數(shù)學(xué)思考：讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本原

周海榮

回歸本原的價值審思

2011年12月28日，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂稿出臺，隨后，各大版本數(shù)學(xué)實驗教材也相繼修訂并推廣使用，這在一定程度表明，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革進(jìn)入到一個新的階段。向?qū)W科本身回歸，是這一階段比較鮮明的特征。也就是說，數(shù)學(xué)課要更加具有“數(shù)學(xué)味”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要能充分地顯示出數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

這種回歸可以看成是對前一階段數(shù)學(xué)課程改革的修正。《人民教育》記者李帆曾發(fā)表過這樣的評論：“從本世紀(jì)初伊始的新課程改革，到2010年《教育規(guī)劃綱要》頒布，十年間，基礎(chǔ)教育經(jīng)歷了一場深刻的思想和觀念的洗禮，選擇、多元、個性，人人耳熟能詳。然而，觀念難落地！”（《人民教育》2014第22期）個人以為，“難以落地”的重要表現(xiàn)之一就在人們對新課程理念始終處在接納、領(lǐng)悟、理解和實踐摸索階段，其間走了不少彎路，遭遇到很多阻力。有一段時間，形式化、淺表化的東西充斥著課堂，數(shù)學(xué)課上得不像數(shù)學(xué)課了，數(shù)學(xué)課應(yīng)該承載的學(xué)科價值和育人價值被削弱了。

這種回歸可以看成是對我國學(xué)校教育形態(tài)的順應(yīng)和遵從。長期以來，我國基礎(chǔ)教育階段的學(xué)校教育都是分學(xué)科進(jìn)行的，學(xué)科教學(xué)是學(xué)校教育的基本形態(tài)——通過一門門學(xué)科的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生獲得不同的學(xué)科知識、能力、素養(yǎng)，并最終匯聚成人的全面發(fā)展。也就是說，學(xué)好每一門學(xué)科，是培育全面發(fā)展的人的前提和基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)，作為小學(xué)生學(xué)習(xí)的主要課程之一，其價值和功能是毋庸置疑的，應(yīng)該給以重視，不折不扣地加以落實。

這種回歸還可以看成是對數(shù)學(xué)學(xué)科特有的育人價值的充分肯定。學(xué)生為什么每天都要坐在教室里上數(shù)學(xué)課？老師到底為了什么而給孩子上數(shù)學(xué)課？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對一個人的成長到底產(chǎn)生著什么樣的影響？這些看似形而上的問題，恰恰是數(shù)學(xué)教學(xué)最本原的問題。要回答這些問題，就得思考數(shù)學(xué)這門學(xué)科具有怎樣的特點，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中這些特點是如何得以呈現(xiàn)，被學(xué)習(xí)者感受，又如何在思考、思維乃至智慧生長方面發(fā)揮作用等。把這些想清楚了，數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)就不一樣了。

總之，向?qū)W科本身回歸，就是要慎重而全面地考量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對兒童所產(chǎn)生的深刻影響，充分發(fā)揮好數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真意義，也是數(shù)學(xué)學(xué)科的價值所在。

在回歸中超越

追求“數(shù)學(xué)思考”的理性把握是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的必然歸宿，也是數(shù)學(xué)教育價值的根本體現(xiàn)。怎樣才能在教學(xué)中實踐“數(shù)學(xué)思考”的教學(xué)追求呢？我們將通過幾個教學(xué)案例，從數(shù)學(xué)自身的整體性、邏輯性、理性特點，談?wù)勗谡n堂教學(xué)中對“數(shù)學(xué)思考”理性把握的實踐。

◎一、數(shù)學(xué)的整體與結(jié)構(gòu)化思維

數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特點之一就是思維的整體性、結(jié)構(gòu)性。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，既要注重知識的“生長點”，也要關(guān)注思維的“鏈接點”。從日常的每節(jié)課或每個單元來看，每一個知識點可能是分散的、瑣碎的，這樣的教學(xué)造成了兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)的脫節(jié)和割裂，所以學(xué)習(xí)要站在系統(tǒng)的高度，運用結(jié)構(gòu)化思維，將看似分散的知識點，集成一個有機(jī)的知識整體。

