非局部理論的裂紋納米諧振梁振動特性

郭旭曉,周 含，張文明

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

非局部理論的裂紋納米諧振梁振動特性

郭旭曉,周 含，張文明

（上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

以兩端固支納米諧振梁為研究對象，考慮非局部效應、非線性軸向拉伸應力以及裂紋建立其物理模型并推導出運動控制方程。將裂紋等效為連接兩段納米梁的扭轉彈簧，研究非局部效應、裂紋參數對系統自由振動固有頻率以及振動模態的影響。采用非線性靜電力和非線性軸向拉伸應力模型，用多尺度的數值方法研究系統主諧波共振響應的非線性剛度硬化現象與非局部效應系數以及裂紋各參數的關系。數值結果表明，非局部效應系數越大，系統固有頻率越小，主共振非線性強度越大。對于兩端固支諧振梁系統，裂紋位置對系統固有頻率以及主共振非線性強度的影響存在著三個分界點，分別是納米梁中點以及距離兩端四分之一的兩個點。研究結果可在微納米器件的設計、性能改進及健康檢測中得到應用。

振動與波；納米梁；裂紋；非局部效應；非線性響應

梁狀結構是微納米機電系統中典型的基本組成部分，并且極大地影響了該類微納米器件的性能，因此對微/納米梁的動力學特性研究具有重大的實際意義[1-3]。研究納米梁機械特性的方法主要有三種：實驗研究、分子動力學模擬、連續介質力學理論。由于納米梁的尺度范圍較小，所以進行核對實驗較為困難，而分子動力學模擬需要大量的計算量，對于大尺度系統難以實施，所以連續介質力學理論是研究納米梁機械特性和振動特性的重要方法。Daquesnes等人[4]分別用分子動力學和連續體模型研究了碳納米管在不同邊界條件下的吸合特性和自然頻率，他們發現兩種方法得到的結果相吻合。

對于尺寸量級與分子距離相當的微納米機構，眾多實驗以及仿真結果都顯示了非局部效應對其機械特性產生顯著影響，經典的連續介質理論已無法準確預測其力學行為，納米尺度結構受到的影響比微米尺度結構更加明顯[5]。由Eringen在1983年提出的非局部彈性理論具有簡單的本構關系[6]，特別是Peddieson等人提出的形式，能夠簡單而有效地研究非局部效應對納米結構力學特性的影響，解決了在納米梁、板、殼等結構中的眾多問題[7]。

近年來，微納米梁的線性和非線性動力學特性研究進展較快。傅衣銘[8]等采用數值方法分析了考慮尺度效應的納米梁線性自由振動特性以及非線性幅頻響應特性。基于非局部彈性理論，Mesut等采用變分法研究了多種邊界條件下納米梁由于軸向拉伸力引起的的非線性特征[9]。劉燦昌等從梁的軸向非線性伸長出發對納米梁進行受力分析，研究了納米梁非線性特性產生的物理機制，分析了非局部效應對納米梁振動特性的影響[10]。

然而以上研究主要以無缺陷的完整結構為研究目標，如果結構出現缺陷，其對結構的力學特性造成的影響不容忽視。理論研究以及工程應用中，裂紋一直是固體材料結構中存在的重要問題。裂紋的存在引起了結構柔度變化，減小了器件振動的固有頻率，對結構特性造成了不容忽視的影響。Sáez等人采用扭轉彈簧等效納米梁裂紋，他們發現該方法獲得的結果與用有限元得到的結果一致[11]。劉文光等人將復數阻尼理論應用于裂紋梁的結構振動研究，使其與疲勞裂紋擴展壽命估算同步進行，提出一種含裂紋結構的振動疲勞分析思路[12]。Motallebi等人以靜電驅動諧振梁為研究對象，探討了開始裂紋參數對諧振梁吸合效應的影響[13]。劉素娟等人基于Euler-Bernoulli理論，提出了非線性靜電力和壓膜阻尼效應下裂紋微懸臂梁的動力學模型與分析方法，研究了耦合作用下裂紋微懸臂梁結構的振動特性[14]。

