理想結構桁單元的開發及其應用*

裴志勇 鄭培培 朱 波

(武漢理工大學高性能艦船技術教育部重點實驗室1) 武漢 430063) (武漢理工大學交通學院2) 武漢 430063)

理想結構桁單元的開發及其應用*

裴志勇1,2)鄭培培2)朱 波2)

(武漢理工大學高性能艦船技術教育部重點實驗室1)武漢 430063) (武漢理工大學交通學院2)武漢 430063)

理想結構單元法(ISUM)以其高效、高精度而適用于大型結構系統的逐次崩潰分析.根據所受載荷的不同，將結構的變形形狀理想化，從而開發出了系列理想結構板單元.對雙層底縱桁的受力特點和變形特征進行分析，將其理想化開發出理想結構桁單元，并應用于1/13集裝箱船模型在純彎、純扭和彎扭聯合載荷作用下船體梁的逐次崩潰分析.將理想結構單元法計算結果與實驗結構進行了對比分析.討論了初始變形、焊接殘余應力等初始缺陷對結構崩潰行為的影響.

逐次崩潰分析；極限強度；集裝箱船；彎扭聯合載荷；理想結構單元法(ISUM)；理想結構桁單元

0 引 言

船體梁極限強度，也稱為船體梁極限承載能力，對于保證船舶在極限狀態如遭遇風暴、不當裝載、不當卸載等狀況下的結構安全性具有重要意義.其計算方法通常有簡易方法如Smith法、非線性有限元法(NFEM)，以及理想結構單元法(ISUM)等.簡易方法做了一些假定，僅在一定條件下適用，如Smith法在船體受到純彎作用時計算精度相對較高，對于彎扭聯合載荷的情況，其精度尚需進一步深入的研究和驗證.非線性有限元法在計算過程中要考慮材料非線性和幾何非線性，要劃分較細的網格才能達到精度要求，對于船體結構這樣的大型結構體系，往往會因計算時間過長而難以在實際中應用.理想結構單元法將屈曲、屈服等非線性行為用適當的形函數理想化，對屈服準則等塑性條件理想化以避免沿板厚方向積分，并將這些理想化包含在單元中，這樣就可以將較大的結構單位視為一個理想結構單元，從而大幅減少自由度，降低計算時間，使得對大型結構體系如船體梁等的極限強度分析成為可能.

按照理想化方法的不同，理想結構單元法的發展可分為三代[1].第一代理想結構單元法中屈曲變形不予考慮，屈曲后面內剛度的降低是通過有效帶板寬度來考慮的[2]；單元的非線性行為是通過理想化的解析公式來表達的，這樣相應的公式相當復雜，只有具有相當的工程知識和數學力學理論功底的人才能理解其含義和解析過程.第二代理想結構單元法是將面外變形作為獨立的自由度，以屈曲特征模態來理想化面外變形的形狀[3]；它將理想結構單元法的本質從如何精確地理想化非線性行為轉變到如何選取有較少自由度的高精度的面外變形函數；單元精度取決于正確地選取變形函數來模擬實際的變形.由于在第二代理想結構單元法中采用屈曲特征函數，結構的屈曲行為能夠較好的模擬；但對于極限強度以后的局部塑性變形(變形形狀會迥異于屈曲特征模態)，就不能很好的模擬了.第三代理想結構單元法采用崩潰模態的面外變形函數來模擬結構的逐次崩潰行為[4]；基于非線性有限元的系列計算結果，用最小二乘法擬合出面外變形的形狀函數，這樣所開發的理想結構單元的精度能得以保證.根據結構所受載荷的不同，相應的面外變形函數也不相同，開發出了一系列的理想結構單元，如受縱向壓縮和橫向壓縮的理想結構板單元，受面內彎曲作用的理想結構板單元[5]，等參四邊形理想結構板單元以及考慮水壓作用和焊接殘余應力影響的理想結構板單元等[6-8].

在研究中，先根據雙層底縱桁所受載荷特點，進行系列非線性有限元分析，得到縱桁結構面外變形特征；然后理想化面外變形函數，進而開發出理想結構桁單元.隨后，將開發的理想結構桁單元應用于1/13集裝箱船模型，分析其在純彎、純扭以及彎扭聯合作用下的逐次崩潰行為，并將計算結果與非線性有限元法計算結果和試驗結果做比較分析，從而驗證了所開發的理想結構桁單元的高效高精度特性.

