非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)

江 波，譚 青，羅 建

（中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083）

非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置數(shù)值仿真與實(shí)驗(yàn)

江 波，譚 青，羅 建

（中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410083）

實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，高速轉(zhuǎn)子由于受不平衡力矩作用，會(huì)產(chǎn)生非平面運(yùn)動(dòng)。通過(guò)數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)，研究非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下的運(yùn)動(dòng)特性。運(yùn)用病態(tài)性探測(cè)實(shí)現(xiàn)數(shù)值仿真過(guò)程中剛性方法(ω方法)與非剛性方法(RK-45法)的自動(dòng)切換。從而解決非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置病態(tài)微分方程組的數(shù)值仿真與計(jì)算問(wèn)題。通過(guò)對(duì)球式自動(dòng)平衡實(shí)驗(yàn)臺(tái)的實(shí)驗(yàn)研究驗(yàn)證了數(shù)值仿真與數(shù)學(xué)模型的正確性，并得出球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)做非平面運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子的平面振動(dòng)和空間轉(zhuǎn)動(dòng)都有很好的抑制作用和減振效果的結(jié)論。數(shù)值仿真算法在多體問(wèn)題中具有借鑒意義。

振動(dòng)與波；非平面運(yùn)動(dòng)；球式自動(dòng)平衡裝置；病態(tài)性探測(cè)

回轉(zhuǎn)機(jī)械的平衡問(wèn)題一直是機(jī)械行業(yè)的重要課題。尤其對(duì)于高速回轉(zhuǎn)機(jī)械而言，轉(zhuǎn)子由于質(zhì)量分布不均勻而產(chǎn)生不平衡力與力矩會(huì)使回轉(zhuǎn)機(jī)械產(chǎn)生振動(dòng)和噪聲，嚴(yán)重的甚至?xí)l(fā)災(zāi)難性破壞，由此造成的損失不容忽視。為了解決這一問(wèn)題一般對(duì)轉(zhuǎn)子采取高精度的動(dòng)靜平衡的方法[1]。但對(duì)于一些質(zhì)量分布可能發(fā)生變化的回轉(zhuǎn)機(jī)械如風(fēng)機(jī)，經(jīng)常將其卸載下來(lái)進(jìn)行動(dòng)靜平衡很不方便。因此，近年來(lái)，對(duì)采用自動(dòng)平衡裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)平衡、減振的研究引起了重視。這一技術(shù)對(duì)消除隨機(jī)性不平衡尤為有效。自動(dòng)平衡裝置分為兩種類型：一種是自動(dòng)定心型的自動(dòng)平衡裝置，也稱為被動(dòng)式自動(dòng)平衡裝置[2]；另外一種是由微機(jī)控制的自動(dòng)平衡裝置，也稱為主動(dòng)式自動(dòng)平衡裝置[3-4]。球式自動(dòng)平衡裝置是一種性能優(yōu)異的被動(dòng)式自動(dòng)平衡裝置。

國(guó)內(nèi)外對(duì)非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的系統(tǒng)性研究較少。以往對(duì)被動(dòng)式自動(dòng)平衡轉(zhuǎn)置的研究主要集中在轉(zhuǎn)盤(pán)平面不變的情況，從而忽略了由不平衡力矩引起的非平面運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)[5]完成了對(duì)非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的建模與穩(wěn)定性討論。考察文獻(xiàn)[5]中的非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)其雅克比矩陣條件數(shù)比較大，屬于病態(tài)問(wèn)題的初值問(wèn)題。設(shè)計(jì)一種高效率、高精度的算法進(jìn)行模型的數(shù)值仿真并最終通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仿真結(jié)果的可靠性和數(shù)學(xué)模型的正確性，對(duì)探索非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的運(yùn)動(dòng)特性具有重要的意義。

1 數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)要說(shuō)明

實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，高速運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)子由于受到不平衡力矩的作用，會(huì)使整個(gè)轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生空間轉(zhuǎn)動(dòng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)使得轉(zhuǎn)子產(chǎn)生非平面運(yùn)動(dòng)，從而使整個(gè)系統(tǒng)產(chǎn)生非平面運(yùn)動(dòng)。

