時域有限長信號的頻譜分析與信號還原

田宇澤 (合肥工業大學信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國石油集團東方地球物理公司物探技術研究中心，河北 涿州 072751)易國華 (長江大學期刊社，湖北 荊州 434023)

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時域有限長信號的頻譜分析與信號還原

田宇澤 (合肥工業大學信息工程系，安徽 合肥 230009)霍秋娟 (中國石油集團東方地球物理公司物探技術研究中心，河北 涿州 072751)易國華 (長江大學期刊社，湖北 荊州 434023)

用數字的方法對時域有限長信號進行頻譜分析就是對該信號的頻譜在頻率域進行采樣，而采樣點數的多少對頻譜分析的準確性將會產生一定的影響。同時，利用頻譜能否正確還原時間信號的必要條件是必須滿足頻率采樣定理。頻譜恢復時域信號是將序列的頻譜進行IDFT變換(離散傅里葉逆變換)的過程，在實際的工程應用中，進行頻譜分析的原始信號在時間域是無限長且連續的，而不是有限長且離散的，因此利用數字的方法進行頻譜分析一定會引起諸如頻譜泄露等誤差而影響最終的頻譜分析結果。從頻域采樣定理出發，分析了基于離散傅氏變換進行有限長信號時域恢復時可能產生失真的原因，指出了提高頻譜恢復原始信號的保真度的方法。理論分析和仿真結果表明，正確的選擇采樣頻率、譜分析的點數和頻率域的采樣點數是關鍵。

有限長;DFT(離散傅里葉逆變換);頻譜分析；信號還原

工程應用中的信號一般為無限長連續信號，為便于在計算機中進行分析研究，需要將其截斷成有限長信號[1,2]。另一方面，計算機只能處理離散信號，需要對連續信號進行離散化，此時應當滿足時域采樣定理的[3]條件。時域采樣定理為連續時間信號與離散時間信號架起了一座橋梁，并為連續時間信號與離散時間信號的相互轉換提供了依據。對有限長序列進行離散傅里葉變換DFT[4,5]，得到其離散的譜線，在滿足頻域采樣定理的條件下能夠由這些譜線恢復出時域有限長信號。對于有限長信號而言，在同時滿足時域和頻域采樣定理的情況下，是否一定能夠得到正確的頻譜并恢復出原始時域信號呢？為提高有限長信號頻譜分析和頻譜恢復原始信號的準確性，筆者從理論上研究了時域采樣點數和頻域采樣點數之間的深層次聯系，指出了有限長信號獲得正確的頻譜及準確恢復原始信號的具體條件。

1 連續信號譜分析的基本原理

利用數字的方法對連續信號x(t)進行譜分析時，信號在時間域和頻率域都是數字信號。對連續信號x(t)進行等間隔采樣能夠得到時間域的數字信號x(n):

x(n)=x(t)|t=nT

(1)

其中，n=0,1,2,…,m-1;M表示信號的采樣點數;T是采樣間隔，s;n表示第幾個采樣點。

對x(n)進行傅里葉變換能夠得到信號的頻譜X(ejω) ：

(2)

式中，ω是數字頻率。

顯然，X(ejω) 是周期為2π的連續函數。

進一步對X(ejω) 進行離散化，得到頻域的數字信號X(k)：

(3)

式中，N表示頻域采樣的點數；k表示頻域采樣點序號。

在進行連續信號的頻譜分析時，以X(k)來表示待分析連續信號x(t)的頻譜X(ejω) 。對X(k)進行離散傅里葉逆變換IDFT得到xN(n)：

(4)

式中，RN(n)是長度為N的矩形序列。

xN(n)即N點IDFT[X(k)]得到的序列，也就是原序列x(n)以N為周期進行周期延拓后的主值序列。因此，xN(n)能夠與x(n)保持一致而在時域不發生混疊，則需要頻域采樣點數N必須大于等于時域離散信號的長度M(即N≥M)，即滿足頻域采樣定理。此時xN(n)就是原序列x(n)。如果N>M，則xN(n)比原序列x(n)尾部多N-M個零點，反之，時域發生混疊，xN(n)與x(n)不等。

2 由頻譜恢復原始信號的參數選擇

通過前述分析，對于給定有限長信號提高頻譜分析和頻譜恢復原始信號準確性的前提是分析參數的準確選取。設輸入有限長信號x(t)，以采樣間隔T進行采樣，分析參數涉及到時域采樣點數、時域信號記錄長度、頻域采樣點數等。

