基于精確線性化理論的超級電容儲能系統的非線性控制算法

李 軒 李永麗 常曉勇

(智能電網教育部重點實驗室(天津大學) 天津 300072)

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基于精確線性化理論的超級電容儲能系統的非線性控制算法

李 軒 李永麗 常曉勇

(智能電網教育部重點實驗室(天津大學) 天津 300072)

針對超級電容及DC-DC電路的非線性特性，設計了超級電容儲能系統的非線性控制算法。通過分析電路的工作狀態，建立了電路仿射非線性系統標準型，利用狀態反饋精確線性化理論推導出電路狀態量與占空比函數間的關系，進而設計相應控制算法，并證明了系統的內動態穩定性，實現了超級電容恒流充電與恒壓放電的控制目標。在Matlab/Simulink仿真平臺中搭建仿真模型，對所提控制算法進行驗證，并在實驗室中搭建實驗電路，比較了非線性控制算法與PI算法的控制效果。結果表明，在超級電容儲能系統中采用非線性控制算法相比于傳統PI算法能明顯提高系統的動態性能，保證系統穩定運行。

超級電容 儲能系統 非線性控制 狀態變量反饋 精確線性化

0 引言

隨著國際能源危機的加劇以及環境保護的迫切需求，分布式發電技術已經成為當前的研究熱點[1]。由于風能、太陽能等新能源自身具有間歇性和波動性的特點，導致分布式新能源并網控制困難，不能直接接入配電網，為此，提出了微電網的概念[2]。微電網是一種由分布式電源、儲能系統(Energy Storage System，ESS)、負荷以及電力電子裝置等組成的自治系統[3]。其中，儲能裝置的作用是在發電設備的輸出功率大于負載需求時吸收多余能量，而當輸出功率不足時釋放能量為負載供電。因此，儲能裝置的引入可以較好地改善微電網內由于發電機出力或負荷需求隨機變化所導致的功率不平衡現象，提高微電網的穩定性[4]。

目前常見的儲能方式主要有蓄電池儲能、超導儲能、飛輪儲能、超級電容儲能等。超級電容作為一種功率型儲能元件，具有體積小、維護簡單、對環境無污染、壽命長的特點，且響應速度快、功率密度大，因此對分布式電源輸出功率的波動具有較好的抑制效果[5]。

儲能元件一般通過電力電子電路與母線或負載相連，并采用PI控制算法進行控制[6]。然而電力電子電路本身是一種典型的時變非線性電路，并且如果負載不僅是電阻等線性負載，而是沖擊性負荷或其他非線性負載，則更增強了電路的非線性特性。傳統PI算法是基于誤差的線性調節算法，將線性控制算法應用于非線性電路顯然是不合適的，不僅動態響應慢，而且當電路參數變化時有可能產生分岔或混沌等非線性現象[7]，導致電壓或電流的紋波系數較大。

近年來已經有很多學者將非線性控制算法應用到對電路的控制中，例如神經網絡控制[8]、滑模控制[9]等。文獻[10]采用精確反饋線性化的方法對Boost電路進行算法設計，但僅針對電源恒定的情況進行了實驗驗證；文獻[11]針對飛輪儲能系統設計了雙環控制放電算法，但僅是數值仿真，沒有經過實驗驗證；文獻[12]采用恒定導通時間的方法對多輸入系統進行控制，但理論推導過于復雜，并且公式計算較多，硬件實現較困難。

本文針對超級電容儲能系統的非線性特性及控制目標設計相應的非線性控制算法。首先，基于電路工作狀態方程，推導出系統仿射非線性系統標準型，應用輸入-狀態和輸入-輸出精確線性化理論研究系統狀態量或輸出量與控制輸入量間的關系，設計相應控制算法，實現了超級電容恒流充電[13]與恒壓放電的控制目標。在Matlab/Simulink中搭建仿真模型驗證算法的有效性，然后通過搭建硬件電路對非線性控制算法與PI算法進行比較。實驗結果表明，非線性控制算法相比于傳統PI控制算法具有明顯的優越性。