2 理想結構桁單元開發

從第二代理想結構單元法開始，選取有較少自由度且能精確反映面外變形特征的形函數成為理想結構單元開發的核心.理想結構單元的開發流程見圖1.

圖1 理想結構單元開發流程

2.1 受剪切作用船底縱桁的非線性有限元分析

為了得到能精確表示剪切作用下縱桁的屈曲/屈服崩潰行為的變形函數，采用筆者開發的非線性計算程序系統“ULSAS”對典型縱桁結構進行了逐次崩潰分析，得到了不同載荷水平的結構變形形狀，然后采用最小二乘法對變形形狀進行擬合，可得到逐次崩潰過程中各分量的變化狀況.對于一a×b×t=2 400 mm×800 mm×10 mm的典型板格，載荷及邊界條件見圖2.進行非線性有限元分析時，采用板單元來模擬，寬度方向劃分為10個單元，長度方向網格大小跟寬度方向基本一致.在非線性分析過程中，板邊假定一直保持直線.

圖2 剪切作用下板格載荷及邊界條件

圖3 各變形分量-剪切變形關系曲線

2.2 理想結構桁單元的面外變形函數

理想結構矩形板單元有4個節點，每個節點有3個自由度(u,v和wn)，單元內部采用雙線性插值.四邊自由支持的矩形板劃分為3個理想結構單元，見圖4.縱向壓縮下的面外變形幅值Al以及橫向壓縮下的面外變形幅值At分別作為獨立于節點自由度的附加自由度.

圖4 理想結構矩形板單元模型

根據上節中典型板格在剪切作用下的非線性有限元分析結果，對于長為a、寬為b的矩形板格，剪切作用下其理想化面外變形形函數可表示為[9]

(1)

式中：m為剪切屈曲半波數；As為變形分量Am1(即縱向m個屈曲半波，橫向1個屈曲半波)對應的變形幅值，將作為獨立的自由度；ξi為各面外變形幅值A(m-1)2，A(m+1)2和A(m+2)1相對于Am1的變形幅值的比，其值可由非線性有限元計算結果得到.

根據非線性有限元計算結果，可用量綱一的量化的剪切應變來表示各面外變形幅值ξi，即

(2)

圖5 A(m+2)1項系數ξ3對應的mi和pi值

為了模擬縱桁在面內彎曲作用下的崩潰行為，面內彎曲作用下縱桁面外變形的形函數為

(3)

式中：hdb和b分別為縱桁的高度和寬度，第i階變形幅值Ai作為一個獨立的自由度.理想結構單元劃分和變形函數見圖6.

圖6 面內彎曲作用下縱桁理想結構單元劃分及變形函數示意圖

如果節點位移采用通常使用的雙線性插值，則面內彎曲作用下板單元的變形是如圖7a)所示的形狀，這與實際的變形(見圖7b))形狀不符，會導致所謂的“剪切鎖定”現象，即彎曲剛度變得過大.為了克服這個問題，在2個正交方向分別增加2個附加自由度Bx和By(見圖7b)，這樣就能得到正確的節點位移和面內變形.

圖7 面內彎曲下板單元的變形

對于實際的船底縱桁結構，會受到面內彎曲和剪切的雙重作用，其理想化面外變形函數可表示為面內彎曲作用下的變形函數和剪切作用下的變形函數之和，即

w=ws+wb=

(4)

式中：As為剪切面外變形自由度；ξi為各面外變形系數；Ai為面內彎曲變形自由度.

2.3 理想結構桁單元計算公式的推導

在確定了理想結構桁單元面外變形函數w之后，就可以推導出其應變增量來，面內應變的線性項和曲率可以像常規的有限板單元一樣來推導，面內應變的非線性項可通過彈性大變形分析(elastic large deflection analysis, ELDA)得到，即滿足大變形時的變形協調條件

(5)

式中：F為Airy應力函數；w0為初始撓度值，采用與總撓度相同的表達式.解出Airy應力函數F之后，可得到大變形產生的非線性面內應力和應變，即

(6)

為了避免沿厚度方向積分，采用基于單位寬度力和彎矩的Egger屈服函數.在板單元的長度和寬度方向采用梯形積分法進行數值積分，每個理想結構板單元取7×7=49個積分點，在每個積分點根據Von Mises 屈服準則判斷是否發生屈服.