基于非局部彈性理論，研究裂紋納米梁的振動特性，建立考慮非局部效應、非線性軸向力以及裂紋的納米諧振梁的運動控制方程，研究非局部效應以及裂紋參數對納米梁固有頻率的影響。采用多尺度的數值分析方法，探討了非局部效應以及裂紋各參數對主共振幅頻響應曲線的影響，對裂紋納米梁的非線性振動特性進行研究。

1 振動模型與控制方程

圖1所示為兩端固支靜電驅動單裂紋納米諧振梁模型,僅考慮橫向振動，假定梁的各截面的中心主慣性軸在同一個平面oxy內，外載荷也作用在該平面內，梁在該平面內作橫向振動，梁的兩端固定運動受阻，引起中性面拉伸。對于細長梁，剪切變形以及截面繞中性軸轉動慣量的影響可忽略不計。圖中裂紋距左固定端長為Xc，納米梁長度、厚度、寬度分別為L、h、b，密度為ρ、d為中性軸距底面距離，截面對中性軸的二次矩是I,且I=bh3/12。左端固支點為零點，x和w(x,t)分別代表沿著納米梁長度方向的坐標以及在t時刻的橫向振動位移。

圖1 兩端固支靜電驅動單裂紋納米諧振梁模型[13]

取梁的微元dx進行受力分析，如圖2所示。在微元左側，梁受到的垂直剪力為Q，彎矩為M，Na為非線性軸向拉伸應力，且Nr為殘余應力，文中記為常量[15]。右側為相應的受力變化，為作用于梁上的非線性分布力[16]，ε0為介電常數，A=bh，為橫截面面積。由力和力矩的平衡條件可得到

圖2 納梁微元受力分析圖

根據非局部彈性理論可知應力-應變關系為[5]

其中E為楊氏模量，σx和εx為經典理論中的應力與應變,參數μ=(e0a)2表征納米結構小尺度效應的長度量綱系數。

由非局部本構關系可得到如下非局部效應下的軸向拉伸應力以及力矩與變形之間的關系

將式(4)代入式(1)和式(2)，考慮系統的阻尼并等效為彈性阻尼c，可得圖1所示的靜電驅動納米梁橫向振動控制方程為

兩端固支梁的邊界條件為

為了便于定性分析，對式(5)、式(6)引入無量綱變量

進行無量綱化處理，并將標號*去掉可得無量綱化振動控制方程以及邊界條件為

2 振動分析

2.1 自由振動分析

對式(8)引入變量分離表達式w(x,t)=Y(x)ejωt，則納米梁的靜態自由振動方程為

其中ω為固有頻率，λ4=ω2為頻率參數。式(10)的數值解的模態函數為

如圖1所示，裂紋距左固定端的長度為Xc，這時圖3為裂紋梁等效模型。將裂紋等效為無質量扭轉彈簧，記△θ和△u為微裂紋引起的扭轉角以及相應的水平位移[5]，則二者可表示為

圖3 裂紋梁等效模型

其中kMM、kMN、kNM、kNN為柔性系數。在僅考慮橫向振動的情況下,縱向振動為零（u(x,t)=0），并且系數kMN、kNM、kNN一般被認為是很小的值。因此，裂紋處的斜度增量可表示為如下無量綱形式

其中無量綱長度為Lc=Xc/L，裂紋因子表示裂紋開裂程度。

此時，基于式(8)，裂紋梁兩段的靜態自由振動方程為表示為

且Ai、Bi、Ci、Di( )i=1，2為各段相應常數，由邊界條件以及裂紋處的相容性條件，即式(9)、式(17)聯立而得的8×8階矩陣方程求解得出，相應的第n階固有頻率參數λn也可同時求解。