1 超級電容儲能系統結構

本文研究的超級電容儲能系統結構如圖1所示，主要由超級電容器、雙向DC-DC變換器以及直流電源和負載組成。其中，超級電容采用超級電容經典等效模型代替[14]。

圖1 超級電容儲能系統基本結構Fig.1 Structure of super capacitor energy storage system

充電時，開關K1導通、K2關斷，直流電源E通過DC-DC電路給超級電容充電，超級電容存儲能量；開關管VT2恒關斷，VT1間斷導通，電感電流流向從左向右，電路為Buck電路。

放電時，開關K1關斷、K2導通，超級電容通過DC-DC電路向負載R放電，維持負載側電壓恒定；開關管VT1恒關斷、VT2間斷導通，電感電流流向從右向左，電路為Boost電路[15]。

充電時，超級電容相當于負載，而又與電阻性負載不同，它的端電壓不斷升高，但仍要保持充電電感電流大小不變；放電時超級電容相當于電源，但是隨著超級電容放電深度不斷加深，電容端電壓也在不斷下降，此時仍要維持負載側電壓恒定。因此，控制算法應能在超級電容電壓大范圍變化的情況下保持良好的適應性。同時，針對分布式能源輸出功率的快速波動，超級電容的充放電功率也應能迅速調節。因此，控制算法也應具有快速動態響應特性。

本文將精確反饋線性化法應用于超級電容儲能系統的控制設計中，可將對非線性系統的設計問題轉為對線性系統的設計問題，繼而易于設計相應的控制算法。此外，在線性化的過程中，該方法沒有對任何高階微分項進行忽略，因而能夠保證控制系統的準確度。由于控制算法的設計建立在電路狀態方程的基礎上，因此本文首先對電路的充放電兩種工作狀態分別建立數學模型，進而設計相應的控制算法。

2 超級電容充電算法設計

2.1 充電Buck電路建模

當電路工作在給超級電容充電的狀態時，開關管VT2恒關斷、VT1采用恒頻PWM調制。由于電路運行過程中開關頻率遠大于電路固有頻率，因此可以采用狀態空間平均法對電路建模[16]，得到電路的狀態空間平均模型為

(1)

式中，E為直流電源電壓值；iL和uSC分別為一個開關周期內電感電流和超級電容電壓的平均值；CSC為超級電容的電容值；RS和RP分別為超級電容等效串聯電阻值和等效并聯電阻值；L為電感值；μ為占空比函數。

選取狀態變量x1=iL、x2=uSC，可以得到以狀態向量X=[x1，x2]表示的單輸入仿射非線性系統的標準型

X′=f(X)+g(X)μ

(2)

式中

2.2 輸入-狀態精確線性化分析

根據文獻[17]中給出的系統輸入-狀態精確反饋線性化的條件，對式(2)的系統進行驗證。

1)由于本系統含有2個狀態變量，所以系統維數n=2，需考察向量場{g，adfg}的線性相關性。

(3)

由式(3)可知，矩陣[g，adfg]的秩為2，因此集合{g，adfg}是線性無關的。

2)集合{g}是由單獨的一個向量所組成的集合，顯然滿足非奇異對合分布條件。

因此，由Buck電路所建立的仿射非線性系統式(2)可以進行輸入-狀態精確線性化。

設新狀態變量z1，z1是關于x1、x2的函數，根據輸入-狀態精確線性化的條件，z1需滿足

z1·g=0

(4)

z1·adfg≠0

(5)

由式(4)可知，實際上z1是一個只含有變量x2(超級電容電壓)，而不含變量x1(電感電流)的函數。而超級電容充電時需要對式(2)中的電感電流進行控制。因此，通過對該系統進行輸入-狀態精確線性化無法滿足設計要求。

