電磁開關強非線性系統主共振分析

楊志安，趙利沙

（1.唐山學院 唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山063000）

電磁開關強非線性系統主共振分析

楊志安1，趙利沙2

（1.唐山學院 唐山市結構與振動工程重點實驗室，河北 唐山 063000；2.華北理工大學 機械工程學院，河北 唐山063000）

以電磁開關系統為研究對象，根據拉格朗日麥克斯韋方程建立三階非線性動力學模型，應用MLP法得到電磁開關強非線性系統主共振的幅頻響應方程及位移和電流分別隨時間變化的振動規律，分析系統各參數對系統主共振幅頻響應曲線的影響。結果表明，系統的幅頻響應曲線存在跳躍現象；隨著阻尼系數的增大，系統的振幅減小；隨著激勵電壓幅值增大，系統的振幅和共振區域增大；隨著電阻增大，系統的振幅和共振區域減小。

振動與波；電磁開關；拉格朗日麥克斯韋方程；MLP法；主共振；強非線性

近年來，隨著現代汽車對起動機提出了體積小、重量輕、性能可靠、功率大、壽命長的要求，汽車起動機電磁開關的設計與制造不斷向前發展[1]。起動機是啟動系統的重要組成部分，由電磁式控制裝置、傳動機構和直流電動機構成[2]。電磁式控制裝置是一種電磁式控制開關，即電磁開關[3]。電磁開關是汽車起動機中的一種重要的控制元件，也是最容易出現故障的元件，它的主要作用就是使驅動齒輪與飛輪能夠快速嚙合和退出，并將起動機的電樞主電路與蓄電池接通，使起動機電樞在磁場中旋轉，進而起動發動機[4]。電磁開關性能的好壞直接關系到起動機能否正常工作，因此對電磁開關的研究具有十分重要的意義，應予以足夠的重視。電磁開關在工程中有廣泛的應用，在機動車及內燃機起動機中都可以看到電磁開關的存在。電磁開關可以抽象為RLC電路與彈簧耦合系統，是典型的機電耦合系統。以往學者們已經提供一些相關經驗可供參考。文獻［5-6］研究了RLC電路彈簧耦合系統的非線性振動，得到了受簡諧激勵的Mathieu方程的級數形式解，并用數值解法驗證級數形式解的正確性。文獻[7-8]以RLC串聯電路與微梁耦合系統為例，應用Lagrange-Maxwell方程建立靜電驅動微梁的耦合數學模型。分析了吸合電壓和電震蕩兩種動力學問題。繼而又研究了RLC串聯電路與微梁耦合系統1∶2型內共振問題。

上述關于RLC電路耦合系統研究多數是基于弱非線性。目前未見對電磁開關系統建立動力學模型的文獻，關于RLC電路耦合系統強非線性系統主振動的研究也不多。針對簡諧激勵作用下的電磁開關強非線性[9]系統進行研究。應用Lagrange-Maxwell方程建立動力學模型，運用MLP法對系統的非線性振動方程[10-11]進行分析，得到系統的幅頻響應方程及位移和電流分別隨時間變化的振動規律，并分析系統各參數對振幅和共振區域的影響。

1 電磁開關系統強非線性動力學方程

圖1是DK114型汽車起動機電磁開關工作原理設計圖。從圖中可以看出，電磁開關的基本組成部分包括觸片回復彈簧、開關觸片、觸片壓簧、靜鐵芯、維持線圈、吸引線圈、動鐵芯、頂齒彈簧、閥芯回復彈簧等[12]。線圈通電后產生電磁吸力，使活動鐵芯移動，接通勵磁繞組電路，產生勵磁，電樞工作，從而帶動發動機起動。斷電后，活動鐵芯在彈簧力下復位，等待下次啟動[3]。

圖1 電磁開關結構示意圖

汽車起動機電磁開關的簡化模型如圖2所示，電源的電動勢為U(t)，電阻為r，電路電流為i，線圈的自感為L(x)，電源、電阻及電感組成回路。電磁鐵的質量為m，彈簧剛度為k，電磁鐵線圈的自感為Lm(x)，x為自彈簧平衡位置算起的水平位移，電磁鐵上線圈激勵電壓為Um，電磁鐵上線圈電阻為R，電磁鐵上線圈電流為im，M(x)為電路與電磁鐵的互感，rv為線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數。

圖2 電磁開關結構簡圖

選位移x、電路電流i、電磁鐵上線圈電流為im廣義坐標。

拉格朗日函數L=T+Wm-V為

根據拉格朗日麥克斯韋方程[13]，可以建立其非線性動力學方程

電磁開關的數學模型表達式（5）是以位移為廣義坐標的2階振動微分方程和以電流為廣義坐標的1階振動微分方程組成的非線性振動方程組。式（5）是典型的機電耦合系統。

2 運用MLP方法分析電磁開關強非線性系統主共振[14-15]

所謂主共振是指外激勵頻率Ω接近派生系統固有頻率ω0時的共振。根據式（5）中ω02x項與η2x3項系數進行比較可知η2相對較大，是強非線性問題。將式（5）的第二式代入第一式，并引入非小參量ε

式中a為系統穩態解振幅，ω1為調諧值。

在電磁開關強非線性系統的主共振研究中，將式（5）的第二式代入第一式，對x采用攝動法展開，進行求解，得出系統的幅頻響應方程，但是得不到系統中位移和電流隨時間變化的振動規律。因此，需要進一步對電磁開關強非線性系統主共振的時間歷程進行分析。

