r次冪平均s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式

宋振云，陳少元，胡付高

(1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432100)

r次冪平均s-凸函數(shù)及其Jensen型不等式

宋振云1，陳少元2，胡付高3

(1.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院，湖北 孝感 432000；2.湖北職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，湖北 孝感 432000；3.湖北工程學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 孝感 432100)

考慮了函數(shù)的凸性及其廣義凸性，提出并研究了r次冪平均s-凸函數(shù)，討論了它的若干判定定理及運(yùn)算性質(zhì)，建立了其Jensen型不等式，并給出了Jensen型不等式的等價(jià)形式及推論.研究結(jié)果表明，r次冪平均s-凸函數(shù)是算術(shù)凸函數(shù)(凸函數(shù))、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)、平方凸函數(shù)、調(diào)和平方凸函數(shù)以及r-平均凸函數(shù)的推廣，為研究新的凸函數(shù)和推廣拓展凸函數(shù)概念探索了一條新途徑.

s-凸函數(shù)；r次冪平均s-凸函數(shù)；判定定理；Jensen型不等式.

0 引言

凸函數(shù)是應(yīng)用十分廣泛的一類重要函數(shù)，其不可替代的作用已是我們大家所熟知的.因此，以凸集和凸函數(shù)為主要內(nèi)容的凸分析便成為近年來數(shù)學(xué)研究中一個(gè)十分活躍的研究領(lǐng)域，特別是以實(shí)函數(shù)有意義的連續(xù)區(qū)間上任意兩點(diǎn)的冪平均函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)值的同一冪平均值的大小比較而確定的經(jīng)典凸函數(shù)概念隨著研究的深入被不斷推陳出新.目前，采用此類方法建立的凸函數(shù)，先后被提出的有算術(shù)凸函數(shù)(凸函數(shù))、幾何凸函數(shù)[1]、調(diào)和凸函數(shù)[2]、平方凸函數(shù)[3]、調(diào)和平方凸函數(shù)[4]、r-平均凸函數(shù)[5]等.也有以實(shí)函數(shù)有意義的連續(xù)區(qū)間上任意兩點(diǎn)的冪平均函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)函數(shù)值的不同冪平均值的大小比較而確定的凸函數(shù)概念，如指數(shù)凸函數(shù)(GA-凸函數(shù)[6])、GH-凸函數(shù)[7]及其推廣GM-凸函數(shù)[8]等，又如對(duì)數(shù)凸函數(shù)[9](AG-凸函數(shù))、AH-凸函數(shù)[10]及其推廣AM-凸函數(shù)[11]等.然而，換一個(gè)角度思考，則會(huì)發(fā)生新的變化.1985年，文獻(xiàn)[12]給出了Godunova-Levin函數(shù)定義：

定義1 設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I?R上的非負(fù)值函數(shù).若?x1，x2∈I及?λ∈(0，1)，有

(1)

則稱f(x)是Godunova-Levin函數(shù)，或稱f(x)屬于Q(I)函數(shù)類.

定義2[13]設(shè)s∈(0，1]，f：R→R.若?x1，x2∈R及?λ∈[0，1]，有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λsf(x1)+(1-λ)sf(x2)，

(2)

在此后的研究中，許多專家學(xué)者以s-凸函數(shù)為主要對(duì)象進(jìn)行了卓有成效的研究，尤其是對(duì)s-凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式的探索取得了豐碩成果.[14-19]本文受此啟發(fā)，提出了r次冪平均s-凸函數(shù)的概念，通過對(duì)r次冪平均s-凸函數(shù)的系統(tǒng)研究，給出了r次冪平均s-凸函數(shù)的若干判定定理和運(yùn)算性質(zhì)，建立了r次冪平均s-凸函數(shù)的Jensen型不等式.

定義3 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+.若?x1，x2∈I及?t∈[0，1]，存在r∈R，使得

(3)

(4)

則稱f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數(shù). 若上述不等號(hào)反向，則稱f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數(shù).

顯然，當(dāng)s=1且r分別等于1，0，-1，2，-2及r∈R時(shí)，r次冪平均s-凸函數(shù)即分別為凸函數(shù)、幾何凸函數(shù)、調(diào)和凸函數(shù)、平方凸函數(shù)、調(diào)和平方凸函數(shù)和r-平均凸函數(shù).

1 r次冪平均s-凸函數(shù)的判定及性質(zhì)

本文約定所有討論只考慮r≠0的情況，關(guān)于r=0時(shí)的相關(guān)問題將另文討論.因?yàn)閰^(qū)間I?R+上的實(shí)值函數(shù)μ(x)=xr當(dāng)r≠0時(shí)是單調(diào)的，因此記μ(I)=Ir.

定理1 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

(ⅰ) 當(dāng)r>0時(shí)，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù)的充要條件是(f(x1/r))r為Ir上的s-凸(凹)函數(shù)；

(ⅱ) 當(dāng)r<0時(shí)，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù)的充要條件是(f(x1/r))r為Ir上的s-凹(凸)函數(shù).

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).設(shè)g(x)=(f(x1/r))r(x∈Ir，且r>0).

充分性.如果g(x)=(f(x1/r))r為Ir上的s-凸函數(shù)，且r>0，那么?x1，x2∈I及?t∈[0，1]，有

故f為I上的r次冪平均s-凸函數(shù).