2.3 輸入-輸出精確線性化分析

對式(2)所示的單輸入仿射非線性系統進行變換，增加一個包含電感電流量的輸出函數，然后對新構造的輸出函數進行輸入-輸出線性化以得到輸出量與輸入占空比之間的關系。取新的輸出函數為電感電流量，得到單輸入單輸出仿射非線性系統的標準型

(6)

式中，y為系統輸出函數。

輸入-輸出精確線性化的步驟就是不斷對輸出量進行微分，直到輸入量出現在表達式中。經過嚴格的證明，對任意n階能控系統的任一輸出，最多只需微分n次就能使輸出量和輸入量出現在同一表達式中[18]。因此，對式(6)系統中的輸出量進行微分

(7)

式(7)得到了輸出量和輸入量之間的顯式關系。

令新控制變量

(8)

則原控制量可以用新控制量表示為

(9)

此時原系統式(6)轉換為線性系統

y′=v

(10)

可見，原來對輸入量μ的控制設計可以轉為對新輸入量v的設計。

系統的控制目標是使輸出函數y跟蹤參考電流值iLref。通常的設計方法是直接取y與iLref的差值作為誤差量，通過控制算法的設計使誤差量最終趨于0。然而這種設計方法會導致系統處于穩態時的波動較大，并且如果參數選擇不當可能會產生穩態誤差和次諧波現象[19]。因此，本文將誤差的積分量引入設計過程，消除穩態誤差的同時加快了系統的動態響應速度。

設新的變量

z=∫y-iLref

(11)

z′=y-iLref

(12)

(13)

選擇新的控制輸入量

v=-k1z′-k2z

(14)

式(14)中的參數k1、k2若選擇適當，可以使式(10)所示系統為指數穩定的系統。并且當系統穩定時z和z′均趨于0，即滿足輸出量跟蹤給定值的設計目標。

將式(14)代入式(9)，即可得到對原控制量μ的控制函數。

由于Buck電路正常工作時一共有2個狀態變量，即電感電流iL和超級電容電壓uSC，上述步驟只是對其中一個變量的跟蹤過程進行了設計，而這有可能導致另一個狀態量處于不確定狀態，因此需要對另一個變量的狀態進行分析，即對此系統進行內動態穩定性分析。

由式(2)得到

(15)

當按照式(9)、式(14)設計控制律后，x1最終趨于iLref。由式(15)可知，此時x2是一個保持有界的穩定值，因此該系統為內動態穩定性系統，所設計的控制律是合適的。

聯立式(9)、式(14)，可以得到超級電容充電時的控制框圖，如圖2所示。

圖2 超級電容充電模式下非線性控制框圖Fig.2 Nonlinear control block diagram of the super capacitor in charging mode

3 超級電容放電算法設計

3.1 放電Boost電路建模

當超級電容為負載供電時，電路為Boost電路，開關管VT1恒關斷、VT2采用恒頻PWM調制，同樣采用狀態空間平均法對電路建模，得到電路的數學模型

(16)

式中，R為負載電阻值；uC為一個開關周期內負載側電壓平均值。

選取狀態變量xl=iL、x2=uC，則可以得到以狀態向量X=[x1，x2]表示的單輸入仿射非線性系統的標準型

X′=f(X)+g(X)μ

(17)

式中

3.2 輸入-狀態精確線性化分析

放電時的Boost電路仍然是二階系統，經驗證，該系統滿足輸入-狀態精確反饋線性化的條件。因此，同樣考慮對由Boost電路所建立的仿射非線性系統進行輸入-狀態反饋精確線性化。

假設新構造狀態變量為z1，根據式(4)、式(5)的條件，取新的狀態變量

(18)

函數式(18)即為電路中電感和濾波電容的總儲能函數，具有實際物理意義。

計算狀態變換

(19)

則可將原系統式(17)轉換為以z1、z2表示的線性系統，即

(20)

式中，v為所要設計的新的控制律。通過對v的設計，可以對z1進行控制。

此時，原控制量為

(21)

