Levy噪聲下的隨機食餌有限模型

(1.長春大學理學院，吉林 長春 130022；2.延邊大學數學系，吉林 延吉 133002)

Levy噪聲下的隨機食餌有限模型

張秋梅1，文香丹2

(1.長春大學理學院，吉林 長春 130022；2.延邊大學數學系，吉林 延吉 133002)

研究了Levy噪聲下的隨機食餌有限模型，在系數滿足一定條件下得到該模型正解的存在唯一性，并分析了該模型解的漸近行為，最后用數值模擬驗證了得到的結論.

食餌有限；Levy噪聲；漸近穩定

0 引言

Smith[1]在1963年研究水蚤增長時提出了著名的食餌有限模型

(1)

其中x(t)代表種群的密度，常數r和K分別代表種群的增長率和環境容納量.近年來，許多學者對隨機生物模型的研究產生了濃厚興趣，[2-4]其中文獻[4]考慮環境白噪聲對系統(1)的影響，討論了擾動模型正解的存在唯一性和全局穩定性.顯然種群可能遭受突發性的環境擾動，如地震、颶風、傳染病等，然而以前研究的隨機種群模型不能解釋這種現象.為此，Levy跳躍過程的引入為研究種群動力學提供了一個可行的、更逼真的模型，Bao等[5-6]在這方面做了開創性的工作.在給出的帶跳躍的隨機種群模型中，得到的結論顯示Levy跳躍過程可能對系統的性質有顯著影響.

基于以上想法，本文研究Levy噪聲下的隨機食餌有限模型

(2)

1 正解的存在唯一性

定理1 假設(A)成立，則對任意給定的初值x0∈(0，K)，系統(2)存在唯一正解x(t)，t≥0， 并且該解以概率1位于R+.

證明 考慮具有初值v(0)=logx(0)的方程

(3)

顯然方程(3)的系數滿足局部Lipschitz條件，故系統存在唯一局部解v(t)，t∈[0，τe)，其中τe表示爆破時間.由It公式容易驗證x(t)=ev(t)是系統(2)具有初值x0的正解.下面要證明解是全局存在的，只需證明τe=∞ a.s.定義函數，由It公式得

由Taylor公式和假設(A)可知存在θ1∈(0，1)和θ2∈(0，1)，使得

用與文獻[7]類似的方法可證結果成立.

2 正解的漸近行為

定理2 令x(t)為系統(2)滿足初始條件x(0)=x0∈(0，K) 的解，假設(A)成立.

由不等式 logx≤x-1(?x>0)和假設(A)可得

則有

計算得

則有

3 數值模擬

利用文獻[10]中平穩泊松點過程的方法進行數值模擬驗證上面結論.選擇參數K=3，C=0.5，Y=(0，∞)，λ(Y)=1.

當選取r=-0.2，α=0.3，δ=0.1時，系統(2)的數值模擬見圖1.易驗證

若選取r=0.2，α=0.3，δ=0.1，則系統(2)的數值模擬見圖2.計算得

圖1 當r=-0.2時系統(2)的數值模擬

圖2 當r=0.2時系統(2)的數值模擬

從圖1和圖2中可以看出噪聲可以使系統(2)穩定.

[1] SMITH F.Population dynamics in Daphnia magna [J].Ecology，1963，44：651-663.

[2] JIANG D，SHI N，ZHAO Y.Existence uniqueness and global stability of positive solutions to the food-limited population model with random perturbation [J].Mathematical and Computer Modeling，2005，42：651-658.

[3] 王麗順，李海紅，李海霞.隨機多種群互惠系統的動力學行為[J].東北師大學報(自然科學版)，2016，48(1)：22-25.

[4] 張秋梅，文香丹，李映紅.具有飽和接觸率的隨機SIR模型的正解存在唯一性及滅絕性[J].東北師大學報(自然科學版)，2016，48(1)：26-28.

[5] BAO J，MAO X，YIN G，et al.Competitive Lotka-Volterra population dynamics with jumps [J].Nonlinear Anal，2011，74：6601-6616.

[6] BAO J，YUAN C.Stochastic population dynamics driven by Levy noise [J].J Math Anal Appl，2012，391：363-375.

[7] GRAY A，GREENHALGH D，HU L，et al.A Stochastic differential equation SIS epidemic model[J].SIAM J Appl Math，2011，71：876-902.

[8] MAO X R.Stochastic differential equations and applications [M].Chichester：Horwood Publishing，1997：51-59.

[9] LIPSTER R.A strong law of large numbers for local martingales [J].Stochastics，1980，3：217-228.

[10] ZOU X，WANG K.Numerical simulations and modeling for stochastic biological systems with jumps [J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat，2014，19：1557-1568.

(責任編輯：李亞軍)

Stochastic food-limited population model by Levy noise

ZHANG Qiu-mei1，WEN Xiang-dan2

(1.School of Science，Changchun University，Changchun 130022，China；2.Department of Mathematics，Yanbian University，Yanji 133002，China)

The present paper deals with the problem of a stochastic food-limited population model by Levy noise.The existence and uniqueness of solutions are established under appropriate conditions on the coefficients.Then the asymptotic behaviors of this model are analyzed.Numerical simulations for a set of parameter values are presented to illustrate the analytical findings.

food-limited；Levy noise；asymptotic stability

1000-1832(2016)04-0040-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.009

2015-07-13

國家自然科學基金資助項目(11601038)；教育部“春暉計劃”資助項目(Z2015014)；吉林省教育科學“十二五”規劃課題項目(GH150104)；吉林省教育科學“十三五”規劃課題項目(GH16103)；吉林省教育廳“十二五”科學技術研究項目(吉教科合字[2015]第10號，2014LY508L40)；吉林省自然科學基金資助項目(20140101005JC).

張秋梅(1980—)，女，博士，講師，主要從事隨機微分方程研究；通信作者：文香丹(1965—)，女，碩士，教授，主要從事應用概率統計和優化理論研究.

O 211.63 [學科代碼] 110·6460

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