總縱彎曲產生的節點撓度wn對面內變形的非線性影響，通過修正的Green應變增量來考慮.因此，總應變增量可表示為

(7)

式中：右邊第一項為線性項，第二項為計及彈性大變形的非線性項，第三項為考慮整體屈曲的非線性項，采用改進的Green應變增量來表示.

對理想結構桁單元，運用虛功原理，可得以下增量形式表達式

KΔd=ΔF+(F-R)

(8)

式中：K為切向剛度矩陣；Δd為位移增量；F和ΔF分別為外載荷及其增量；R為內力.單元剛度矩陣及力向量可采用跟傳統有限元方法相同的方式進行組集，得到總體剛度矩陣和力向量.

3 理想結構桁單元精度驗證

為了驗證所開發的理想結構桁單元的精度，對長a×寬b為2 400 mm×800 mm、厚度t分別為15 mm和20 mm的矩形板應用非線性有限元法和開發的理想結構單元進行了剪切作用下的逐次崩潰分析，得到的平均切應力-平均切應變的關系見圖8.圖中縱坐標為量綱一的量化的平均切應力τ/τY，橫坐標為量綱一的量化的平均切應變γ/γY.對于板厚為15 mm的板，量綱一的量化平均切應變γ/γY=1.05和3.14時的崩潰模態比較見圖9.理想結構單元計算結果，包括平均切應力-平均切應變關系曲線，以及不同切應變時的崩潰模態，均與非線性有限元計算結果保持一致.

圖8 剪切作用下理想結構單元和非線性有限元計算結果比較

圖9 剪切作用下非線性有限元(FEM)和理想結構(ISUM)單元崩潰模態比較

另外，還對長a×寬b為2 400 mm×800 mm、厚度t分別為15 mm和20 mm的矩形板在面內彎曲和剪切聯合作用下的逐次崩潰行為用非線性有限元法和開發的理想結構單元法進行了比較分析，得到的量綱一的量化彎矩-切應力關系曲線，見圖10.理想結構桁單元計算得到的載荷路徑曲線跟非線性有限元計算結果能較好的吻合.

圖10 彎剪聯合作用下理想結構單元和非線性有限元計算結果比較

4 集裝箱船模型逐次崩潰分析

為把握超巴拿馬型集裝箱船在純彎、純扭，以及彎扭聯合作用下的逐次崩潰行為，Tanak等[10]進行了1/13縮尺的三艙模型崩潰實驗.在本節中，運用開發的理想結構單元，對實驗模型進行純彎、純扭，以及彎扭聯合作用下的逐次崩潰分析，并將理想結構單元計算結果跟實驗結果和LS-DYNA非線性分析結果進行了比較分析.

4.1 集裝箱船模型

縮尺比為1/13的超巴拿馬型集裝箱船模型有3個由水密橫艙壁分隔開來的艙室，每個艙室在其中部有抗扭箱結構以增強其總體抗扭能力，最前端和最后端的半個艙段設有中間甲板.最尾端面通過系列螺栓固定在剛性壁面上，在首部左右舷通過加載設備給模型施加載荷，通過調整左右舷載荷P1和P2的大小和方向來實現模型純彎、純扭，以及彎扭聯合載荷狀況，見圖11.

圖11 單元劃分及加載裝置示意圖

用高效高精度理想結構單元來模擬集裝箱船模型主要縱向強力構件，如船底板、內底板、舷側外板、內殼板和甲板等在純彎、純扭，以及彎扭聯合作用下的逐次崩潰行為.其余的構件，如橫艙壁、抗扭箱等結構，對船體梁的彎曲及扭轉崩潰基本上沒有影響，用彈性有限元來模擬.板材用等參板殼元模擬，加強筋用彈性梁-柱單元模擬，在這2種單元的剛度矩陣中都考慮了幾何非線性影響[11-12].模型中總共有3 369個理想結構板單元，1 790個彈性梁-柱單元和1 631個等參彈性板單元，網格劃分及加載裝置示意圖見圖11.