非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 力學(xué)模型示意圖

轉(zhuǎn)盤(pán)上放置了n個(gè)滾球，作可移動(dòng)的補(bǔ)償量，同時(shí)在轉(zhuǎn)盤(pán)上安放了m個(gè)偏心質(zhì)量。

為了更清晰表達(dá)系統(tǒng)的非平面運(yùn)動(dòng)，尤其是轉(zhuǎn)軸繞X、Y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)行為，做出如圖2所示的系統(tǒng)平面和空間振動(dòng)示意圖。

圖2 平面和空間振動(dòng)示意圖

由文獻(xiàn)[5]可知，非平面球式自動(dòng)平衡裝置的運(yùn)動(dòng)方程如式(1)所示。

式中主要采用的符號(hào)說(shuō)明如下：

O0-XYZ：靜止時(shí)的坐標(biāo)系，O0為轉(zhuǎn)軸中心靜止時(shí)的位置；

O1-xyz：隨轉(zhuǎn)軸中心運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系，其中x-y平面始終與轉(zhuǎn)盤(pán)平面平行，O1是轉(zhuǎn)軸中心運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置；

x、y：轉(zhuǎn)軸中心由O0到O1的位移，單位為m；

φx、φy：轉(zhuǎn)軸空間轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移，單位為rad；

zi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心之間的軸向距離，單位為m；ei第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)與回轉(zhuǎn)軸線之間的距離即偏心距，單位為m，φi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，單位為rad（；其中i=1，···，n，n+1，···，n+m，前n個(gè)質(zhì)點(diǎn)為滾球，后m個(gè)質(zhì)點(diǎn)為偏心質(zhì)量）；

M為系統(tǒng)的總質(zhì)量，m為轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)軸的質(zhì)量，mi為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，單位為kg（其中）；

C、K為系統(tǒng)的阻尼矩陣、剛度矩陣，阻尼的單位為N·s/m，剛度的單位為N/m；

JRi、J分別為質(zhì)點(diǎn)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣、轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)盤(pán)的主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的單位為kg·m2；

φ0為轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)盤(pán)的轉(zhuǎn)速，單位為rad/s；

C0為滾球黏性阻尼系數(shù)，單位為N·s/m·rad。

2 系統(tǒng)的數(shù)值仿真

2.1 病態(tài)問(wèn)題及病態(tài)性探測(cè)

在很多重要的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域和實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)碰到這樣一類系統(tǒng)，系統(tǒng)中有的狀態(tài)變量因具有較小時(shí)間常數(shù)，變化速度較快，而有的狀態(tài)變量因其具有較大的時(shí)間常數(shù)，變化速度相對(duì)緩慢，這就是所謂的病態(tài)問(wèn)題[6]。通過(guò)Matlab可求出非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的Jacobi矩陣，依照Shampine和Gear給出的剛性初值問(wèn)題的定義[7]，可發(fā)現(xiàn)非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的系統(tǒng)在某些區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)出病態(tài)性而在其他區(qū)間表現(xiàn)出非病態(tài)性。

關(guān)于非線性病態(tài)（剛性）初值問(wèn)題的求解，國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者做過(guò)一些研究，主要采用Gear法、BDF法、α方法等具有較大穩(wěn)定域甚至恒穩(wěn)定的剛性方法解決，但此類方法通常要計(jì)算系統(tǒng)的Jacobi矩陣[8]。非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的數(shù)學(xué)模型的雅克比矩陣含有大量分式，求解雅克比矩陣將費(fèi)時(shí)費(fèi)力。當(dāng)系統(tǒng)表現(xiàn)出嚴(yán)重病態(tài)性時(shí)，就要求計(jì)算步長(zhǎng)特別小才能滿足穩(wěn)定性和精度要求。過(guò)小的步長(zhǎng)勢(shì)必導(dǎo)致需要同剛性比等量級(jí)的積分次數(shù)，即需要很大的計(jì)算量，進(jìn)而導(dǎo)致仿真時(shí)間很長(zhǎng)，甚至由于舍入誤差的累積導(dǎo)致仿真失敗[7]。在不表現(xiàn)出病態(tài)性時(shí)使用非剛性方法，在出現(xiàn)病態(tài)性時(shí)使用剛性方法，可以有效提高計(jì)算效率和精度。

