Vandermonde行列式的一個新證法

楊先山,李克娥,李治 (長江大學信息與數學學院, 湖北 荊州 434023)

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Vandermonde行列式的一個新證法

楊先山,李克娥,李治 (長江大學信息與數學學院, 湖北 荊州 434023)

利用Vandermonde矩陣的獨特結構，將n階Vandermonde矩陣逐次拆分成n-1個主對角元為1的下三角矩陣與n-1個上三角矩陣的乘積，從而Vandermonde行列式的值等于這n-1個上三角矩陣的行列式的乘積，得到一個新的證明Vandermonde行列式的方法。該證明方法利用了分塊矩陣的記號，證明過程簡潔，推導過程也容易理解。

Vandermonde行列式；上三角矩陣；下三角矩陣；分塊矩陣

n階Vandermonde行列式：

(1)

Vandermonde行列式是高等代數中的一個典型的行列式，構造獨特優美，在數值計算、數值逼近等自然科學及工程技術領域的許多理論和實際問題上有著廣泛的應用。文獻[1～3]分別使用數學歸納法、遞推法對式(1)進行了證明，文獻[4]利用Vandermonde行列式的結構特征和行列式的定義，直接觀察，得到了結論。這些方法的證明過程比較繁瑣，不容易理解?？紤]到式(1)的右端是一系列因子的乘積，如果構造出一系列行列式，其乘積等于原Vandermonde行列式，則式(1)的證明過程將簡潔明了。下面，筆者給出了Vandermonde行列式的一種新的證明方法。

引理1[1]若A，B為同階方陣，則|AB|=|A|·|B|。

推論1若A1,A2,…,Ak都為n階方陣，則|A1A2…Ak|=|A1| ·|A2|…|Ak|。

由此可見，如果能將一個方陣表示成一系列方陣的乘積，而這一系列方陣的行列式都容易算出，則求該方陣的行列式可轉化為求這一系列方陣的行列式的乘積。

為了方便表述，引入如下記號：

顯然，|Lk(xs)| =1(k=2,3,…,n)。

為k階上三角矩陣，其第1行元素全為1，主對角元(i,i)=xn-k+i-xn-k+1(i=2,3,…,k)，其余元素全為0。

顯然：

Ek表示k階單位矩陣。

通過計算可得：

由于：

……

由于：

所以：

[1]同濟大學數學系.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]王萼芳，石生明.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2013.

[3]游宏，朱廣俊.線性代數[M].北京：高等教育出版社，2012.

[4]張華民，殷紅彩.范德蒙行列式的幾種證法[J].蚌埠學院學報，2013,2(3)：15～18.

[編輯] 張濤

2016-09-18

湖北省自然科學基金項目(2016CFB478)；湖北省教育廳青年人才項目(20141306)；長江大學教學研究項目(JY2015027)。

楊先山(1978-)，男，碩士，講師，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作；E-mail: 24372967@qq.com。

O151.2

A

1673-1409(2016)34-0071-03

[引著格式]楊先山,李克娥,李治.Vandermonde行列式的一個新證法[J].長江大學學報(自科版)，2016,13(34)：71～73.