用于脈沖噪音干擾下圖像去模糊的L0極小化復原方法

王姍姍，喬 雙，孫佳寧

(1.東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

用于脈沖噪音干擾下圖像去模糊的L0極小化復原方法

王姍姍1，喬 雙1，孫佳寧2

(1.東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024；2.東北師范大學數學與統計學院，吉林 長春 130024)

針對數字圖像由于失焦模糊和脈沖噪音所帶來的降質問題，提出了一種全新的圖像復原方法.該方法將Tikhonov正則項引入到L0極小化模型，并借助交替方向法和變量分離法，給出了模型局部極小值點的快速數值求解算法.為了說明新方法的有效性，對后來的數值進行了實驗，通過結合不同降質條件對新方法與其他已有方法的復原效果進行了比較.實驗結果表明，新方法不僅在常規降質條件下提供了較好的復原效果，而且在面對高強度的脈沖噪音降質時，其他方法已經失效，新方法仍能提供穩健的復原結果.

圖像降質；脈沖噪音；模糊；圖像復原；L0極小化

0 引言

由于數字圖像在成像過程以及后期數據傳輸過程中必然受到一些物理條件的限制，這使得真實環境下獲得的數字圖像信號通常都會受到包括噪音、模糊等降質現象的干擾，從而使得圖像的視覺質量變差，在圖像可分辨的內容上缺少一些必要的細節，所以有效地實現數字圖像自身內容的復原，降低乃至去除降質現象的干擾，對于諸多基于數字圖像的應用領域[1-2]的研究顯得十分重要.

作為最常出現的一種圖像噪音形式，脈沖噪音的產生與數模轉換過程中的AD轉換錯誤、比特位錯誤以及強電磁場干擾有關.區別于其他噪音形式，遭受脈沖噪音干擾的像素位置的灰度值被徹底重置修改，嚴重時會導致圖像上無規則的分布黑白亮暗點，導致圖像失去原有的內容信息，使得圖像質量下降.通常，脈沖噪音又可以被具體劃分為椒鹽脈沖噪音(salt-and-pepper impulse noise)和隨機值脈沖噪音(random-value impulse noise).為更好地刻畫這2種脈沖噪音形式，設gi，j和fi，j分別表示真實圖像g與受脈沖噪音干擾的降質圖像f在位置 (i，j) 處的灰度值，令數字圖像g的真實灰度范圍為 [dmin，dmax]，即gi，j∈ [dmin，dmax]，于是真實圖像g與降質圖像f在位置 (i，j) 處的灰度值關系可以表示為

(1)

式中：ni，j表示被脈沖噪音干擾時降質的像素灰度值，r為脈沖噪音發生的概率，也就是脈沖噪音的噪音強度.其中若對于所有的位置(i，j)有ni，j∈ {dmin，dmax}，則脈沖噪音為椒鹽脈沖噪音；若ni，j∈ [dmin，dmax]符合一致分布的隨機數時，則脈沖噪音為隨機值脈沖噪音.

結合前面描述的脈沖噪音和公式(1)，可以給出如下完整的數學描述：設u= [ui，j]∈Rm×n為真實源圖像，H是大小為r×r的模糊核，f= [fi，j]∈Rm×n為觀測得到的降質圖像，于是遭到模糊和脈沖噪音干擾的圖像的降質過程可以表示為

f=Nr(g)，g=H?u.

(2)

式中?代表二維卷積算子，于是根據(2)式，遭到模糊和脈沖噪音降質的圖像復原，就是要利用降質圖像f和已知的H，復原出圖像u.

目前，有關圖像模糊和脈沖噪音降質的圖像復原方法主要包括直接復原方法[3-5]和二相復原法(Two-Phase Method，TPM)[6-9].直接復原法操作依賴于數學模型對圖像內容的先驗假設，進而實現對脈沖噪音降質位置的辨識和逐步復原；TPM則是通過對脈沖噪音降質位置進行識別并認定為信息缺失位置，進而將問題轉化為圖像修補問題.然而，無論是哪種方法都依賴于模型自身在區別脈沖噪音與圖像內容時的有效性，一旦喪失有效性，特別是當對于脈沖噪音降質像素位置的誤識率過高時就會導致復原失敗.因此目前多數方法無法有效應付高強度隨機值脈沖噪音下的圖像去模糊復原，本文則具體針對遭到模糊和脈沖噪音降質的圖像復原問題提出了一種新的方法，可以實現更高強度隨機值脈沖噪音下的圖像去模糊復原.

1 基于L0極小化的復原模型

作為一類典型的復原問題，噪音環境下的圖像去模糊復原問題無法采用直接的逆變換手段，相關的方法研究通常采用正則化模型為

(3)

式中：Φreg(u)為正則項，在復原操作中用于保持圖像的稀疏結構，本文采用了Tikhonov正則化項；Φfit(u) 為數據擬合項；μ>0為調節參數，可以調整Φreg(u)和Φfit(u)之間的平衡.為了方便討論，記圖像u中所有的位置(i，j)的集合為Ω，設?xu和?yu分別表示沿水平方向和垂直方向的差分，即對于(i，j)∈Ω，定義：

結合最近有關L0極小化模型的研究，本文提出了一種結合Tikhonov型變分正則化項的L0極小化復原模型為

(4)

關于(4)式的極小值求解可以通過交替方向法(ADM)，即給定變量u求解v，給定變量v求解u，如此反復迭代計算，直到滿足計算終止條件.于是對于第k步迭代已有uk和vk，我們可以將(4)式轉化為：

(5)

(6)

眾所周知，關于L0范數的極值求解是一個N-P困難的問題，然而關于子問題(5)的求解，由于其中‖v‖0的定義形式是變量可分離的，于是將(5)式的求解轉換成

(7)

(8)

(9)

(10)

式中：F表示2D Fourier變換；F*表示F的共軛；F-1是Fourier逆變換；變量之間均是點對點的乘法、除法和加法.