病態(tài)性探測(cè)常用三種方法：穩(wěn)定半徑法、小穩(wěn)定域試探法、嵌入低階大穩(wěn)定域法。考慮到非平面球式自動(dòng)平衡裝置的Jacobi矩陣比較復(fù)雜，求解耗時(shí)較多，因此采用嵌入低階大穩(wěn)定域法[6]。

2.2ω方法與RK-45法

非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的Jacobi矩陣比較復(fù)雜，計(jì)算困難，而ω方法是采用任意的實(shí)方陣代替精確的Jacobi矩陣，并通過(guò)改變步長(zhǎng)的方式使該方陣具有良好的穩(wěn)定性，故采用ω方法可以避免求解Jacobi矩陣的麻煩。ω方法的遞推公式和誤差估計(jì)可以參考文獻(xiàn)[10]。

RKF-45法簡(jiǎn)寫(xiě)為R-45法，被公認(rèn)是解決非剛性問(wèn)題的最有效方法之一。Shampine提出RK-45中嵌入大穩(wěn)定域1(2)階的計(jì)算公式，其計(jì)算公式的形式與RK-45方法一致，只是誤差估計(jì)系數(shù)上有區(qū)別。該方法的公式及公式中的系數(shù)可參考文獻(xiàn)[6、11]。

2.3 模型降階與數(shù)值仿真流程

在用數(shù)值計(jì)算方法求解常微分方程組時(shí)，通常都需要將高階方程降階為低階方程，因此將2階方程組式(1)降階為1階方程組是有必要的。受限于文章篇幅，現(xiàn)以系統(tǒng)存在兩個(gè)球和一個(gè)偏心質(zhì)量為例進(jìn)行說(shuō)明。

設(shè)：

當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速恒定，滾球也將處于相對(duì)轉(zhuǎn)盤(pán)靜止的狀態(tài)。假設(shè)盤(pán)以恒定轉(zhuǎn)速運(yùn)行，即為常量，且將式(2)代入式(1)就可以得到系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的1階形式的微分方程組見(jiàn)式(3)。

在迭代計(jì)算的過(guò)程中，利用病態(tài)性檢測(cè)，結(jié)合病態(tài)判據(jù)，在ω方法與RK-45法之間根據(jù)方程當(dāng)前是否處于病態(tài)進(jìn)行自動(dòng)切換，不用通過(guò)求復(fù)雜的雅克比矩陣判斷當(dāng)前步是否為病態(tài)，從而提高計(jì)算精度和效率。數(shù)值計(jì)算仿真程序是基于Matlab編寫(xiě)的，能夠自動(dòng)切換算法。具體的計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 仿真流程圖

2.4 數(shù)值仿真結(jié)果

通過(guò)測(cè)量和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)相比較于僅僅考慮平面運(yùn)動(dòng)的自動(dòng)平衡裝置系統(tǒng)出現(xiàn)了2階固有頻率。在系統(tǒng)參數(shù)如表1所示的情況下通過(guò)測(cè)量得到系統(tǒng)兩階固有頻率，分別為

ωn1≈10.7 πrad/s，ωn2≈47.7 πrad/s。

表1 仿真與實(shí)驗(yàn)參數(shù)

主要探討非平面球式自動(dòng)平衡裝置在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下的動(dòng)態(tài)特性和減振效果，設(shè)定仿真的初始條件為：S0=(0，0，0，0，0，0，0，0，2π/3，0，-2π/3，0)T，其他的結(jié)構(gòu)參數(shù)值如表1所示。為了研究自動(dòng)平衡裝置在過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速、過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的性態(tài)和減振效果，取轉(zhuǎn)速ω1=30 πrad/s，ω2=90 πrad/s，分別以無(wú)球和兩個(gè)球進(jìn)行仿真，得出如表2和圖4所示的仿真結(jié)果。