2.2 主共振分析

圖1中諧振梁的靜電驅動載荷由直流電Vp以及交流電vac組成，驅動頻率為ωe，且Vp?vac，則

方程的右邊表達式可表示為

為研究納米梁的非線性特性，希望得到梁振動的幅頻特性[17]。為此，仿照通常做法，取橫向振動的變量分離形式并將其與式(19)代入式(8)可得由達芬方程描述的系統動力學方程

上述系統的振動為弱非線性時變系統的參激振動，應用多尺度法求一次近似解，首先引入兩個越來越慢的時間尺度Tn=εnt(n=0,1)，其中ε為小參數，并假設u()

t可以表示為如下形式

研究系統ωe≈ω0時的主共振,引入頻率調諧因子σ，使得ωe=ω0+εσ。記χ=εχ，κ=εκ,式(20)可改寫成

將式(23)代入式(24)，并令兩端ε0和ε1的系數分別相等，可得

方程式(25)的解為

其中cc表示前項共軛。

將式(27)代入方程式(26)，消除永年項，并分離實虛部，可得如下自治微分方程

其中φ=σT1-δ。為確定對應穩態運動的定常解振幅和相位，令D1a=D1φ=0，并消去ε，對于可得到ωe的實系數二次代數方程

將激勵頻率無量綱化，取Ω=ωe/ω0，可得

其中主共振峰值大小滿足如下等式

出現最大峰值時的激勵力頻率為

3 結果分析與討論

以兩端固支裂紋納米諧振梁為仿真實例，諧振梁的相關物理參數為L=250 nm,b=50 nm，

3.1 裂紋梁固有頻率分析

通過數值計算方法計算方程式(15)得到考慮非局部效應以及裂紋參數的納米梁前4階固有頻率。圖4顯示了裂紋位置處于納米梁中點處即Lc=0.5時，不同非局部效應系數μ對應的前4階固有頻率隨著裂紋因子K的變化趨勢。

由圖4可見，裂紋開裂程度越大，且非局部效應系數越大，系統的固有頻率越小，即納米梁的材料剛度降低。當K增大到一定值時，固有頻率的變化將趨于固定值而不再變化。由圖中還可以看出，第2、4階固有頻率不隨裂紋因子的變化而變化（見圖4（b）、（d）），這是由于兩端固支梁振動模態的對稱性，裂紋所在處恰好為2階、4階振型節點處，從而對納米梁2階、4階的振動頻率沒有影響[18]。同理，當裂紋位置Lc=0.25時，納米梁的第4階固有頻率不隨裂紋開裂程度發生變化。因此，對于兩端固支梁可以總結出，當裂紋位置與固有頻率對應的階數n滿足條件nLc=N時，裂紋梁的第n階固有頻率不隨裂紋開裂程度的變化而變化。圖5顯示了當裂紋開裂程度不變，即K為常量時，納米梁前4階固有頻率隨著裂紋位置Lc的變化趨勢。由于納米諧振梁的對稱性，其固有頻率的變化趨勢都將關于中點對稱。

從圖5(a)可知，裂紋位置為Lc=0.25、Lc=0.75是另外兩個分界點。當裂紋在此位置左邊時，裂紋越接近該位置，納米梁1階頻率越大；而當裂紋在此位置右邊時，當裂紋越接近中點處，1階固有頻率越小。裂紋越接近納米梁兩端根部，固有頻率越小。從圖5(b)可知，2階頻率變化趨勢的分界點更多。頻率對應的階數越大，其隨裂紋位置的變化趨勢越多變。另外，與圖4結果相補充，當裂紋在納米梁任意位置處，非局部效應系數越大，固有頻率越小。

圖4 非局部效應裂紋納米梁前4階固有頻率隨裂紋因子K的變化趨勢(Lc=0.5)

圖5 非局部效應裂紋納米梁前2階固有頻率隨裂紋位置變化趨勢(K=1)

