基于分數階域相關的地震面波處理方法研究

摘 要：針對反射地震勘探法高強度面波對有效波的干擾問題，提出將分數階自相關引入到地震信號處理中，通過計算地震反射信號分數階相關的峰值位置，確定分數階傅里葉變換的階次，通過在FRFT域對面波進行壓制，實現將有效波與面波干擾波的分離，利用FRFT的可逆性，變換回時頻域，達到信號處理的目的。實驗證明該方法具有面波消除徹底，且同相軸連續性好等優點。

關鍵詞：分數階相關；分數階傅里葉變換；面波；有效波

1 概述

傅里葉變換是處理確定信號和平穩隨機過程的理論基礎，經常用來進行地震信號處理。隨著現代信號處理理論的迅猛發展，科研人員所處理的信號已經由原來傳統的平穩信號逐漸轉向非平穩、非高斯、非單采樣頻率等的復雜信號。然而傅里葉變換有其明顯的局限性，它只能得到信號單純的時域或頻域信息，對于非平穩信號則無能為力。為了分析和處理非平穩信號，人們提出并發展了一系列新的信號分析理論。若將傅里葉變換看作從時間軸逆時針旋轉 到頻率軸，那么分數階Fourier變換作為Fourier變換的廣義形式，則可以旋轉任意角度以展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有變化特征，為信號的時頻分析提供了更大的選擇空間，正是由于分數階Fourier變換在時頻分析中的優點而逐漸受到眾多科研工作者的青睞。現今，分數階Fourier變換已經廣泛應用于科學研究和工程技術的許多領域，但是其在信號處理領域的潛力才剛剛得到挖掘。在地震面波處理這方面雖然沒有相應的成果出現，但是這一思想為我們提供了更多的研究空間。文章即以分數階Fourier變換為數據處理手段對地震勘中產生的地震面波進行壓制，以改善地震資料的信噪比，從而提高地震勘探的分辨率。

2 分數階傅里葉變換與分數階相關

2.1 分數階傅里葉變換

分數階傅里葉變換是傅里葉變換的一種推廣，從數學的角度來看，p階分數階傅里葉變換可以定義為時域信號x（t）的線性積分變換，對于旋轉角？琢= ，p為分數情形，定義[1-2]：

由FRFT的核函數Kp（t，u）可知，分數階傅里葉變換實質上是由一組完備的chirp信號為基函數所表征的正交變換，其chirp基函數

時，基函數成為（一組正交完備的三角函數基），分數階傅里葉變換變為傳統的傅里葉變換。如單頻正弦函數的傅里葉變換為一個沖擊函數一樣，一旦要分析的chirp信號的調頻率與某組基的調頻率相吻合，便在該組基的某個基上形成沖擊函數，由此可見分數階傅里葉變換對非平穩信號具有理想的時頻聚集性。另外，分數階傅里葉變換屬線性變換，Fa[ax（t）+by（t）]=axa（t）+bya（t），信號和噪聲相疊加后的分數階傅里葉變換等于二者分別進行傅里葉變換再疊加，不存在二次型變換對多分量chirp信號分析時所產生的交叉干擾，因此分數階傅里葉變換適合對多分量線性調頻信號進行參數參數估計和濾波。

2.2 分數階相關

相關是信號處理領域中很重要的概念。相關運算主要用于對兩信號進行比較或從強信號中檢測到較弱信號。普通相關運算主要應用于時域或頻域。分數階相關是普通相關的擴展，下面給出了分數階相關的定義式：

其中，S（t）為輸入信號，h（t）為參考信號，？籽表示沿角度？準方向的平移，可以看到，當？準=0時，分數階相關變為時域的普通相關，當？準=？仔/2時，分數階相關變為頻域的普通相關。因此，分數階相關可以認為是分數階域時移為？籽cos？準，頻移為？籽sin？準的廣義相關運算。