綜合以上推導過程給出如下的迭代步驟：

輸入：圖像f，參數μ，β，k，迭代上限kmax；

初始化：u0←f，k=0；

重復；

已知uk，利用公式(10)求解vk+1；

已知vk+1，利用公式(10)求解uk+1；

k=k+1；

直到k=kmax；

輸出：復原圖像u.

2 數值實驗

在以下的數值實驗中，選擇了2種比較典型的脈沖噪音環境下的圖像去模糊復原方法，即TVL1[3]和TPM[7]2種方法與本文方法進行了比較，以說明本文方法的可行性與有效性.而就數值實驗的復原結果對比，采用通用的客觀評價標準——峰值信噪比(PSNR)進行了評估，即

(11)

式中：u表示復原圖像，u0表示真實圖像，圖像的大小為mn.為了保證實驗的公平性，選用3幅通用的標準測試圖像Lena，Mandrill和Barbara(見圖1)，測試圖像大小為256像素×256像素，所有的數值實驗都是在Windows 7 32-Bit 環境下的MATLAB 7.14(R2012a)平臺上完成的，在測試中，統一采用由MATLAB軟件原有的fspecial(‘average’，7)作為圖像模糊核.圖2給出椒鹽脈沖噪音強度為90%的圖像復原結果，對比原始圖像可以看出，在高強度脈沖噪音干擾下，本文方法在復原效果上更接近原始圖像，同時還給出了在椒鹽脈沖噪音強度分別為30%，50%，70%和90%不同情況下的PSNR對比(見表1)，最優值見表1 黑體字，這樣可以從更加客觀的角度更加直觀證明本文方法的有效性.圖3給出隨機值脈沖噪音為80%的圖像復原結果，再次驗證了對于較難去除的隨機值脈沖噪音污染下本文方法的適用性，同時噪音強度為40%，55%，65%和80%的復原結果的PSNR見表2.

圖1 原始圖像

圖2 椒鹽脈沖噪音為90%時本文方法的復原結果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL128.8627.1324.5018.2421.4920.5319.2815.4823.5723.0321.6916.26TPM35.0832.5630.0926.6724.2722.8921.6320.2326.4625.5124.0122.65本文方法36.4332.9629.9626.6330.9328.0625.6023.3534.1831.5729.0025.76

圖3 隨機值脈沖噪音為80%時本文方法的復原結果

方法Lena30%50%70%90%Mandrill30%50%70%90%Barbara30%50%70%90%TVL127.8224.8422.4316.6421.0120.0319.4018.0523.2921.6519.6716.40TPM31.5227.8424.5518.1122.6420.5920.1518.8824.4123.2121.9718.11本文方法32.6529.7128.1924.8428.0925.7724.6222.4631.3128.6727.4324.00

3 結論

針對數字圖像中受脈沖噪音污染的圖像降質問題提出了一種結合Tikhonov正則項和L0極小化模型的復原方法.MATLAB仿真軟件的多次實驗表明：新方法比現有的復原方法在PSNR數值評判上有較為明顯的提升，不僅針對椒鹽脈沖噪音達到現有復原方法的較高水平，對于較難去除的隨機值脈沖噪音的復原也有了新的突破；復原結果保留了圖像的邊界紋理特征，使得圖像的有用信息能夠實現不失真復原.

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[2] GAI J，LIU X H，LI R J，et al.基于LBP的圖像集人臉識別算法[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(4)：84-87.

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[5] GUO X，LI F，YIN W T.A fast L1-TV algorithm for image restoration [J].SIAM Journal on Scientific Computing，2009，31(3)：2322-2341.

[6] KAYHAN S K.An effective 2-stage method for removing impulse noise in images [J].Journal of Visual Communication Image and Representation，2014，25(2)：478-486.

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[9] CAI J F，CHAN R H，NIKOLOVA M.Fast two-phase image deblurring under impulse noise [J].Journal of Mathematical Imaging and Vision，2010，36(1)：46-53.

(責任編輯：石紹慶)

L0 minimization based restoration method for deblurring images corrupted by impulse noise

WANG Shan-shan1，QIAO Shuang1，SUN Jia-ning2

(1.School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China；2.School of Mathematics & Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

This paper studies the problem of image restoration of blurred image corrupted by impulse noise.We propose a novel L0 minimization restoration method combined with Tikhonov regularization and solve it by utilizing alternating direction method and variable-spliting method.With a derived iteratively upgrading algorithm，a local optimal solution can be obtained.To illustrate effectiveness of the new method，plenty of numerical experiments are presented，which shows that the proposed method is not only superior to the existing models in PSNR performance，but it can be still efficient even under high intensity impulse noise while others fail.

image degradation；impulse noise；blurring；image restoration；L0 minimization

1000-1832(2016)04-0073-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.016

2015-09-10

國家自然科學基金資助項目(11275046，11305034)；國家重大科學儀器設備專項基金資助項目(2013YQ040861).

王姍姍(1991—)，女，碩士研究生；通信作者：喬雙(1963—)，男，博士，教授，主要從事核電子學、嵌入式應用、圖像處理與模式識別研究.

TP 391 [學科代碼] 520·60

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