基于Copula函數的信用風險度量模型

摘 要：在信用風險度量方面，單純的利用模型計算每個企業的違約概率或損失已經不能準確得出組合信用風險的度量值。同時，隨著公司間相互關系日漸復雜、共同違約事件逐漸增加，需要把各個經濟實體間的違約相依性納入信用風險管理體系。文章考慮將Copula函數與信用風險度量結合，改進原有的度量模型，為更好地控制違約相依的風險提供理論基礎。

關鍵詞：結構模型；Copula函數；相依違約

1 概述

組合信用風險的度量對于信用管理來說是一個重要的問題。隨著經濟的發展，企業間的相關聯系越來越強，將企業的相關性納入度量模型是現今需要解決的問題企業之間。企業之間存在著各種各樣的關系，不同的經濟關系可能會導致財務危機從一個企業向其他企業擴散，造成違約傳染效應。如果企業間的依賴性較小，對整個系統風險影響也較小，反之，如果企業間有較強的依賴關系，那么這個企業的違約有可能對整個系統的損失造成很大的影響，即一損即損。公司間存在的各種相關關系都可能會引起違約風險的傳染，如交叉持股、連環擔保及借貸關系等。一家公司違約的變化使得市場對這些關聯公司的違約風險進行重新評估。為避免這樣的骨牌連鎖效應的出現及保證金融市場的穩定，需要考慮公司間的違約相關性。近幾年中，Copula在金融風險研究中已有了很大的發展及應用。在研究組合違約行為的非對稱、非線性的相關關系上，主要是以Copula 函數理論為基礎的相關性度量提供了更廣泛的技術。關于組合違約相關性的研究，主要以企業信用風險度量理論為基礎，從不同角度研究組合信用資產之間的相關性結構，從而為全面認識組合信用風險和管理風險提供理論基礎。

2 Copula函數介紹

2.1 Copula函數基本理論

定義（Nelsen 1998）n維函數C：In=[0，1]n→[0，1]=I滿足如下條件：

由定義可知，Copula函數是一個多變量的均勻分布，它把多元隨機變量的聯合分布與其一維的邊際分布聯系起來，通常被稱為連接函數。

2.2 Copula的選擇方法

在實際問題研究中，不同的Copula函數可能會導致不同的分析結果。那什么樣的Copula函數會更好地解決問題、更好地描述變量間的相關結果？這是我們所面臨的一個重要問題。下面簡單介紹一些常用的Copula函數選擇方法：

（1）解析方法：K-S檢驗法、？字2擬合優度檢驗法及其變形

K-S檢驗是對一維分布函數進行的檢驗，如果要想用K-S方法對二維分布或更高維分布函數進行檢驗，則首先將二維分布或更高維分布函數通過降低維數才能實現。降維之后，二維分布的部分信息就會遺漏，不利于二維分布的選擇。針對此缺點，為了避免因降維而造成信息的遺漏，充分利用信息，文章直接介紹對二維分布擬合的方法。

（？字2擬合優度檢驗法）設（U，V）為隨機變量且邊際分布均為[0，1]上的均勻分布，其聯合分布函數為Copula函數C（u，v，？茲），（uk，vk）（k=1，2，...，n）為樣本觀測值，將[0，1]2均勻分割成m×m個單元格G（i，j）（i，j=1，2，...，m），記落入單元格G（i，j）內的實際頻數為Aij，落入單元格G（i，j）內的理論頻數為Bij，則在零假設成立時H0：（U，V）～C（u，v，？茲），統計量

漸進服從自由度為m2-1的？字2分布。對檢驗水平？琢，當M>？字2？琢（m2-1）時拒絕零假設。

（2）基于相關性度量對Copula函數選擇：基于秩相關系數，基于尾相關系數

秩相關系數Kendall ？子

？子的定義為：

其中，（X1，Y1）與（X2，Y2）獨立同分布，與（X，Y）同分布。

基于{（xi，yi）}1？燮i？燮n（（xi，yi）為樣本空間第i次觀測值）的？子的估計值為：

若（X1-X2）（Y1-Y2）>0則稱（X1，Y1）和（X2，Y2）是協同的，即表明X的變化和Y的變化協同；反之，若（X1-X2）（Y1-Y2）<0則稱（X1，Y1）和（X2，Y2）的變化是不協同的，即表明X的變化和Y的變化是不協同的。

秩相關系數Spearman ？籽

設（X1，Y1）（X2，Y2）（X3，Y3）是相互獨立并且與（X，Y）具有相同分布的二維隨機向量，定義X與Y的Spearman秩相關系數如下：

（3）選擇原則：

基于？字2擬合優度檢驗法得到的統計量M值越小越說明Copula對實際數據的擬合程度就越高，主要兩條選擇原則：一是Copula函數要通過擬合檢驗；二是在通過檢驗的Copula函數中選擇檢驗統計量值最小的Copula函數。

3 結構化模型中引入Copula函數

結構化模型首次是由Merton提出的，它的信息集是建立在可連續觀察的公司價值和負債上，當公司價值小于負債時，則違約發生。Merton模型中違約只發生在債券到期時，但是實際表明債券到期前的任何時期違約都有可能發生。為更符合現實情況，Black-Cox將首達時間模型引入到隨機違約事件中，考慮了違約時間的隨機性。

下面我們具體介紹在結構模型中引入Copula函數的過程：

3.1單個企業的違約隨機模型的建立

（1）違約時間？子

在結構化模型建模中，我們把違約發生的時間稱為違約時間。違約時間是結構化模型建模的基礎。根據違約定義，違約時間？子的分布是由遵循擴散過程的公司價值V首次到達違約閾值 的時間決定的：

其中，t為初始時點，T為債務到期日。

（2）違約概率

在結構化模型中，稱在風險中性條件下[t，T]上發生違約的概率為違約概率，表示為：

當Bs為固定值時，記公司資產價值在[t，T]上的最低點為：

則公司在[t，T]內發生違約的概率可以表示為：

因此根據期權定價公式可進一步得出違約概率為：

3.2違約相關的分析

考察n個公司的信用組合，t時刻的違約概率為DPi（t）=P（Vi（t）

在市場中，我們假設關于公司違約特征的信息是完全的，公共信息用濾波gt來描述，我們可以寫出在公共債券市場下的條件違約聯合概率：

設n個資產服從相關系數矩陣為R的聯合正態分布，則聯合違約概率的分布函數為：

即聯合違約概率是邊緣違約分布的函數。用Copula函數表示為：

參考文獻

[1]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer，1998.

[2]Merton R.C.On the pricing of corporate debt：the risk structure of interest rates[J].Journal of Finance，1974，29：449-470.

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