多題一法和一題多解的雙線流解題教學

[摘 要] 數學解題教學是數學教學過程中至關重要的一環，面對基礎不一、眾口難調的學生，在圓的標準方程復習課上，以多題一法為主線，一題多解為分線，進行了一次雙線流解題教學的嘗試。

[關 鍵 詞] 多題一法；一題多解；待定系數法；圓的標準方程

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）08-0153-01

數學解題教學是數學教學過程中至關重要的一環，比較常見的是一題多解，它可以讓學生多方位、多角度地去思考問題，培養學生的發散性思維。然而現實中我們既有基礎扎實的學生，又有學業薄弱的學生，太強調發散思維的重要性容易忽視對聚合思維的培養。有學生跟我說：“老師，你一節課講了那么多方法，我來不及記，能不能只用一種方法就解決很多問題啊。”“是啊，凡事都能來個‘一劍破萬法’的絕招，該多開心啊。”

為此，筆者在圓的標準方程的復習課上，以多題一法為主線，一題多解為分線，進行了一次雙線流解題教學的嘗試。

這主線的一法是待定系數法，它是一種重要的數學思維方法，也是一種常見的解題技巧。要了解一個問題是否適用待定系數法來求解，主要關鍵是看能否根據已知條件，正確列出含一些特定系數的等式或方程。而圓的標準方程恰好符合該條件。

通過對（x-a）2+（y-b）2=r2的剖析可以發現，該方程中分別含有三個待定字母參數a，b，r，只要能根據已知條件列出參數方程，再代入相關條件，即可求出剩下的參數，這樣就能求出圓的標準方程了。

主線一法解多題，分線發散多法解。筆者抓住待定系數法這一主線，由易到難，層層遞進地設計了三道例題。引導學生解一題通一類題，多題歸一解，有助于學生聚合思維能力的養成，促成高效教學，讓學力不足的學生跟上來。而每一例題的教學，又開展一題多解的訓練，引導學生靈活地掌握知識之間的聯系，培養和發揮學生的發散思維能力，實現有效教學，讓學有余力的學生也能吃飽。

例1.求以點（-2，5）為圓心，并且過點（3，-7）的圓的標準方程。

主線解一：由圓心（-2，5），可設圓的方程為（x+2）2+（y-5）2=r2

點（3，-7）代入，得（3+2）2+（-7-5）2=r2

∴r2=169

∴圓的標準方程為（x+2）2+（y-5）2=169。

分線解二：由圓上一點到圓心的距離是半徑，直接求r。

r=■=13

∴圓的標準方程為（x+2）2+（y-5）2=169。

例2.已知點A（4，3）、B（6，-1），若以線段AB為圓的直徑，求出該圓的標準方程。

主線解一：先求圓心坐標，即AB中點為（■，■）=（5，1），

可設圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=r2

取點A（4，3）代入，得（4-5）2+（3-1）2=r2

r2=5

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5。

分線解二：先求圓心（5，1）

r=■=■

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5

分線解三：先求圓心（5，1）

直徑d=■=2■

r=■

注意不要將直徑d當作r代入圓的方程。

∴圓的標準方程為（x-5）2+（y-1）2=5。

例3.已知經過點P（-2，4）和點Q（0，2），并且圓心在直線x+y=0上，求出圓的標準方程。

主線解一：圓心在直線x+y=0，設圓心（a，-a）

則圓的標準方程為（x-a）2+（x+a）2=r2

點P（-2，4）和點Q（0，2）代入，

則（-2-a）2+（4+a）2=r2 （1）（0-a）2+（2+a）2=r2 （2）

得：a=-2，r2=4；

∴圓的標準方程為（x+2）2+（x-2）2=4。

分線解二：圓上的點到圓心的距離等于半徑，設圓心（a，-a），

則■=■

得：a=-2 ∴r2=4

∴圓的標準方程為（x+2）2+（x-2）2=4。

一題多解的發散思維和多題一法的聚合思維是兩種互逆的解題思維方式，在解決數學問題中都具有重要的地位。面對基礎不一、眾口難調的學生，我們教師需要創新精神，因材施教，靈活地運用各種方法，優化解題教學，盡量讓每個學生都有提高。

參考文獻：

[1]顧鳳.待定系數法在數學問題中的應用[J].中學生數理化（學研版），2014（9）.

[2]王海青.深入淺出，觸類旁通[J].中國數學教育（高中版），2016（4）.