4.2 逐次崩潰分析

當圖11所示的2個力大小相等且方向都向下時，即P2=P1，相當于在模型上施加純彎載荷.需要注意的是，采用這種懸臂梁末端加載的方式，在橫斷面上會產生垂向剪力，嚴格意義上來說，這種情況并不是純彎工況.當2個外力大小相等但方向相反時，即P2=-P1，相當于在模型上施加純扭載荷.而當P2=-0.68P1時，模型則處于彎扭聯合的狀態，此時垂向彎矩與轉矩的比值為0.5.

另外，在進行逐次崩潰分析時，還在理想結構板單元內考慮了焊接殘余應力和初始缺陷的影響.根據該模型試驗資料，初始變形為正弦屈曲模態，變形幅值取1%板厚；試驗時測得模型的焊接殘余應力大致為61 MPa(壓縮應力σc)，將此焊接殘余應力加到理想結構板單元上，焊接殘余應力分布見圖12.

圖12 焊接殘余應力分布示意圖

通過加載設備，在模型端部加載點位置施加強制位移，從而獲得非線性載荷和載荷作用點位移的關系曲線.對于復合載荷情況，可采用跟試驗相同的方式施加強制位移，使P2=-0.68P1，來實現垂向彎矩與轉矩比值1∶2的彎扭聯合工況.

4.3 計算結果及討論

4.3.1 純彎工況

采用理想結構單元法共計算了純彎作用下不考慮焊接殘余應力和初始變形影響、考慮初始變形但不考慮焊接殘余應力影響和考慮焊接殘余應力和初始變形影響這3種工況，計算得到的載荷與載荷施加點位移的關系曲線跟試驗結果以及非線性有限元計算結果比較見圖13.標示“ISUM_no ini_no wr”為理想結構單元法不考慮初始變形和焊接殘余應力時的計算結果；“ISUM_ini_no wrs”為理想結構單元法考慮初始變形但不考慮焊接殘余應力時的計算結果；“ISUM_ini_wrs”為理想結構單元法在考慮初始變形和焊接殘余應力時的計算結果；“FEM”為采用LS-DYNA在不考慮初始變形和焊接殘余應力的情況下進行的非線性有限元分析結果；“Pdown-P(exp.)”為試驗時左舷施加載荷和載荷作用點位移關系；“Pdown-S(exp.)”為試驗時右舷施加載荷和載荷作用點位移關系.在用理想結構單元法和非線性有限元計算計算時，所施加的載荷P1和P2是大小相等且方向相同的，所得到的載荷作用點的位移也是一樣的.但在逐次崩潰試驗時測得的載荷作用點的位移有少許差異，這是由于實際試驗模型初始變形和焊接殘余應力左右舷是不對稱的，最終導致載荷作用點的位移在左右舷不完全一致，也就是說試驗結果曲線左右舷的載荷-載荷作用點位移曲線是不重合的.

圖13 純彎工況載荷-載荷作用點位移關系圖

采用理想結構單元法，考慮焊接殘余應力和初始變形影響時，主要縱向構件在極限強度時的變形模態見圖14，船底板在極限強度前、極限強度時和極限強度后的變形模態見圖15.由于理想結構單元較大無法顯示出單元內部變形情況，圖14～15顯示的都是虛網格，即一個理想結構單元用6×6的虛網格來顯示單元內部的變形.

圖14 純彎工況極限強度時主要縱向構件變形模態

圖15 純彎工況不同載荷水平時船底板變形模態

對于考慮初始變形但不考慮焊接殘余應力的情況，在首端兩大小相等方向垂直向下的載荷作用下，甲板結構受拉且底部及內底結構受壓.當載荷增加到約350 kN時，船底板率先發生屈曲，屈曲后理想結構單元法得到的船體剛度比非線性有限元法要稍低一些，這是由于當前的理想結構單元法中沒有考慮加強筋對板的作用，從而使得板格的屈曲強度稍小.隨著載荷的逐步增加，屈曲從尾部固定端向船首方向擴展，不僅底板發生屈曲，內底板和舷側外板也發生屈曲并向首部擴展.當載荷增加到約550 kN時，靠近尾部固定端的船底板和舷側外板靠近底板位置發生屈服；隨著載荷的增加，屈服向船首部擴展.當載荷增加至610 kN時，甲板、甲板縱骨以及舷頂列板及其骨材受拉發生屈服；同時船底板和內底板及船底縱骨、內底縱骨受壓發生屈服.隨著屈服的擴展，整個結構不再能承受載荷，也就是說達到了極限強度狀態.極限強度之后，塑性變形集中在尾端部(彎矩最大)區域，并且隨著塑性變形的進一步發展，承載能力隨之下降.