【案例】一年級下冊“認(rèn)識人民幣”教學(xué)片段（P66、67）：

師：學(xué)完這一節(jié)課，我們已經(jīng)認(rèn)識了哪些人民幣單位？

生：元、角、分。

師：（出示）這是一個1分的硬幣，1分1分地往上加，加到10分就產(chǎn)生一個新的單位，就是——

生：角。

師：如果1角1角地往上加，加到10角，又產(chǎn)生了一個大一些的單位——

生：元。

師：這里有一個臺階，你能把這三個人民幣單位按照一定的順序擺放在上面嗎？（生說過程，師課件操作。）

師：剛才數(shù)的過程，與之前學(xué)習(xí)的認(rèn)數(shù)有什么相同的地方？

生1：數(shù)數(shù)的時候，也是一個一個地數(shù)，數(shù)滿十個一就是1個十，數(shù)滿10個十就是1個百。

生2：老師剛才數(shù)錢的時候，一個一個地往上加，就好像擺小棒，一根一根地擺，擺滿10根就捆成一捆；然后再一捆一捆地擺，擺滿10捆，就再捆成一個大捆。

師：我們也可以把一、十、百這三個計數(shù)單位放在臺階圖上。誰來試一試？

師：這兩個不同的單位之間有什么相同的地方？

生：都是滿十進(jìn)一。

師：正因為它們都是滿十進(jìn)一，所以我們可以把這兩個臺階合二為一。雖然它們代表的單位不一樣，但相鄰兩個單位之間的關(guān)系都是10。這樣的一個關(guān)系，在以后我們認(rèn)識更大的數(shù)、學(xué)習(xí)其他的單位時還會遇到。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》開篇即說：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。”這句話點出了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)：關(guān)系。在這個案例中，從縱向角度分析，將元、角、分這三個人民幣單位用相鄰兩個單位之間的進(jìn)率是10的關(guān)系建立起臺階圖；從橫向角度分析，將使用中的貨幣單位與計數(shù)中的計數(shù)單位進(jìn)行比較，融通了計數(shù)單位和貨幣單位的“十進(jìn)制”關(guān)系，讓學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系。這樣的處理，不僅幫助學(xué)生加深對貨幣單位之間關(guān)系的理解，還融通數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)性。進(jìn)而讓學(xué)生獲得融會貫通的酣暢，豁然開朗的喜悅，自主建構(gòu)的興奮，應(yīng)用自如的徜徉，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也成為他們快樂的生命之旅！

◎二、數(shù)學(xué)的邏輯與聯(lián)系性思維

數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容雖然多數(shù)比較簡單，其中不少內(nèi)容是描述性的，但內(nèi)容的編排上仍體現(xiàn)著前后的連貫性和很強(qiáng)的邏輯性。在平時的課堂教學(xué)中，我們同樣需要通過聯(lián)系性思維，來開啟學(xué)生的心智，讓他們好好地學(xué)習(xí)小學(xué)數(shù)學(xué)這門學(xué)科。我們都知道，對于知識的學(xué)習(xí)和掌握是來源于學(xué)生的好奇心。只有讓他們對于某個知識產(chǎn)生了好奇心，才能讓他們對這個知識產(chǎn)生興趣，從而去學(xué)習(xí)、去研究其中的奧秘。

【案例】五年級下冊“圓的面積”教學(xué)片段（P96、97）：

師：剛才，我們以圓的半徑r為邊長畫一個小正方形和一個大正方形，得出小正方形的面積是2r2，大正方形的面積是4r2。猜測一下圓的面積大約是多少？

生：大約是3r2。

師：回想一下，以前我們推導(dǎo)新圖形的面積公式，是怎么做的？

生：轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形。比如平行四邊形沿它的一條高剪開，可以拼成長方形。

師：這種轉(zhuǎn)化的方法很不錯，能不能順著這個思路，把圓也轉(zhuǎn)化成學(xué)過的圖形呢？請小組討論，再動手剪一剪、拼一拼。

師：（學(xué)生演示：將圓平均分成4份）這個圖形有點像什么圖形？

生：平行四邊形。

師：有一點點像，但還不太像，能想辦法使它更像一點嗎？

……

師：通過剛才的操作，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越像平行四邊形。

師：我們把圓平均分成4份，拼成的圖形有點像平行四邊形；平均分成8份，像多了；平均分成16份，更像了；平均分成32份，拼成的圖形開始趨向于長方形。請大家閉上眼睛想象，如果把圓平均分成64份、128份、256份……隨著等分的份數(shù)越多，拼出的圖形最終會轉(zhuǎn)化成什么圖形？

生：長方形。

【導(dǎo)學(xué)單】：（1）拼成的長方形的面積與圓的面積有什么關(guān)系？

（2）長方形的長與圓的周長有什么關(guān)系？寬與圓的半徑呢？

（3）思考：圓的面積應(yīng)該怎樣計算？

……

師：通過推導(dǎo)，得出圓的面積就是r2的π倍，這和開始推導(dǎo)出圓的面積在4r2和2r2之間是吻合的。

對事物本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)思考的核心。從生活化的情境到數(shù)學(xué)化的過程，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要過程，也是數(shù)學(xué)理性發(fā)展的重要邏輯。在本案例中，從學(xué)生熟悉的正方形面積入手，提供給學(xué)生思考、想象、猜測的機(jī)會，體會圖形轉(zhuǎn)化的前后聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)思想方法于整個教學(xué)過程，使學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)思之有“據(jù)”、思之有“理”、思之有“序”。從繁雜到簡單，學(xué)生在追求簡約化的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，感受到轉(zhuǎn)化思想的精髓。這不僅是讓學(xué)生在解決問題中學(xué)會數(shù)學(xué)思考，更是讓學(xué)生在對生活現(xiàn)象的反思之中運用數(shù)學(xué)的思想方法，厘清本質(zhì)，使整個學(xué)習(xí)過程“數(shù)學(xué)化”，數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到培養(yǎng)和升華。