式中

變量z1中包含負載電壓和電感電流兩個變量，系統的控制目標是控制系統達到穩態時的負載電壓保持為uCref不變，而任意時刻電感電流值是隨著超級電容端電壓以及電路占空比的變化而變化的。因此，為了確定不同時刻z1的參考值，需先確定不同時刻電感電流的參考值。

當電路達到穩態時，根據一個周期內電路功率守恒得到

(22)

式中，負載電壓uC=uCref。

在超級電容電壓uSC不斷下降的過程中，由式(22)可以確定任意時刻的電感電流iL值，即為電感電流參考值iLref。此時狀態變量z1的參考值為

(23)

由式(20)、式(23)可知，通過設計合適的控制律v能保證新的狀態變量z1跟蹤z1ref，但實際需要的是z1中的變量x1跟蹤iLref、x2跟蹤uCref。

聯立式(18)、式(22)、式(23)得到

(24)

通過Matlab對式(24)求解，一共可以得到4組解，然而只有一組xl=iLref、x2=uCref是符合實際電路情況的。因此，當z1跟蹤z1ref時，就可以實現輸出電壓對參考電壓的跟蹤。原來對uC跟蹤uCref的設計也就轉為對新狀態量z1跟蹤z1ref的設計。

設誤差量

e=z1-z1ref

(25)

(26)

(27)

選擇新的控制量

v=-k1e-k2e′

(28)

式(28)中的參數k1、k2若選擇適當，可以使系統式(20)為指數穩定的系統，且當系統穩定后能實現輸出電壓跟蹤參考電壓的目標。將式(28)代入式(21)中，即可得到對原來占空比函數μ的控制律。

聯立式(17)、式(21)、式(28)可以得到超級電容放電時的控制框圖，如圖3所示。

圖3 超級電容放電模式下非線性控制框圖Fig.3 Nonlinear control block diagram of the super capacitor in discharging mode

4 仿真及實驗驗證

4.1 一次電路仿真參數

為了驗證本文所設計的超級電容充放電控制算法的控制效果，在Matlab/Simulink中搭建仿真模型進行驗證。一次電路參數如下：

1)雙向DC-DC充放電電路參數：電路電感L=0.6 mH，濾波電容C=1 100 μF，負載電阻R=2 Ω，IGBT開關頻率fS=10 kHz。

2)超級電容參數：超級電容CSC=166 F，等效串聯電阻RS=6 mΩ，等效并聯電阻RP=2.5 kΩ。

4.2 控制算法參數討論

電路中電感、電容的選取會對系統的動靜態性能產生一定影響，當取值過大時，電流或電壓的變化速度較慢，暫態時間較長；若取值過小，則會降低系統的穩定性，產生較大諧波。此外，控制系統中的參數也會對系統性能產生較大影響，下面具體分析控制參數如何整定。

在確定控制量之后，經過式(9)或式(21)直接計算得到了電路占空比，因此控制參數的取值不是無限制的，應能保證輸入占空比取值范圍在0～1之間變化。同時，為了保證控制量的引入能取得一定的控制效果，應使控制量大小與算法中其他項處于相同的數量級。

下面具體分析當控制量選取不同參數時對控制性能的影響，并進行仿真驗證，以便給參數調整提供一定的依據。

充電時，k1代表誤差量的增益，k2代表誤差積分量的增益。當k1增大時，誤差的作用將被放大，因此會使得系統動態速度加快，但過大會導致系統在穩態值附近振蕩，k1變小則會導致動態速度變慢。由于誤差積分量是對誤差進行累積，因此該項的存在可以消除系統的穩態誤差，但當k2過大時，會使系統超調嚴重，而當k2變小時，則會降低系統的響應速度。設定直流電源以48 V恒壓向超級電容充電，控制充電電流為10 A。圖4a、4b分別為k1、k2取不同值時電感電流的仿真波形。

圖4 充電模式下不同參數時電感電流仿真波形Fig.4 Simulation waveform of inductor current with different parameters during the charging processes