表2 仿真結(jié)果匯總表

由仿真結(jié)果可知，系統(tǒng)存在兩階固有頻率，因此球式自動(dòng)平衡裝置運(yùn)用在作非平面運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)機(jī)械上面時(shí)必須考慮系統(tǒng)的1階和2階固有頻率。

對(duì)比表2中無(wú)球時(shí)過(guò)1、2階臨界轉(zhuǎn)速的振幅情況可知，工作轉(zhuǎn)速為過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的平面振動(dòng)較大，而空間振動(dòng)相對(duì)較??；而當(dāng)轉(zhuǎn)速過(guò)度到過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，空間振動(dòng)增加較大，而平面振動(dòng)變化并不明顯。這說(shuō)明非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的1階固有頻率主要產(chǎn)生于平面運(yùn)動(dòng)，而2階固有頻率主要產(chǎn)生于空間轉(zhuǎn)動(dòng)。對(duì)比表2中無(wú)球和有球時(shí)的振動(dòng)幅值可知，在過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，有球時(shí)平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無(wú)球時(shí)的1/15和1/ 16；在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，有球時(shí)平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無(wú)球時(shí)的1/9和1/24。過(guò)臨界轉(zhuǎn)速時(shí)球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)轉(zhuǎn)子有很好的減振效果，尤其在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)減振效果更為顯著。圖4 (a)至(d)顯示，在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)平面振動(dòng)和非平面振動(dòng)（空間振動(dòng)）都有很明顯的削減作用。圖4(e)和(f)顯示，工作轉(zhuǎn)速為過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，由于其能更快速通過(guò)兩個(gè)共振區(qū)，因此與工作轉(zhuǎn)速為過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的情況相比，滾球穩(wěn)定下來(lái)所花費(fèi)的時(shí)間更少，平衡所需時(shí)間更少（過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速平衡時(shí)間為1 s而過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速平衡時(shí)間大約為5 s）。

綜上所述，球式自動(dòng)平衡裝置在亞臨界轉(zhuǎn)速下對(duì)系統(tǒng)減振不利，在過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)有很好的減振效果，在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)減振效果較過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速效果更好。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

設(shè)計(jì)了圖5和圖6所示的實(shí)驗(yàn)方案和試驗(yàn)臺(tái)。

變頻器可以控制實(shí)驗(yàn)臺(tái)的電機(jī)轉(zhuǎn)速；壓電式加速度傳感器將所采集到的實(shí)驗(yàn)臺(tái)振動(dòng)信號(hào)輸送到電荷放大器中進(jìn)行放大；數(shù)據(jù)采集卡將放大后的加速度電壓信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)（即進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換）輸送到計(jì)算機(jī)中進(jìn)行處理和計(jì)算。

圖4 仿真結(jié)果示意圖

圖5 實(shí)驗(yàn)整體方案

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

在與仿真系統(tǒng)參數(shù)和條件相同的情況下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，通過(guò)數(shù)據(jù)采集卡和計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，得到如表3和圖4所示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。因?yàn)橹饕塾谘芯繙p振效果，故只給出穩(wěn)態(tài)時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

表3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總表

對(duì)比表3中無(wú)球和有球時(shí)的振動(dòng)幅值，可知在過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速工況下，有球時(shí)平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無(wú)球時(shí)的1/2和4/5；在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速工況下，有球時(shí)平面振幅和空間振幅的幅值分別約為無(wú)球時(shí)的1/3和1/21。通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果在減振趨勢(shì)上具有一致性，在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速工況下，裝有球式自動(dòng)平衡裝置的回轉(zhuǎn)機(jī)械比沒(méi)有球式自動(dòng)平衡裝置的振幅小很多。對(duì)比表3中的數(shù)據(jù)可知，無(wú)球時(shí)工作轉(zhuǎn)速為過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速工況下的平面振動(dòng)較大，空間振動(dòng)相對(duì)較?。欢?dāng)工作轉(zhuǎn)速過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，空間振動(dòng)增加較大，平面振動(dòng)變化并不明顯。當(dāng)有球時(shí)，在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速工況下系統(tǒng)的平面振幅和空間振幅相對(duì)于無(wú)球時(shí)都呈削減趨勢(shì)。實(shí)驗(yàn)表明在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速下球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)平面振動(dòng)和空間振動(dòng)都有很好的抑制作用，在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速工況下對(duì)平面振動(dòng)和空間振動(dòng)的削減作用更明顯。這與仿真得到的結(jié)論一致，說(shuō)明了數(shù)學(xué)模型和仿真的準(zhǔn)確性。