采用理想結構單元法進行分析時，當初始變形和焊接殘余應力都不考慮時，模型崩潰過程中幾乎沒有屈曲現象發生，極限強度值較其它情況要大，且極限強度以后承載能力基本保持不變；考慮初始變形影響而不考慮焊接殘余應力作用時，有屈曲現象發生而且極限強度以后承載能力會顯著降低；而當同時考慮初始變形和焊接殘余應力作用時，結構的初始剛度降低，在較低載荷水平下發生屈曲，極限強度較上述兩種情況要小很多，極限強度以后有承載能力降低，但不是很明顯.

非線性有限元計算是在考慮初始變形但忽略焊接殘余應力的前提下進行的，同等條件下的理想結構單元法計算結果(圖13中標示“ISUM_ini_no wrs”)跟非線性有限元計算結果吻合較好，但屈曲發生較早，這是由于理想結構板單元在計算屈曲時沒有考慮加強筋對其的扭轉作用所致.

考慮焊接殘余應力影響的3個工況(理想結構單元、試驗左舷和試驗右舷)的計算結果跟不考慮焊接殘余應力的3個工況(理想結構單元考慮初始變形、理想結構單元不考慮初始變形和非線性有限元)的結果相比，初始剛度稍低、屈曲發生較早且極限強度值要小.模型焊接施工時在焊接線附近產生較大的拉伸殘余應力，而相應的在板格中間產生較大的壓縮殘余應力.在沒有施加載荷之前，在該焊接殘余應力的作用下板格會發生屈曲，所以考慮焊接殘余應力作用時初始剛度較不考慮焊接殘余應力時要稍低一些.由于焊接殘余應力作用在板中間產生較大的壓縮殘余應力導致板格容易發生屈曲，進一步降低了面內剛度，同時彎曲引起的拉壓應力與焊接殘余應力合成導致屈服發生得較早，從而極限強度值較不考慮焊接殘余應力作用時要小很多.

試驗崩潰模態見圖16，崩潰發生在最尾端艙室船底板的中央位置，崩潰后局部塑形變形都集中在此位置.理想結構單元法計算得到的崩潰位置與此相同，也在最尾端艙室船底板的中央，見圖15b)，c).

圖16 純彎試驗時船底板崩潰模態

4.3.2 純扭工況

理想結構單元法考慮和不考慮焊接殘余應力、非線性有限元計算以及試驗得到的載荷與加載點位移的關系見圖17.標示“Pdown”為右舷載荷與加載點位移關系，因為該處的載荷是向下的；“Pup” 為左舷的結果，該處的載荷向上.在不同載荷水平下理想結構單元法考慮焊接殘余應力影響時的變形模態見圖18.為顯示變形模態，圖中是以虛網格形式表示的，即一個理想結構單元用6×6的虛網格來顯示單元內部的變形.

圖17 純扭工況載荷-載荷作用點位移關系圖

由理想結構單元法計算得到的純扭工況船體梁的逐次崩潰過程如下：首先，剪切屈曲發生在板厚較薄的舷側外板中部和內殼板的中部.隨后，右舷尾部靠近船底位置板格由于縱向壓力和剪力聯合作用發生屈曲.隨著載荷的進一步增加，中間艙右舷附近的舷側外板和船底板發生崩潰，繼而整體結構發生崩潰，達到極限強度狀態.