為便于計算，利用卷積與相關運算的關系將上式轉換為如下乘積運算，

因此分數階相關運算只需對先對信號進行角度為？仔/2+？準的分數階傅里葉變換后再進行傅里葉逆變換。

由分數階相關運算得到信號的分數階自相關可表示為：

2.3 模糊函數與分數階自相關

模糊函數主要用于分析信號的分辨性能，定義為：

當z（t）為多分量信號時，多個分量信號的模糊函數都是以原點（0，0）為中心，混合在一起，因此稱各分量信號是模糊的。若信號中存在線性調頻信號分量時，以原點為起點，以角度？椎=arctan（m），沿斜率m對模糊函數進行線積分（對模糊函數進行Radon變換：D（m）=∫|AFs|（？子，m？子）|d？子），當多分量信號中存在線性調頻信號時，積分將出現峰值，根據這一原理可對m進行一維峰值搜索，實現對微弱LFM信號的檢測。

將模糊函數的定義式與分數階自相關的公式相比較可以發現旋轉角為？椎的分數階自相關與模糊函數在沿？椎角射線方向的切片是一致的。因此，分數階自相關與模糊函數存在如下等式關系。

由于對模糊函數進行Radon變換，其運算量較大，計算的復雜度為O（N2log2N+MN），因此可以利用對分數階傅里葉變換在？椎=2？仔范圍內沿著m=tan？椎做線性積分來實現對模糊函數的Radon變換。計算過程主要是對信號進行分數階傅里葉變換的結果平方后再進行傅里葉逆變，其計算復雜度為O（M（2Nlog2N+N）），遠小于直接對模糊函數進行積分的運算量。

3 地震面波壓制原理

利用分數階傅里葉變換的旋轉性可以將不同頻率成分的信號分離開來，進行濾波，從而將信號和噪聲的分離，因此，近幾年關于地震信號處理方面的科研和工程人員嘗試利用分數階傅里葉變換對地震面波進行壓制。

由于地震面波和有效波混雜在一起，面波的能量比有效波能量強，幾乎淹沒了有效波。只有選擇一個合適的旋轉角度，才能使面波和有效波在時頻域實現分離。在處理過程中必須通過大量的試驗找出最佳變換階數，然后在該分數階域內設計濾波器去除面波，達到壓制面波的效果。因此，使得數據處理過程變得復雜和不確定。

文中提出利用分數階自相關結合分數階傅里葉變換的方法來對地震信號進行處理，實現使地震有效波與面波干擾波的有效分離。具體方法如下：

（1）對采集的地震信號進行分數階自相關變換，通過得到的峰值點確定有效信號調頻斜率，從而確定分數階傅里葉變換的最佳旋轉階數p。

（2）根據第一步獲得的參數對原始信號進行分數階傅里葉變換，在分數階域對面波及噪聲進行壓制。

（3）進行分數階傅里葉反變換，得到信號的時域表示。

4 實驗分析和驗證

文中以實際地震數據資料為研究對象，其中采集道數為64道，道間距為15米，采樣點數為1280，采樣間隔為0.004s。

選定第一道地震記錄進行分數階自相關運算，確定該道分數階傅里葉變換的最佳階數為p=0.96。圖1為p=0.96時的分數階傅里葉變換。

在x-t域，地震記錄的水平方向表示偏移距，垂直方向表示時間。圖2是64道原始地震數據進行分數階傅里葉濾波前與分數階濾波后地震記錄結果比較。從a圖中可以看出面波和有效波混雜在一起，面波的能量比有效波能量強，幾乎淹沒了有效波。從濾波處理后的b圖可以看到，面波得到了很好的壓制。

5 結束語

在反射法地震勘探中，有效波往往會被面波所淹沒從而使得對地震資料的解釋變得復雜起來。因此，要獲得高信噪比、高分辨率的地震資料，壓制面波提取有效波顯得十分重要。近年來，隨著分數階傅里葉變換相關理論的快速發展，其已經廣泛應用于科研與工程實踐中。文章通過對分數階傅里葉變換理論的進一步研究，提出采用分數階自相關方法來確定地震信號的有效波調頻斜率，從而確定分數階傅里葉變換的變換階次，在分數階傅里葉域內通過濾波實現對面波干擾波的壓制，實驗證明該方法是可行的，可以很好的確定傅里葉變換的參數，達到了壓制面波提取有效波的效果。

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