必要性.如果f為I上的r次冪平均s-凸函數(shù)，r>0，那么?x1，x2∈Ir及?t∈[0，1]，則有

因此g(x)=(f(x1/r))r是Ir上的s-凸函數(shù).

若f在I上是s-凹函數(shù)，則上述證明中的不等號(hào)反向，所以定理1(ⅰ)的后半部分成立.

定理2 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).

充分性.若φ(t)是[0，1]上的s-凸函數(shù)，則

注意到r>0，且f是I上的正值函數(shù)，所以

從而f為I上的r次冪平均s-凸函數(shù).

必要性. ?x1，x2∈I及?t1，t2∈[0，1]，根據(jù)正數(shù)的冪平均性質(zhì)[20]有

若φ(t)在[0，1]上是s-凹函數(shù)，并注意到r>0，則上述證明中的不等號(hào)反向，故定理2(ⅰ)的后半部分亦成立.

定理3 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，則：

(ⅰ) 當(dāng)r>0時(shí)，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù)的充要條件是?x1，x2，x3∈I，x1

(ⅱ) 當(dāng)r<0時(shí)，f為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù)的充要條件是?x1，x2，x3∈I，x1

證明 僅證(ⅰ)，同理可證 (ⅱ).

如果f為I上的r次冪平均s-凹函數(shù)，并注意到r>0，則上述證明中的不等號(hào)反向，所以定理3(ⅰ)的后半部分成立.

定理4 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，f是I上二階可導(dǎo)函數(shù)，且r>0.

(ⅰ) 若?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≥0，則f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數(shù)；

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數(shù)，則?x∈I，

xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0.

t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r≤ts(f(x1))r+(1-t)s(f(x2))r，

[t(f(x1))r+(1-t)(f(x2))r]1/r≤[ts(f(x1))r+(1-t)s(f(x2))r]1/r.

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數(shù)，且r>0，則

所以f(x)是I上的r-平均凹函數(shù)，即 ?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0(r>0).

類似地有如下結(jié)論.

定理5 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，f是I上二階可導(dǎo)函數(shù)，且r<0.

(ⅰ) 若?x∈I，xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≤0，則f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數(shù)；

(ⅱ) 若f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數(shù)，則?x∈I有

xf(x)f″(x)+(r-1)x(f′(x))2+(1-r)f(x)f′(x)≥0.

定理6 設(shè)A，I?R+，s∈(0，1]，f：I→R+，μ：A→B?I，則：

(ⅰ) 若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的r次冪平均s-凸函數(shù)，u=μ(x)是A上的r-平均凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數(shù)；

(ⅱ) 若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的r次冪平均s-凸函數(shù)，u=μ(x)是A上的r-平均凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數(shù)；

(ⅲ) 若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞增的r次冪平均s-凹函數(shù)，u=μ(x)是A上的r-平均凹函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凹函數(shù)；

(ⅳ) 若y=f(u)是I上嚴(yán)格遞減的r次冪平均s-凹函數(shù)，u=μ(x)是A上的r-平均凸函數(shù)，則y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凹函數(shù).

證明 僅證(ⅰ)，同理可證(ⅱ)、(ⅲ)、(ⅳ).

根據(jù)定義3知y=f(μ(x))是A上的r次冪平均s-凸函數(shù).

2 r次冪平均s-凸函數(shù)的Jensen型不等式

(5)

證明 設(shè)f(x)為I上的r次冪平均s-凸函數(shù)，r>0.當(dāng)n=1時(shí)，t1=1，(5)式為恒等式，所以n=1時(shí)定理成立.當(dāng)n=2時(shí)，?x1，x2∈I及?t1，t2∈[0，1]滿足t1+t2=1，由r次冪平均s-凸函數(shù)的定義3有

所以當(dāng)n=2時(shí)定理成立.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式(5)成立.類似可證，當(dāng)r<0時(shí)(5)式仍然成立.

若f(x)為I上的r次冪平均s-凹函數(shù)，則證明中的不等號(hào)均反向，因此定理的后半部分成立.定理證畢.

定理7的一個(gè)等價(jià)形式為：

定理8 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f(x)為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù)，?xi∈I及?pi∈R+(i=1，2，…，n)，則

上式中令p1=p2=…=pn，則有：

推論 設(shè)I?R+，s∈(0，1]，f(x)為I上的r次冪平均s-凸(凹)函數(shù).則?xi∈I(i=1，2，…，n)，有

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

The rth power mean s-convex function and its Jensen-type inequality

SONG Zhen-yun1，CHEN Shao-yuan2，HU Fu-gao3

(1.Mechanical and Electrical Engineering School，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China；2.Dean’s Office，Hubei Polytechnic Institute，Xiaogan 432000，China；3.School of Mathematics and Statistics，Hubei Engineering University，Xiaogan 432100，China)

The definition ofrth power means-convex function is put forward.Several decision theorems and operation properties are given，as well as the Jensen-type inequality and its equivalent form.The results show that therth power means-convex function is extended from arithmetic convex function，geometric convex function，harmonic convex function，square convex function，harmonic square convex function andr-mean convex function，which finds a new way to study new convex functions and the extension of convex functions.

s-convex function；rth power means-convex function；judgment theorem；Jensen-type inequality

1000-1832(2016)04-0019-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.005

2015-09-11

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(212109).

宋振云(1958—)，男，教授，主要從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)及凸分析研究.

O 178 [學(xué)科代碼] 110·34

A