3.2 主共振特性分析

由式(30)可得到兩端固支裂紋納米諧振梁的1階主諧波共振的幅頻響應（AFR）曲線，AFR曲線的彎曲程度顯示了納米梁振動的非線性強度。由圖6、圖7可知，非局部效應系數以及裂紋參數對納米梁振動的非線性特性都有顯著影響，兩端固支梁存在分叉和跳躍等非線性現象，幅頻關系存在著多值性，并且曲線都向右彎曲，具有剛度硬化效應。當激勵頻率小于諧振頻率時，諧振梁幅值較小，當頻率增加到某一頻率時，位移突然增大，而后又陡然下降，隨著激勵頻率持續增加，諧振梁的振動位移又越來越小，幾乎不發生諧振，與已有的實驗結果相符合[19]。

從式(20)中可知，系統存在固有幾何非線性特性，并且立方剛度項的大小受非局部效應系數以及裂紋參數的影響。從圖6中可以看出，隨著非局部效應系數的增大，系統諧振頻率逐漸變大，系統剛度漸硬趨勢更明顯。

從圖7中可以看出,裂紋位置為Lc=0.25是裂紋位置對諧振梁幅頻響應影響趨勢的一個分界點，當裂紋在此位置左邊時，裂紋越接近該位置，系統剛度硬化趨勢越明顯；而當裂紋在此位置右邊時，當裂紋距離該位置越遠，系統剛度硬化趨勢減弱。對于兩端固支諧振梁，裂紋位置為Lc=0.25是系統剛度硬化最強的位置，而Lc=0.5則是系統剛度硬化最弱的位置，此現象與圖5(a)所顯示的規律相對應。

圖6 非局部效應對裂紋納米梁主共振非線性的影響(Lc=0.25)

圖7 裂紋位置對裂紋納米梁主共振非線性的影響(μ=0.2)

4 結語

以靜電驅動裂紋納米諧振梁為研究對象，采用無質量扭轉彈簧模型模擬裂紋，考慮非局部效應以及非線性軸向拉伸應力的影響，建立系統動力學模型，對系統自由振動的固有頻率以及振動模態、主諧波共振的幅頻響應進行研究。研究發現非局部效應系數對裂紋納米諧振梁固有頻率影響很大，裂紋處于梁上任意位置，固有頻率都隨著非局部效應系數的增大而減小。忽略一些特殊情況（nLc=N），考慮非局部效應時，高階頻率受到的影響遠遠大于低階頻率。裂紋開裂程度越大，固有頻率越小，但該影響隨著開裂程度的增大而減緩。裂紋位置對固有頻率的影響依情況而定。非局部效應以及裂紋參數對系統的主諧波共振的幅頻響應都有影響，并且與其對系統固有頻率的影響趨勢相對應。

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Vibration Characteristics of a Cracked Resonant Nano-Beam Considering the Nonlocal Effect

GUO Xu-xiao,ZHOU Han,ZHANG Wen-ming
（State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration,Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240,China）

Characteristics of free transverse vibration and forced vibration of a cracked resonant nano-beam with both ends fixed are studied.The nonlocal effect,nonlinear axial stretching force and the crack effect are considered.The cracked nano-beam is modeled as two segments connected by a massless rotational spring located in the crack section.Dynamic equations of the nano-beam are derived and its nonlinear response is investigated by using the multiple scales method.The influence of the nonlocal effect and the crack position on the vibration nonlinearity is discussed.The numerical results show that enlarging the nonlocal effect coefficient can decrease the values of the natural frequencies and strengthen the nonlinearity of the resonant vibration.The effects of the crack parameters on the vibration characteristics are complicated. This study may be of interest for the design,performance improvement and health monitoring of nano-devices.

vibration and wave;nano-beam;crack;nonlocal effect;nonlinear response

O346.1

：A

：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.06.001

1006-1355(2016)06-0001-06

2016-07-27

國家優秀青年科學基金項目(11322215)；國家高層次人才特殊支持計劃項目（青年拔尖人才）；教育部霍英東青年教師基金項目（141050）

郭旭曉(1990-)，男，山東省濰坊市人，碩士生，主要研究方向為微機電系統動力學。

張文明(1978-)，男，博士生導師。E-mail:wenmingz@sjtu.edu.cn