由于加速度計(jì)存在橫向效應(yīng)，采集平面運(yùn)動(dòng)信號(hào)的加速度傳感器所采集到的振動(dòng)信號(hào)并不完全是平面運(yùn)動(dòng)的信號(hào)而是平面運(yùn)動(dòng)與少量空間運(yùn)動(dòng)信號(hào)的疊加，振幅是通過(guò)對(duì)加速度信號(hào)兩次積分得到的，有積分誤差，同時(shí)實(shí)際工程中轉(zhuǎn)盤(pán)并不是完全均勻?qū)ΨQ的，所以實(shí)驗(yàn)與仿真相比具有一定誤差。而且，由于是微小振動(dòng)，振幅相對(duì)較小，誤差的影響也相對(duì)較大。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果中表現(xiàn)出的減振趨勢(shì)與仿真顯示的減振趨勢(shì)具有一致性。

圖8 實(shí)驗(yàn)結(jié)果示意圖

4 結(jié)語(yǔ)

球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)受不平衡力矩的回轉(zhuǎn)機(jī)械具有很好的減振效果，當(dāng)偏心量較大時(shí)將尤為明顯。在過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速和過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速工況下都具有較好的減振效果，并且在過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速工況下的減振效果要好于過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速，因?yàn)檫^(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速后球的位置分布使系統(tǒng)質(zhì)心更靠近回轉(zhuǎn)中心。

無(wú)球時(shí)，工作轉(zhuǎn)速為過(guò)1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)平面振動(dòng)明顯，而空間振動(dòng)并不很明顯，而當(dāng)工作轉(zhuǎn)速過(guò)度到過(guò)2階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，空間振動(dòng)明顯增加，而平面振動(dòng)變化并不明顯。這說(shuō)明非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置的一階固有頻率主要產(chǎn)生于平面運(yùn)動(dòng)，而2階固有頻率主要產(chǎn)生于空間轉(zhuǎn)動(dòng)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示的球式自動(dòng)平衡裝置對(duì)受不平衡力矩作用的高速轉(zhuǎn)子在過(guò)臨界轉(zhuǎn)速工況下的減振趨勢(shì)和動(dòng)態(tài)特性與仿真結(jié)果相一致，說(shuō)明文獻(xiàn)[5]所給出的非平面運(yùn)動(dòng)球式自動(dòng)平衡裝置數(shù)學(xué)模型的正確性和文中所用數(shù)值仿真方法的可行性。文中所述的數(shù)值仿真方法對(duì)多體動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真具有一定借鑒意義。

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Numerical Simulation and Experimental Research of Ball-type Automatic Balancer Devices with Non-plane Motion

JIANG Bo,TAN Qing,LUO Jian
（School of Mechanical and Electrical Engineering,Central South University,Changsha 410083,China）

In practical production,high speed rotors will produce the non-plane motion due to unbalance torques.In this paper,through numerical simulation and experiment,kinematic characteristics of non-plane ball type automatic balancing devices under the critical speed are studied.Using the ill-conditioned detection method,automatic switching between the stiff method(ω method)and the non-stiff method(RK-45 method)in the numerical simulation is realized.The corresponding ill-conditioned differential equations of the ball-type automatic balance device with non-plane motion are solved.The correctness of the mathematical model and numerical simulation results is verified through experiments.It is concluded that the ball-type automatic balance device has a good damping effect for the planar vibration and spatial rotation of the rotors with non-plane motion.The numerical simulation algorithm has reference significance for multi-body problem analysis.

vibration and wave;non-plane motion;ball-type automatic balance device;ill-conditioned detection

TH113.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.011

1006-1355(2016)06-0056-06

2016-06-20

江波(1991-)，男，湖南省永州市人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)闄C(jī)械振動(dòng)控制。E-mail:jiangbo_csu@163.com