◎三、數(shù)學(xué)的理性與批判性思維

首都師范大學(xué)王尚志教師說：“數(shù)學(xué)要講邏輯推理，更要講道理。”理性是數(shù)學(xué)特有的氣質(zhì)，數(shù)學(xué)理性也是數(shù)學(xué)文化的一個重要內(nèi)涵。數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)思想的感悟、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累，都離不開數(shù)學(xué)理性的參與。而小學(xué)生的思維以感性為主，如何讓感性的小學(xué)生撩起神秘的理性面紗，讓抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更接“地氣”，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留在知道“是什么”，還要明白“為什么”，這就需要尋求從形象到抽象的思維路徑。對“為什么”的追問可以看成是培養(yǎng)學(xué)生理性思維的一個方面。

【案例】五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)片段（P64、65）：

師：同學(xué)們，剛才我們用豎式來計算1.15×3.2的小數(shù)乘小數(shù)。請同學(xué)們回想一下，我們在計算小數(shù)加減法的時候，寫豎式要注意什么對齊？

生：小數(shù)點和小數(shù)點對齊，也就是相同數(shù)位對齊。

師：為什么在小數(shù)加減法中是相同數(shù)位對齊，而在小數(shù)乘法里又是末位對齊呢？數(shù)學(xué)上為什么要這樣規(guī)定？

（學(xué)生茫然）

師：我們把1.15×3.2分開來算，1.15×0.2等于多少？（0.230）1.15×3等于多少？（3.45）按照數(shù)位把它們寫出來應(yīng)該是什么樣子？（學(xué)生寫）

相同數(shù)位對齊： 末位對齊：

師：觀察我們按照相同數(shù)位對齊的格式寫出的豎式，你有什么想說的？

生1：算結(jié)果是簡單的，但是把這個結(jié)果寫到豎式里比較麻煩。

生2：特別要注意小數(shù)點的位置，一不小心就會錯。

師：對比這兩種書寫的格式，你有什么想說的？

生3：在算的過程中，我們都是把它們當(dāng)成整數(shù)進(jìn)行計算的。

生4：相同數(shù)位對齊的寫法，比較麻煩，特別是寫豎式時要注意小數(shù)點的位置，容易錯。

生5：第二種書寫格式，和我們之前學(xué)習(xí)的整數(shù)乘法是一樣的，只要在最后的得數(shù)里點上小數(shù)點就行了。

生6：末位對齊的書寫格式，比較整齊、方便。

師：同學(xué)們，小數(shù)乘法末位對齊的這種書寫格式，它不僅是一個數(shù)學(xué)規(guī)定，更是數(shù)學(xué)追求方便、簡潔的一種思考。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為每一個認(rèn)識、理解、邏輯、思考都提供一種可行的注解，是數(shù)學(xué)理性能力的重要表現(xiàn)。許多數(shù)學(xué)規(guī)定在歷經(jīng)豐富的過程后，逐漸變得簡約，約定俗成了。然而在現(xiàn)實的教學(xué)中，教師往往用“數(shù)學(xué)規(guī)定”一言以蔽之。從學(xué)習(xí)的角度來看，“冰冷的美麗”背后一定有“火熱的思考”，這種思考可以和前人發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的經(jīng)歷一致，可以和知識的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)一致，也可以和兒童特有的經(jīng)驗一致。但不管怎樣，都是為了學(xué)生能更好地理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)。上述案例書寫格式的探討，借助對比的感性認(rèn)識，讓學(xué)生對“末位對齊”的這個“數(shù)學(xué)規(guī)定”有了進(jìn)一步理性思考，最終建立起自己的數(shù)學(xué)理解、數(shù)學(xué)認(rèn)識、數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)思考。

“數(shù)學(xué)是思維的體操。”學(xué)生能夠理性地思考，才能生長出數(shù)學(xué)智慧；學(xué)生能夠自主地感悟，才能夠具有生命的意義。唯有從數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)出發(fā)，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的獨特魅力，學(xué)生才能從中獲取智慧的啟迪、素養(yǎng)的滋潤和生長的力量！