2.1 時域采樣點數的選擇

首先根據要求確定采樣頻率，采樣頻率要滿足奈奎斯特采樣定理：采樣頻率fs≥2fmax，fmax為所要分辨的最高諧波頻率。并調整時域采樣點數L來觀察不同的情形。

2.2 信號的記錄時間

當信號的采樣間隔確定時，信號的記錄時間將隨時域采樣點數的不同而不同。

2.3 頻域采樣點數的選擇

頻率采樣點數N的選取首要條件是滿足頻域采樣定理N≥M。當N與M之間存在整數倍的關系時能夠觀察得到正確的頻譜，其頻譜能夠恢復出原始信號。當N與M相等時得到的頻譜不是正確信號的真實頻譜，但是依然可以通過內插公式由其頻譜恢復出原始信號。

3 試驗分析

圖1 矩形序列RN(n)及其頻譜和還原信號

假設x(t)經過采樣后是矩形序列RN(n)，長度M=4，如圖1(a)所示。當頻域采樣點數N滿足N=M時，對RN(n)作N=4的DFT和IDFT變換，結果分別如圖1(b)和圖1(c)所示。

從圖1(b)的頻譜圖可以發現，該條件下的頻譜只有X(0)=1，而其他值均為零，這與矩形序列的真實頻譜之前存在明顯的差異，可以認為矩形序列離散頻譜無法體現其連續頻譜的特點；分析圖1(c)的結果，還原信號與圖1(a)完全相同。因此在滿足時域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N=M時，得不到期望的矩形序列頻譜，但是由此頻譜利用內插公式能夠正確恢復時間域矩形序列。可見由頻譜恢復正確的原始序列僅僅需要滿足頻域采樣定理就可以了。

當N>M時，繼續對RN(n)進行頻譜分析以及信號的還原分析。此時信號時間域長度M選取4，作N點離散傅里葉變換，頻域采樣點數N分別取12和14，并進行離散傅里葉反變換求取還原信號。

在滿足時域采樣定理和頻域采樣定理的前提條件下，取N>M時，得到矩形序列RN(n)的振幅譜和還原信號分別如圖2、圖3中的(a)和(b)所示，其中圖2的頻域采樣點數N=12(N=3M)，圖3的頻域采樣點數N=14。因為滿足頻域采樣定理，因此頻率采樣點數為12和14時都正確恢復了原始信號，如圖2(b)和圖3(b)所示。

圖2 N=12時矩形序列振幅譜及還原信號

圖3 N=14時矩形序列振幅譜及還原信號

分析圖2(a)和圖3(a)所示的振幅譜，可以認為，圖2(a)能夠正確反映振幅譜最大值最小值的分布，能夠反映頻譜的變化走勢，而圖3(a)中無法反映信號振幅譜的過零點及最小值的位置，不能精確反映頻譜的變化趨勢。對比分析頻譜差異以及頻率采樣點數與信號在時間域長度的關系，認為當N為M的整數倍時，得到的頻譜更加的準確。

4 結語

針對有限長信號頻譜分析和信號復原中參數選取問題開展研究，重點分析了有限長信號頻譜分析產生失真的原因并提出提高頻譜復原信號保真度的方法。理論分析和仿真試驗結果表明，正確選取采樣頻率、譜分析及頻率域采樣點數可正確恢復原信號及其頻譜。有限長信號在頻譜分析和頻譜恢復原始信號的過程中，要想能夠得到正確的頻譜且能夠由該頻譜恢復出原始信號，除了需要滿足頻域采樣定理N≥L之外，還要滿足N為L的整數倍。

[1]胡廣書.數字信號處理(理論、算法與實現)[M].北京:清華大學出版社，2003:115～117.

[2]李永全，楊順遼，孫祥娥.數字信號處理[M].武漢:華中科技大學出版社，2011:16～18.

[3] 趙霞，李蓉艷.采樣定理與確定系統采樣周期的教學方法研究[J].工業和信息化教育，2014 (5):24～29.

[4]馬令坤，吳波.基于DFT的周期信號諧波特性測試與仿真研究[J].計算機仿真，2015，32(11):207～211.

[5] 謝海霞，孫志雄.連續非周期信號頻譜分析及Matlab實現[J].現代電子技術，2013，36(11):53～56.

[編輯] 洪云飛

2016-09-28

易國華(1965-)，男，碩士，副教授，現主要從事信號處理、科技期刊編輯方面的研究工作；E-mail:229500441@qq.com。

TN911.6

A

1673-1409(2016)34-0033-03

[引著格式]田宇澤，霍秋娟，易國華.時域有限長信號的頻譜分析與信號還原[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(34)：33～35.