圖18 純扭工況不同載荷水平時變形模態

在崩潰試驗中，除了上述的崩潰模態外，還有兩種其他崩潰模態，即艙口角隅的崩潰和甲板與舷側外板間焊縫的崩裂.試驗中出現的艙口角隅的崩潰和甲板與舷側外板間焊縫的崩裂模態，不能用理想結構單元法模擬，因此試驗結果較理想結構單元法結果(考慮焊接殘余應力工況)要稍小.另外，利用LS-DYNA進行的非線性有限元分析是在不考慮焊接殘余應力的條件下進行的，跟相同條件下理想結構單元法結果相比，非線性有限元計算的極限強度值稍低一些，但二者有著相同的趨勢，大體上吻合較好.

4.3.3 彎扭聯合工況

為了探究彎扭聯合作用下的逐次崩潰行為，對P2=-0.68P1載荷條件下(垂向彎矩和轉矩的比為0.5)，采用理想結構單元法和非線性有限元法分別進行了逐次崩潰分析，并將計算結果與試驗得到的載荷與載荷作用點位移關系比較見圖19.跟純扭工況類似，“Pdown”表示右舷載荷與加載點位移關系，因為該處的載荷是向下的；“Pup” 表示左舷的結果，該處的載荷向上.

圖19 彎扭聯合工況載荷-載荷作用點位移關系圖

在不考慮焊接殘余應力的前提下，理想結構單元法計算結果跟非線性有限元法計算結果吻合較好.同時，考慮焊接殘余應力影響的理想結構單元法計算結果跟崩潰試驗結果也吻合較好.

理想結構單元法計算得到的彎扭聯合下的崩潰模態與純扭狀態的崩潰模態類似，但舷側外板靠近底部板格屈曲發生得更早且變形值要大些，這是因為彎扭聯合工況下該部位受到彎曲作用引起的壓縮載荷較純扭工況要大得多，從而引起該部位較大的變形和較早發生屈曲.

由于在本節計算時，垂向彎矩比轉矩小得多，僅僅是轉矩的一半，所以典型的崩潰行為與純扭工況的典型崩潰行為幾乎一樣.

從上述計算結果可以看出，文中所開發的理想結構單元可以較準確的模擬純彎、純扭以及彎扭聯合作用下集裝箱船模型的逐次崩潰行為.

5 結 論

1) 基于非線性有限元計算結果，理想化剪切作用下面外變形函數，將其與面內彎曲作用下理想化變形函數一起構成理想結構桁單元的面外變形函數.

2) 通過板格在剪切及彎剪組合情況下與非線性有限元計算結果的比較，初步驗證了所開發理想結構桁單元的精度.

3) 焊接殘余應力對模型逐次崩潰行為的影響較大，考慮焊接殘余應力的作用會導致較小的初始剛度和較低的極限承載能力.

4) 用理想結構桁單元進行了集裝箱船模型在純彎、純扭和彎扭聯合作用下的崩潰分析，驗證了理想結構桁單元對大型結構系統逐次崩潰分析的適用性.

5) 通過理想結構單元的計算結果跟非線性有限元結果和試驗結果的比較分析，驗證了所開發理想結構桁單元的高效高精度特性.

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Development of ISUM Girder Element and Its Application

PEI Zhiyong1,2)ZHENG Pei2)ZHU Bo2)

(KeyLaboratoryofHighPerformanceShipTechnologyofMinistryofEducation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)1)(DepartmentsofNavalArchitecture,OceanandStructuralEngineering,SchoolofTransportation,WuhanUniversityofTechnology,Wuhan430063,China)2)

Idealized Structural Unit Method (ISUM) is suitable for progressive collapse analysis of large scaled structural system due to its high efficiency and sufficient accuracy. Series idealized structural unit elements are developed by idealizing lateral deflection which shall be different with different load. In the present research, the characteristics of load and deformation of girder in the double bottom structure are studied firstly. Then, the idealized structural girder element is developed. The developed element is applied to 1/13-scaled container ship model to perform the progressive collapse analysis under pure bending, pure torsion and combined bending and torsional moment. The influence of initial deflection and welding residual stress on structural collapse behaviour is discussed.

progressive collapse analysis; ultimate strength; container ship; combined bending and torsional moment; idealized structural unit method; ISUM girder element

2016-10-18

*教育部留學歸國人員科研啟動基金項目資助

U663.2

10.3963/j.issn.2095-3844.2016.06.003

裴志勇(1974—)：男，博士，副教授，主要研究領域為船體梁極限強度