放電時，k1代表電壓電流的耦合項與穩態時電壓電流耦合項的誤差量的增益，k2代表功率不平衡量的增益。當k1增大或k2減小時，誤差項的作用將變大，導致系統在未達到穩態時由于電壓或電流某項超過穩態值而使得誤差量為零，之后再經過振蕩調節過程使電路達到功率平衡狀態；當k1減小或k2增大時，功率不平衡量的作用將變大，使得系統首先保證功率平衡而使得動態響應速度變慢。設定超級電容初始電壓30 V，控制負載側2 Ω電阻的電壓為50 V。圖5a、5b分別為k1、k2取不同值時負載側電壓的仿真波形。

圖5 放電模式下不同參數時負載電壓仿真波形Fig.5 Simulation waveform of load voltage with different parameters during the discharging processes

由于放電時電感電流與負載電壓之間不是相互獨立的關系，因此本文設計的控制算法是對兩者的耦合項進行控制，即是對系統整體的動靜態性能進行控制，此時控制參數對電感電流與負載電壓具有類似的作用效果，限于篇幅，電感電流的仿真波形圖在此省略。

綜上，可以看出，當參數選擇不當時，可能會導致系統超調量過大或調節時間變長，嚴重時會使系統產生振蕩。因此，應針對控制效果對參數進行微調以取得最優的控制性能。

通過分析比較，本文選取控制系統仿真參數為：充電時k1=10、k2=0.2；放電時k1=107、k2=103。

4.3 充電動態仿真

當超級電容的充電功率發生變化時，由于電容電壓不能突變，因此控制算法應能迅速對超級電容的充電電流進行調整。為此針對超級電容充電電流變化的情況進行仿真驗證。

設定充電時直流電源電壓48 V恒定，充電電流參考值初始為10 A，在0.03 s和0.06 s時刻分別變為5 A 和10 A。圖6為充電電流參考值發生變化時電感電流的動態響應波形。

圖6 充電電流變化時系統動態特性Fig.6 Dynamic response of the system when charge current change

從圖6可以看出，非線性控制算法可以較好地控制電感電流跟蹤參考值，沒有靜態誤差，并且當參考電流發生變化時，電感電流可以較快地過渡到新的穩態值。

4.4 放電動態仿真

當超級電容作為電源向負載放電時，系統的目標是維持負載側電壓恒定，當負載突變時，控制算法應具有快速的動態響應速度，維持負載側電壓穩定。因此，針對負載突變的情況進行仿真驗證。

設定超級電容的初始電壓為30 V，由超級電容向2 Ω電阻放電，控制負載電壓為50 V，在0.04 s和0.07 s時電阻分別突變為1 Ω和2 Ω。圖7為負載側電壓的動態響應波形。

圖7 負載突變時系統動態特性Fig.7 Dynamic response of the system when load change

從圖7可以看出，當負載突變時，輸出電壓經過一個暫態后能夠快速回到設定值。并且，即使超級電容端電壓在放電過程中不斷下降，非線性控制算法仍能維持負載側輸出電壓為設定值不變。

4.5 實驗參數

為了進一步驗證本文所設計非線性控制算法的正確性及優越性，在硬件實驗中同時比較非線性控制算法與雙環PI控制算法之間性能的差異。基于TMS320F28335設計相關實驗電路，進行實驗驗證。一次電路所選的參數與仿真時相同，其中，超級電容選擇由NANOFORCE公司生產的型號為MPAK0101848651666BC超級電容，額定容量166 F，額定電壓48 V，最高充放電電流650 A。主開關管選用FF450R17ME4型IGBT。由于實際硬件電路中的電感、電容、IGBT等器件存在附加阻尼及線路阻抗等一些不可忽略因素的影響，實驗參數與仿真時有一定的差異。實驗中的控制參數見表1和表2。