選擇DK114型汽車起動機電磁開關參數：r=12 Ω，k=18 N/m，k1=8×105N/m，rv=0.01 kg ·s/m3，m=2 kg，U0=12 V ，L=0.1 H ，M0=0.15 H ，

圖3至圖7為電磁開關系統表達式（5）主共振的幅頻響應曲線。

圖3 不同阻尼值情況下的幅頻響應曲線

圖4 不同電壓值情況下的幅頻響應曲線

圖5 不同電壓值情況下的幅頻響應曲線

圖7 不同電阻值情況下的幅頻響應曲線

圖3為電磁開關系統主共振隨阻尼系數rv變化的幅頻響應曲線，由圖3可知，當調諧值由低向高或由高向低連續變化時,位移的振幅會出現“跳躍”現象。當增大線圈與磁鐵之間的摩擦阻力系數時，系統受到的阻力增大，振幅減小，對共振區域的影響不明顯。

圖4是電磁開關系統主共振隨激勵電壓幅值U0變化的幅頻響應曲線。由圖4可知，激勵電壓幅值U0的改變對系統振幅影響比較大，隨著激勵電壓幅值U0的增大，“跳躍”現象越明顯，振幅和共振區域增大，由式（15）可知振幅與激勵電壓幅值U0是正比關系。

圖5是電磁開關系統主共振隨電磁鐵上線圈電壓Um變化的幅頻響應曲線。由圖5可知，隨著電磁鐵上線圈激勵電壓Um的增大，“跳躍”現象越明顯，振幅和共振區域增大。

圖6是電磁開關系統主共振隨電阻r變化的幅頻響應曲線。由圖6可知，隨著電阻r的增大，“跳躍”現象越不明顯，振幅和共振區域減小。

圖7是電磁開關系統主共振隨電磁鐵上線圈電阻R變化的幅頻響應曲線。由圖7可知，隨著電磁鐵上線圈電阻R的增大，“跳躍”現象越不明顯，振幅和共振區域減小。

3 電磁開關強非線性系統主共振時間歷程

由電磁開關的數學模型表達式（5）引入非小量參數ε，整理為

對系統進行變換，同時考慮共振響應頻率和相位的變化，令H=η6cosθ，K=η6sinθ，則系統重新寫為

對x、i采用攝動法展開

將式（9）、式（10）、式（11）、式（12）、式（18）代入式（17），同時比較方程兩邊α的冪次得

考慮式（19）第一個式子的邊界條件可設：x(0)=p，(0)=0

則式（21）轉化為

由初始條件可知

可得微分方程的一次近似解為

在對電磁開關強非線性系統主共振的時間歷程進行分析時，同時對x、i采用攝動法展開，進行求解，得到了系統中位移和電流分別隨時間變化的振動規律。

將振幅設定在約束范圍之內時，選取ω1=0.1 rad/s，p=α(0)=0.004 m，電流初始值為i(0)=0.05 A。由式（25）可得系統解析解的時間響應曲線。

圖8為電磁開關系統位移時間響應曲線。由圖8可知，系統的一次近似解與零次近似解曲線相比，一次近似解的精度較高，振幅稍變大，一次近似解存在多頻成分。

圖8 時間響應曲線

圖9、圖10為電磁開關系統電流時間響應曲線。由圖9可知，隨著時間的增大，電流越來越小，直到衰減為零。

圖9 時間響應曲線

由圖10可知，隨著時間的增大，電流迅速衰減為零，時間繼續增大，電流開始做簡諧振動。

圖10 時間響應曲線

4 結語

根據拉格朗日麥克斯韋方程建立電磁開關系統動力學模型，由線性項系數和非線性項系數對比可知為強非線性系統。應用MLP法研究電磁開關強非線性系統主共振問題，得到系統的幅頻響應方程及其位移和電流分別隨時間變化的振動規律，并分析了系統振幅和共振區域隨各參數的變化。結果表明增大磁鐵的摩擦阻力系數可以減小振幅，對共振區域的影響不明顯；增大激勵電壓幅值和電磁鐵上線圈電壓可以使振幅和共振區域增大；增大電阻和電磁鐵上線圈電阻能夠減小共振的振幅和共振區域。

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Analysis of Primary Resonance of Strong Nonlinear Solenoid Switch Systems

YANG Zhi-an1,ZHAO Li-sha2
(1.Key Laboratory of Structure and Vibration Engineering of Tangshan,Tangshan College, Tangshan 063000,Hebei China; 2.College of Mechanical Engineering,North China University of Technology, Tangshan 063000,Hebei China)

A solenoid switch system is studied.Its nonlinear dynamic model of order three is established based on Lagrange-Maxwell equation.The amplitude frequency response equation and the vibration laws of displacement and current changes with time of the strong nonlinear system are obtained by means of the MLP method.The influence of the parameters of the solenoid switch system on the primary resonance response curves is analyzed.Results indicate that the amplitude of the primary resonance of the system reduces with the increasing of the damping coefficient.The amplitude and resonance region of the primary resonance of the system increase with the increasing of the excitation voltage amplitude and decrease with the increasing of the resistance.

vibration and wave;solenoid switch;Lagrange-Maxwell equation;MLP method;primary resonance; strong nonlinearity

O322

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.005

1006-1355(2016)06-0021-05+44

2016-04-05

河北省自然科學基金項目（A200900097）

楊志安（1963-），男，河北省秦皇島市人，博士，教授，碩士生導師，研究方向為機構學與機械動力學。E-mail:yangzhi_an@163.com

趙利沙（1988-）女，河北省邯鄲市人，碩士研究生，研究方向為機構學與機械動力學。E-mail:948281620@qq.com