿足什么條件，從而可以進(jìn)一步說明坐標(biāo)法的思想：用代數(shù)方程表示幾何直線，由此才進(jìn)一步提出問題：方程與直線能互相表示嗎？這樣，他們之間的關(guān)系就水到渠成了。

2.知識原理不是無端生成的，為促進(jìn)新原理的學(xué)習(xí)，就要激活學(xué)生原有的知識與經(jīng)驗。比如，坐標(biāo)系下兩點的斜率公式表示？兩點確定一條直線，如果異于兩點的第三點P也在直線上，那么它滿足的代數(shù)條件是什么？等等是學(xué)習(xí)新原理的必要知識。

3.本節(jié)教學(xué)結(jié)構(gòu)是什么？本節(jié)課核心任務(wù)是對直線方程和方程直線的探究發(fā)現(xiàn)過程。重難點是直線上的點與方程的解的同構(gòu)關(guān)系，以及對直線的點斜式方程的探索和運用過程。而核心任務(wù)的完成，是通過學(xué)生自主及合作來完成的。通過特殊—一般—特殊的教學(xué)過程來歸納原理并運用原理。這是本節(jié)的教學(xué)結(jié)構(gòu)，那么對一般的原理課的教學(xué)結(jié)構(gòu)又該是怎樣的？

三、教學(xué)原理

通過知網(wǎng)搜索了相關(guān)文獻(xiàn)，并閱讀了福建省普教室課題成果《福建省中學(xué)數(shù)學(xué)新授課課堂教學(xué)基本規(guī)范》，以及廈門市教科院編寫材料《原理課核心任務(wù)及其教學(xué)定位》。梳理以上相關(guān)理論后，下面嘗試論述原理教學(xué)的基本要素。

1.數(shù)學(xué)原理課的定義

數(shù)學(xué)原理包括數(shù)學(xué)公理、定理、公式、性質(zhì)和法則等。數(shù)學(xué)原理既是數(shù)學(xué)概念及其關(guān)系認(rèn)識的深化，又是聯(lián)系概念和問題的橋梁。數(shù)學(xué)原理課應(yīng)通過學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，進(jìn)一步了解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系及其演繹規(guī)律，掌握數(shù)學(xué)知識之間所存在某些定律或聯(lián)系法則。讓學(xué)生準(zhǔn)確地掌握數(shù)學(xué)原理的條件部分和結(jié)論部分，了解公式、定理中諸條件的性質(zhì)和作用，掌握原理變形的各種形式。

例如，本節(jié)課學(xué)習(xí)是對直線方程與方程直線的首次認(rèn)識與接逐步了解直線方程與方程直線的內(nèi)在聯(lián)系，從而準(zhǔn)確把握對數(shù)學(xué)原理的理解。

2.原理課的基本要素

（1）數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容：數(shù)學(xué)原理的內(nèi)容表述可以是多種形式，無論是哪一種形式都必須表達(dá)規(guī)范，對原理的敘述要準(zhǔn)確。

（2）數(shù)學(xué)原理的結(jié)構(gòu)：要求分清條件和結(jié)論。在進(jìn)行原理教學(xué)時，要重視指導(dǎo)學(xué)生區(qū)分原理的條件與結(jié)論，體現(xiàn)數(shù)學(xué)原理與原有知識結(jié)構(gòu)之間的邏輯聯(lián)系。

（3）數(shù)學(xué)原理的論證：數(shù)學(xué)原理的論證要引導(dǎo)學(xué)生探索由條件到結(jié)論轉(zhuǎn)化的推理思路。還要注意原理轉(zhuǎn)換時的等價性，引導(dǎo)學(xué)生在證明過程中如何進(jìn)行原理的轉(zhuǎn)換，一定要展示完整的思維過程。

（4）數(shù)學(xué)原理的應(yīng)用：通過例題和習(xí)題讓學(xué)生領(lǐng)會原理的適用范圍、應(yīng)用的基本規(guī)律和注意事項。根據(jù)高中數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方式和學(xué)習(xí)過程。

3.原理課的教學(xué)結(jié)構(gòu)

（1）基本流程

如本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計流程為：1.問題引入，激發(fā)興趣 ；2.特殊入手，猜想原理； 3.原理證明，方程命名； 4.原理應(yīng)用，鞏固提升； 5.歸納總結(jié)，結(jié)構(gòu)認(rèn)知等。

（2）教學(xué)結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)原理的教學(xué)一般有幾種不同的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)：第一種是實驗研究型的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)，如本節(jié)教學(xué)；第二種是枚舉研究型的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)，如分類與分步計數(shù)原理教學(xué)；第三種是推理研究的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)，如空間幾何中線面平行，線面垂直的定理教學(xué)；第四種是分類研究和推理研究相結(jié)合的教學(xué)過程結(jié)構(gòu)，如正弦定理和余弦定理的教學(xué)。

關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)原理教學(xué)，以上只是我們的一點初淺認(rèn)識，期待同仁們更深入的理論與實踐研究，只有在平時教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生了解和把握數(shù)學(xué)原理的形成過程結(jié)構(gòu)，注重培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性整體思維，學(xué)生才會在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中主動遷移，才能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

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