高階非線性代數微分方程組的亞純允許解

金 瑾

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.畢節循環經濟研究院，貴州 畢節 551700)

高階非線性代數微分方程組的亞純允許解

金 瑾1，2

(1.貴州工程應用技術學院數學系，貴州 畢節 551700；2.畢節循環經濟研究院，貴州 畢節 551700)

利用亞純函數的Nevanlinna值分布理論，研究了高階非線性代數微分方程組亞純允許解的存在性問題，獲得了微分方程組的亞純解或同為允許的，或同為非允許的，進而得到了更一般的結果.

代數微分方程組；亞純函數；允許解；Nevanlinna理論；值分布理論

1 預備知識

這里假設讀者熟悉亞純函數的Nevanlinna值分布理論的基本知識和通常記號.[1-20]關于微分方程組的允許解問題，有很多作者做了大量工作并得到一大批很好的結果.[1-10]

對下面的高階非線性代數微分方程組

(1)

其中：

T(r，a(i1))=o(T(r，w1))，T(r，b(i2))=o(T(r，w2))，T(r，ai)=o(T(r，w1))，

T(r，bj)=o(T(r，w1))，T(r，ci)=o(T(r，w2))，T(r，dj)=o(T(r，w2)).

a11，a12，a21，a22為常數，則可知λtj≤utj≤Δtj.

定義1 設(w1，w2)是微分方程組(1)的亞純解，S(r)為微分方程組(1)的所有系數的特征函數之和，即

S(r)=∑T(r，ai1)+∑T(r，bi2)+∑T(r，ai)+∑T(r，bj)+∑T(r，ci)+∑T(r，dj).

若(w1，w2)滿足

S1(r)=o(T(r，w1))，S2(r)=o(T(r，w2))，r?I1，

則稱(w1，w2)為方程組(1)的亞純允許解，其中I1是一個對數測度為有窮的例外值集.

定義2 設(w1，w2)是微分方程組(1)的亞純解.若(w1，w2)中的分量w1，w2滿足

則稱分量w1，w2為微分方程組(1)允許分量，其中I2是一個對數測度為有窮的例外值集.

引理3 設aik(i=1，2；k=1，2)為非零常數，且

則

證明 因為

由文獻[13]引理2得

(2)

情形Ⅰ 若z0為Ω1(z，w1，w2)系數的極點，則

情形Ⅱ 若z0為wk的極點，則

由此可得

情形Ⅲ 若z0為wk-a1k的零點，但不是wk的極點，則

由上述三種情形得

(3)

根據(2)—(3)式以及引理2得

故

同理可得

即

證明

其中I1和I2都是對數測度為有限的例外值集，故引理4成立.

2 主要結論

本文利用Nevanlinna值分布理論，對高階非線性代數微分方程組(1)的亞純允許解的存在性問題進行了研究.根據以上定義以及眾多研究者研究結果的基礎上，得到以下改進和推廣的結論.

定理1 設(w1，w2)是非線性微分方程組(1)的有限級亞純允許解，且

max{p1，q1}>λ11+u11，max{p2，q2}>λ22+u22.

則

證明 由引理1可得

T(r，R1(z，w1))=max{p1，q1}T(r，w1)+S(r)，

(4)

T(r，R2(z，w2))=max{p2，q2}T(r，w2)+S(r).

(5)

由已知和引理3有

(6)

(7)

故由(4)—(7)式以及微分方程組(1)可得

max{p1，q1}T(r，w1)≤(λ11+u11)T(r，w1)+(λ12+u12)T(r，w2)+S(r)，

(8)

max{p2，q2}T(r，w2)≤(λ21+u21)T(r，w1)+(λ22+u22)T(r，w2)+S(r).

(9)

根據(8)—(9)式，

{max{p1，q1}-λ11-u11+o(1)}T(r，w1)≤(λ12+u12+0(1))T(r，w2)，

(10)

{max{p2，q2}-λ22-u22+o(1)}T(r，w2)≤(λ21+u21+o(1))T(r，w1)，

(11)

進而由(10)—(11)式即有

{max{p1，q1}-λ11-u11}{max{p2，q2}-λ22-u22}≤(λ12+u12)(λ21+u21).

定理2 設(w1，w2)是微分方程組(1)的有限級亞純解，且max{p1，q1}>λ11+u11或 max{p2，q2}>λ22+u22.則(w1，w2)中的兩個分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

證明 利用已知條件以及引理1與引理3結論可得

(12)

(13)

若分量w1為允許的，w2為非允許的，則(8)式變為

由引理4可知當r→∞時，除去一個對數測度為有限的例外值集外都有

max{p1，q1}≤λ11+u11.

這與定理2的已知條件矛盾.

若分量w2為允許的，w1為非允許的，則(9)式變為

由引理4可知當r→∞時，除去一個對數測度為有限的例外值集外都有

max{p2，q2}≤λ22+u22.

這與定理2的已知矛盾.

綜上，(w1，w2)中的兩個分量w1和w2或同為允許的，或同為非允許的.

[2] 高凌云.復微分方程組m分量-可允許解[J].數學年刊，1997，18(2)：149-154.

[3] 高凌云.關于兩類復微分方程組的允許解[J].數學學報，2000，43(1)：149-156.

[4] 高凌云.具有允許解的代數微分方程組的形式[J].系統科學與數學，2004，24(1)：96-101.

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[16] 金瑾.一類高階齊次線性微分方程解的增長性[J].華中師范大學學報(自然科學版)，2013，47(1)：4-7.

[17] 金瑾.關于高階線性微分方程解與其小函數的增長性[J].上海交通大學學報(自然科學版)，2013，47(7)：1155-1159.

[18] 金瑾.單位圓內高階齊次線性微分方程解與小函數的關系[J].應用數學學報，2014，37(4)：254-264.

[19] 金瑾，武玲玲，樊藝.高階非線性微分方程組的亞純允許解[J].東北師大學報(自然科學版)，2015，47(1)：22-25.

[20] 金瑾.一類差分方程組的亞純允許解[J].東北師大學報(自然科學版)，2016，48(2)：27-30.

(責任編輯：李亞軍)

Meromorphic admissible solution of systems governed by higher order non-linear algebraic differential equations

JIN Jin1，2

(1.Department of Mathematics，Guizhou University of Engineering Science，Bijie 551700，China；

2.Research Institute of Circular Economy of Bijie，Bijie 551700，China)

Using Nevanlinna theory of the value distribution of meromorphic functions，the problem of the existence of meromorphic admissible solutions of complex higher-order nonlinear algebraic differential equation is investigated.It is obtained that the meromorphic solution of the differential equations system are all admissible or non admissible.Moreover，some other results are also given，which are more general than the previous ones.

algebraic differential equations systems；meromorphic function；admissible solution；Nevanlinna theory；value distribution

1000-1832(2016)04-0010-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.04.003

2015-08-20

貴州省科學技術基金資助項目(2010GZ43286，2012GZ10526)；貴州省畢節市科研基金資助項目([2011]02)；貴州省教育廳重點項目([2015]392).

金瑾(1962-)，男，教授，主要從事復分析研究.

O 174.52 [學科代碼] 110·41

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