表1 非線性控制參數Tab.1 The parameters of nonlinear control algorithm

表2 PI控制參數Tab.2 The parameters of PI control algorithm

4.6 充電實驗

設定充電時直流電源電壓48 V恒定，對超級電容充電電流發生突變的情況進行實驗驗證。圖8為分別采用PI控制算法和本文提出非線性控制算法時系統的電感電流動態響應波形。

由圖8可以看出，當超級電容充電電流參考值發生變化時，兩種算法均能控制電感電流快速跟蹤參考電流，但非線性控制算法相較于PI控制算法具有更快的動態響應速度，更小的超調量。

圖8 充電電流變化時電感電流動態響應波形Fig.8 Dynamic response waveform of the inductor current when charge current change

4.7 放電實驗

超級電容經過充電過程后電壓達到20 V，此時由超級電容向負載放電，維持負載側電壓為30 V不變，針對負載突變的情況進行實驗驗證。圖9為分別采用PI控制算法和非線性控制算法時系統的超級電容端電壓、負載電壓及電感電流的動態響應波形。

圖9 負載突變時系統動態響應波形Fig.9 dynamic response waveform of the system when load change

從圖9可以看出，當負載從輕載(R=4 Ω)跳變為重載(R=2 Ω)時，超級電容由于電容較大，因此電壓沒有明顯變化，但負載側電壓均有一個瞬間的電壓跌落，之后恢復至設定電壓，同時，電感電流也將迅速由原來的狀態過渡到新的穩態。但非線性控制算法相較于PI控制算法具有更短的調節時間，且輸出電壓和電感電流的波形更加平穩。

5 結論

本文針對超級電容儲能系統設計了一種非線性控制算法，實現了超級電容恒流充電與恒壓放電的控制目標，并通過仿真和實驗進行了驗證。通過實驗結果可以看出，本文設計的控制算法具有以下優點：

1)該控制算法能夠控制超級電容的充電電流和放電電壓精確跟蹤給定值，無穩態誤差。

2)通過該算法與PI算法的比較可以看出，在超級電容儲能系統中采用非線性控制算法能明顯提高系統的動態響應速度，減小超調量。

3)該控制算法只含有2個需要整定的參數，相比于傳統雙環PI控制算法中的4個PI參數而言，參數整定更容易實現。

4)該算法可以推廣到對電力系統中其他非線性系統的控制設計中，具有實際意義。

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Nonlinear Control Algorithm for Super Capacitor Energy Storage System Based on Exact Linearization Theory

Li Xuan Li Yongli Chang Xiaoyong

(Key Laboratory of Smart Grid of Ministry of Education Tianjin University Tianjin 300072 China)

In view of the nonlinear characteristics of super capacitors and DC-DC converters，a nonlinear control algorithm for the super capacitor energy storage system is designed.Through the analysis on working states of the circuit，the affine nonlinear model is established.The relationship between the circuit state and the duty cycle is deduced by using the exact feedback linearization theory.Furthermore，the control algorithm is designed and its stability of internal dynamics is proved.Then the control targets of charging with constant current and discharging with constant voltage are achieved.Simulation model is constructed in the Matlab/Simulink platform.The effectiveness of the control algorithm is confirmed.Then，the difference between the nonlinear control algorithm and the PI control method is compared by experimental circuit building in laboratory.Results show that，compared with the traditional PI algorithm，using nonlinear control law in the super capacitor energy storage system can significantly improve dynamic performance and ensure stability.

Super capacitor，energy storage system，nonlinear control，state variables feedback，exact linearization

國家重點基礎研究發展計劃(973計劃)(2009CB219704)、國家自然科學基金(51177108)和高等學校博士學科點專項科研基金(20110032110066)資助項目。

2015-06-04 改稿日期2015-09-21

TM46

李 軒 男，1990年生，碩士研究生，研究方向為電力系統保護與控制。

E-mail：lixuanyeah@126.com(通信作者)

李永麗 女，1963年生，教授，博士生導師，研究方向為電力系統保護與控制。

E-mail：lyltju@163.com